高斯光束反馈下多重激光自混合干涉特性分析

段长城，孙 悟，王言涛，顾 浩

(阜阳师范大学 物理与电子工程学院，安徽 阜阳 236037）

多重激光自混合干涉（multiple laser self-mixing interference，MSMI）借助多重反馈光引起干涉条纹加倍从而提高测量精度。国内多个相关课题组[9-12]对多重激光自混合干涉进行研究，关于其形成原因的主要观点是反馈光在外腔（由激光器前端面与外界反射物构成）之间的二次反射引起二次反馈光，在激光自混合干涉条纹之间形成二级干涉条纹，使得条纹数加倍，因此能够将测量精度提高一倍。但是，这些研究中激光被视为几何光线，光学元件尺寸被视为无限大，只考虑光学元件的反射和透射系数对反馈光强的影响，但是实际的激光是高斯光束，存在一定的发散角，导致在二次反射过程中高斯光束的光斑半径大于激光器的前端面半径，部分反馈光无法返回光学谐振腔，引起反馈光强减弱，影响二级干涉条纹幅度。研究高斯光束在二次反射过程中的传播特性，多重激光自混合干涉与外腔长度的影响关系为多重激光自混合干涉的实际应用提供理论基础。

本文针对高斯光束在外腔中二次反射的复杂过程，利用孔阑传输线的分析法建立模型，模型中激光器前端面与外界反射物被视为一系列孔阑，二次反射被简化为高斯光束依次穿过孔阑的传输过程。传输过程中，高斯光束的光斑半径逐渐增大并超过激光器前端面半径，导致进入光学谐振腔的反馈光强逐渐减弱。根据高斯光束在激光器前端面的光强分布，把高斯光束的束腰半径作为边界条件，积分得到一次反馈和二次反馈光强，计算二次与一次反馈光强比代入多重激光自混合干涉的理论公式，模拟分析二级干涉条纹与外腔长度的影响关系，结合实验数据进行对比分析。

1 原理与模型

激光器发射的光束其横截面光强分布遵守高斯公式，其中高斯光束各处的包络线，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角，它与激光波长成正比，与其束腰半径成反比。

高斯光束的光强分布为[13-16]

其中：A0表示初始光强振幅；ω0表示高斯光束的束腰半径；z表示高斯光束传播轴线距离；x，y表示从光斑中心算起的坐标；λ为激光波长；ω(z)表示高斯光束传播轴线距离为z时的光斑半径[13-14,17-18]

在弱反馈条件下，激光自混合干涉引起激光光强I随时间t的变化如下[19-20]

其中：I0代表高斯光束初始激光光强；τ=2l=2L+2Asin(2πft)代表光程，τ为反馈光程，l表示外腔长度与外界反射物的位移之和，L为外腔长度，A和f分别表示外界反射物的位移振幅和频率。

由图1可知，M1、M2、M3是激光器后端面、前端面和反射镜（外界反射物）。M1和M2组成内腔（即光学谐振腔），M2和M3组成外腔。激光在内腔中产生，以高斯光束的形式从前端面出射，在外腔中第一次往返，被M2分为两部分：一部分进入内腔，形成一次反馈光（first feedback light source，FFLS）；另一部分在外腔中第二次往返，进入内腔形成二次反馈光（second feedback light source，SFLS）。如果M1、M2、M3共轴，那么一次和二次反馈光的光程是外腔长度L的整数倍。此时，MSMI被认为在外腔的镜面之间的多次传播叠加造成的，FFLS的光学路径长度为

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SFLS的光学路径长度为

图1 高斯光束反馈下的激光自混合干涉示意图

一次和二次反馈光进入内腔后分别产生激光自混合干涉信号并叠加，由于τ2=2τ1，叠加后的时域信号具有二级干涉条纹，该过程被称为MSMI。多重激光自混合干涉下，公式(1)中I(t)变为

其中：K1和K2代表FFLS和SFLS的强度参数。一次和二次反馈光强分别是I0K1和I0K2。研究表明二级干涉条纹幅度与反馈光强比K2/K1的数值成正比[21]。

如图2，高斯光束在外腔中的多次反射是一个复杂过程，为了计算光强比K2/K1，基于孔阑传输线的分析方法将图1中的光路视为一系列代表反射镜M2和M3的共轴孔阑，多次反射过程被视为高斯光束依次穿过孔阑的过程。模型中用M2,i和M3,i表示前端面和反射镜，其中i=1和2，分别表示参与一次和二次反馈光的光学元件，因此，反馈光程为Li=2iL。根据平面镜成像原理，反射过程中M3不会对高斯光束的光强以及光强分布产生影响，在模型中高斯光束直接穿过M3,i，此时仅考虑平面镜的反射率r3。M2,i半径等于高斯光束的束腰半径w0，高斯光束在传播过程中光斑半径逐渐增大，传播至M2,1形成一次反馈光时光斑半径为wz1，传播至M2,1形成二次反馈光时光斑半径为wz2。由于光斑半径大于M2,i半径，计算反馈光强时，除了M2和M3的反射率，还要考虑光斑半径增大导致只有部分光返回内腔引起的光强损失。

