以“史”为媒以“数”育人

薛正桧

数学是人类的一种文化，它的思想、内容、方法和语言是现代文明的重要组成部分。而数学史，就是数学文化的发展史，它是我们对学生进行知识传承、能力培养和情感熏陶的理想切入口。中科院李文林教授曾说：“数学史研究有三重目的，一是为历史而历史，二是为数学而历史，三是为教育而历史。”其中，为教育而历史，说的就是采用直接（附加式、复制式）或间接（顺应式、重构式）的方法将各类相关数学史料恰当地嵌入学生的学习之中。

一、从数学史中厘清知识的本质

个体的知识发生过程应大体符合历史上人类的知识发生的过程。在课堂上再现数学史，就是把数学发展进程中的精彩瞬间移植到课堂上，让学生经历某个知识产生、发展的全过程，引导学生像历史中的主角那样，在实际问题面前，经过艰苦的探索、周密的分析，甚至激烈的争论，才获得问题的解决，进而创造出新的数学概念、规则和各种规律。有了数学史的介入，学生便知晓了知识的来龙去脉，就能厘清概念的左右关联，就会把问题看得更透、把知识看得更明。这样的课堂将更加彰显学科的本质，科学意蕴由内而发，让人受益无穷。

【教学片段1】为x×6编故事

师：在月球上，人能举起物体的质量是地球上的6倍。我们用“x”表示人在地球上能举起物体的质量，“x×6”就表示人在月球上能举起的质量。（上述为教材中例2教学内容的总结）

师：下面我们就用“x×6”来编故事。老师先示范一下，（掂一掂学生的数学书）如果x表示一本数学书的重量，那么x×6就是——

生：6本数学书的重量。

师：哪位同学接着编？

生 ：如果x表示这支铅笔的重量，那么x×6就表示6支铅笔的重量。

生 ：x表示一本数学书的封面面积，x×6就是6本数学书的封面面积。

……

师：能说完吗？

众：不能！

师：对，只要两个量之间是“6倍”关系，都被概括在“x×6”里了。

从算术到代数，是人类认识的一次飞跃。数学史告诉我们：完成從算术到代数这一步跨越的，不是方程，而是用字母表示数。这便要对数的概念进行扩展，即由“确定”向“不确定”过渡，由“一个”向“一类”递进，由“数量”向“关系”转变。笔者教了多年的“用字母表示数”，一直以为只有三个教学要点：①用字母既可以表示已知数，又可以表示未知数;②用字母或含有字母的式子既可以表示一个数，又可以表示一组数;③用字母或含有字母的式子既可以表示数量，又可以表示数量之间的关系。教学时只需把握以上三点，让学生经历了符号化的过程，获得了体验，相应的认知结构自然就建好了。但事实证明，笔者想得太简单了，以致迷失了方向。如果学生仅仅知道“x表示人在地球上能举起物体的质量，x×6就表示人在月球上能举起的质量”（笔者以前只教到这），这才到历史上丢番图的水平，虽然有字母表示数这个“形式”，但它本质是“替代”，对应到代数的核心（方程）中来看，那仅是“一题一解”。让学生继续用不同的情境给x×6编故事，是在扩充感性材料。“只要两个量之间是‘6倍关系的，都被概括在‘x×6里了”则表明了知识的实质。原来我们谋求的是“一类问题”的“统一解法”，现在则是将人的认识上升到更高的理性水平，抽象、不断地抽象，这才是代数的本质。

二、从数学史中明确教学的序列

教学设计要有学科的视角，也要有儿童的视角。有了学科视角的保障，教师的教才不会偏离方向;有了儿童视角的护航，学生的学才会真正发生。而数学史视角，它既能通览学科知识的全貌，又能预见儿童学习的历程，兼顾了学科视角及儿童视角。因为个体对数学知识的理解过程，一般遵循人类数学知识的发生、发展过程，所以学习者通过回溯历史上知识演进的主要步骤，可以获得最有效的成长。

【教学片段2】推选“代数之父”

师：在历史上，人们最初接触的都是确定的数，对于确定的数都用数字来表示，数量和数量之间的关系基本是用表示数字的符号或文字来表达。比如每个重量×6、每个价钱×6、每班人数×6。这个时期的典型代表人物是数学家花拉子密，这种表示的方法我们称之为“文辞”。（板书：文辞）

师：但用文字表达太烦琐，公元250年左右，古希腊数学家丢番图想到了“缩写”，这样就简便多了。（板书：→缩写）

师：仿照丢番图的方法，“每个重量×6”，取“重”发音的第一个字母“z”，“每个重量×6”就可以缩写成“z×6”。那么“每个价钱×6”就缩写成——（j×6）。

师：“每班人数×6”就表示成——（r×6）。

师：按丢番图的方法，每个字母都表示特定的意思，z×6和j×6是不能混同起来的。到了16世纪，法国数学家韦达想，如果把各类情境中特定的意思都去掉的话，不都是一个数和6相乘吗？用x表示一个数的话，这种关系就可以全部表示成x×6了。你们说，这种方法好吗？（好）

师：这里的x还是特定的意思吗？（不是）

师：对，这里的字母已经不表示任何一种具体的意义了，它只是一个符号而已（板书：→符号）。自从韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速的发展。同学们，如果让我们来评选“代数之父”，你想把这票投给谁？花拉子密、丢番图，还是韦达？（韦达）

研究数学史，我们发现：历史上从算术到代数的跨越，大体经历了三个阶段，即以花拉子密为代表的“文辞代数”，以丢番图为代表的“缩略代数”，以韦达为代表的“符号代数”，每一个阶段都有它突破性的意义。在数学知识发生、发展历史的长河中，我们可以预见一个新生个体学习的大体历程。从这个意义上讲，学习过程其实就是一次对历史的再现过程，是个体与知识跨越千年的一次对话。历史会告诉我们一切，我们可以根据历史发生的主要步骤设计教学的“前后次序”，我们可以根据历史发生的主要问题设计教学的“关键问题”，我们可以根据历史发生过程中的主要困难设计教学的“认知冲突”，等等。借助“在月球上，人能举起物体的质量是地球上的6倍”这一素材，在“为x×6编故事”环节后，恰如其分地链接历史，再现历史关键时间节点上关键人物的关键事件，让学生对三种不同的表示方法进行比较，从而发现用字母表示数的真谛。这个过程，是对历史的重演，也是我们开展教学的主要环节，学生们喜欢，自然也就有了更多、更深的体会。最后，学生之所以推选韦达为代数之父，正是因为他们看到了韦达的高明之处。而此时，学生们的代数思想真正地开始生根、发芽。当然，作为在课堂上让学生经历的历史，不应该也不可能完全再现它的实际发展过程，而应该根据课程的目标有所选择、有所组织，要压缩冗长、无关紧要的历史阶段，高效地引导学生接受数学史的洗礼。

（作者单位：浙江省宁波滨海国际合作学校    本专辑责任编辑：王彬）