图2 孔阑传输模型中高斯光束传播示意图

公式（6）写成如下形式：

其中：强度参数K1、K2均与M2、M3的反射率有关，K1=m(1-r2)r3/(r2L)，K2=mr2r3K1，m为光强损失引起的衰减参数，所以

2 模拟分析

由于激光器的前端面半径是有限的，而高斯光束的光斑半径在传播过程逐渐增大，如图3。因此，高斯光束在M2,1上的光斑半径wz,1大于孔阑半径w0，M2,2上的光斑半径wz,2进一步增大，导致wz,2＞wz,1＞w0，孔阑外光强无法进入内腔，从而导致光强损失。根据公式（1）（2）得到高斯光束在孔阑M2,1、M2,2上的光强分布，将孔阑半径作为积分的边界条件，计算透过M2,1、M2,2的光强，即一次和二次反馈光强，进一步求出光强比K2/K1。

图3 高斯光束传播图

将z1=2L和z2=4L代入公式（2），可得高斯光束在孔阑M2,1和M2,2的光斑半径

依据公式（1）积分可得到传播轴线距离为z处的有效光强

依据（10）可得一次和二次反馈光强IFF和ISF

一次反馈和二次反馈光器比K2/K1由公式（11）、（12）得

公式（7）可以表示为

其中：ISF/I0=K2，IFF/I0=K1。研究表明多重激光自混合干涉的二级干涉条纹与光强比K2/K1有关[21]。由以上分析可知，高斯光束的传播特性导致光强比K2/K1受外腔长度L的影响。

在ω0=0.5 mm，λ=1 550 nm，r2=0.95，r3=0.90条件下，假设L=0.162 m，0.116 m，0.067 m，根据公式（13）计算对应的K2/K1=0.6，0.7，0.8，结合公式（14）对多重激光自混合干涉进行模拟仿真。图4为不同外腔长度L下多重光自混合干涉的模拟信号图，可以看出二级干涉条纹幅度随光强比K2/K1的增大而增大，而光强比K2/K1随外腔长度L的减小而增大。由模拟分析可知减小外腔长度L有助于增大多重激光自混合干涉的二级干涉条纹幅度。

图4 不同外腔长度L下多重光自混合干涉模拟信号

3 实验验证

在图5装置中，信号发生器产生幅度为A0=400 mVpp，频率f=100 Hz的连续正弦函数驱动扬声器。光纤耦合器将光分成两束，一束光经过光纤准直器垂直照射在黏贴在扬声器表面的反射镜上，反射光穿过光纤准直器和耦合器返回激光二极管（激光波长1 550 nm,功率10 mW），产生多重激光自混合干涉；同时，利用光电探测器对另一束光进行检测，放大后在示波器上观察不同外腔长度L下的多重激光自混合干涉实验信号。

图5 实验装置示意图

图6为外腔长度L=0.162 m、0.116 m时，利用实验装置得到的多重激光自混合干涉的时域信号，图6(b)实验信号的二级干涉条纹幅度大于图6(a)，其中由K1、K2与外腔长度L的关系可知，随着外腔长度L增大光强比K2/K1将减小。进一步，由图4可得随着外腔长度L增大二级干涉条纹幅度将减小。可以看出实验信号与模拟信号基本保持一致，实验结果符合前文的理论分析。

图6 不同外腔长度L下多重激光自混合干涉实验信号

4 小结

本文结合高斯光束的传播特性和激光自混合干涉理论，分析高斯光束反馈下多重激光自混合干涉特性和形成条件。基于孔阑传输线的分析方法，将高斯光束在外腔中多次反射的复杂过程视为高斯光束透过一系列共轴孔阑的传播过程。高斯光束在外腔经二次反射后，其腰斑半径将增大，超出束腰半径的光束将损失，只有处于束腰半径内的光束能够回到激光器中，引起二次反馈光的强度损失，结合高斯光束的传播特性，将激光器的前端面作为边界条件，积分得到二次反馈和一次反馈光强比，进一步分析得到外腔长度是多重激光自混合干涉信号的重要影响因素之一，二级干涉条纹幅度受外腔长度的影响，外腔长度越大，次级干涉条纹幅度越小，多重激光自混合干涉越微弱。把理论研究结果和实验数据进行对比分析，结果表明结论理论分析与实验数据基本吻合。为多重激光自混合干涉的实际利用提供理论模型和分析基础。由于文章没有考虑高斯光束从激光器前端面出射的衍射效应，所以无法解释二次反馈光强于一次反馈光的情况。这种情况会增强多重激光自混合干涉，有利于高精度测量的实际应用，结合高斯光束与衍射效应对这种情况进行研究是未来工作安排。