基于时间序列分析的电容器退化模型

张 田， 潘尔顺

(上海交通大学 机械与动力工程学院， 上海 200240)

随着电子工业和航空航天事业的发展，以及《中国制造2025》行动纲领的提出，制造业对于电子产品的需求越来越大，而对于产品性能可靠性的研究在产品的研发过程中占据着越来越重要的地位.作为一种能够储存电荷和电势能的元件，电容器的应用十分广泛，常用于消除噪声、稳定电压.在各类电容器中，铝电解电容器的产量约占电容器总产量的40%.由于铝电解电容器具有性价比高、电性能好、适用范围广等优点，对其产品性能的深入研究具有重要意义.

自回归移动平均(ARMA)模型是一种研究时间序列的重要方法，常用于经济和工程预测等领域，如电力系统及航天设备的可靠性分析.Box等[1]详细介绍了如何建立平稳时间序列的ARMA模型.黄运来等[2]利用时间序列来描述产品的加速退化过程，通过ARMA模型对退化数据进行建模，同时开展电源电路板的加速退化实验并且预测其失效寿命.Polito等[3]将ARMA模型和Weibull分布模型应用于金属切割的声发射数据，证实了两个模型在声发射数据拟合方面均有较好的效果.差分自回归移动平均(ARIMA)模型是在 ARMA 模型的基础上，将数据预先进行差分处理的改进型模型，当 ARIMA 模型的差分阶数为零时，即为 ARMA 模型. ARIMA 模型常用于分析工程数据，如卫星中太阳能电池的电流数据及各类加工车床数据的可靠度分析.高慧等[4]建立了一种ARIMA时间序列分析模型，用于预测卫星太阳能电池的退化量，并建立了电池的可靠度方程.Wu等[5]提出了一种基于 ARIMA 的设备性能退化模型，证实了ARIMA模型在铣床性能退化分析中的有效性.Kosasih等[6]通过 ARIMA 模型分析轴承退化数据中的非平稳趋势，并预测轴承的剩余寿命.

分数阶自回归移动平均(ARFIMA)模型是基于分数阶差分的ARMA模型，常用于金融、股市、天气等领域的数据预测[7-8].林雨等[9]将ARFIMA模型用于预测黄金价格，结果表明相对于ARMA模型而言，ARFIMA模型提高了黄金回报系列长期预测的可靠性.Bhardwaj等[10]对比了自回归(AR)、移动平均(MA)、ARMA、 ARFIMA 等模型在宏观经济和金融时间序列中的应用效果，基于点方均预测误差(MSFE)的计算结果，得出ARFIMA模型的应用效果最优的结论.冯春山等[11]则将ARFIMA模型用于预测石油价格，得出了ARFIMA模型的预测效果优于 ARMA 模型的结论.

本文以铝电解电容器为研究对象，建立了两个基于时间序列分析的退化预测模型，并且对这两个模型的预测效果进行实验验证.对于服从Wiener过程的电容器退化数据，提出了一种过差分预判方法(OPM)，预判其在原序列进行差分处理时是否出现过差分.研究结果表明：OPM-ARIMA模型在退化数据的预测精度方面略高于ARFIMA模型，且预测所需时间更短，提高了分析效率.总体而言，两种模型的预测误差均在可接受范围内，且均能有效地提取预测数据中的时间序列信息.

1 基于ARIMA的退化预测模型

时间序列是指在一定时间段内按时间顺序排列的一组能够被系统观测到的数据，而时间序列分析是指研究该组数据的发展变化规律并将其用于预测的统计学方法.该方法既考虑了数据与时间的关系，也考虑了随机波动的干扰.根据时间序列要求，输入数据必须为平稳随机序列，其中包括严平稳时间序列及弱平稳时间序列.随机变量的分布结构不随时间推移而变化的时间序列即为严平稳时间序列，如期望值为零、方差为常数的纯随机过程(白噪声)；随机变量的期望值、方差及协方差不随时间推移而变化的时间序列即为弱平稳时间序列，实际应用中的数据大多为弱平稳时间序列.

1.1 建模步骤与方法

建立基于ARIMA的电容退化预测模型主要包含以下5个步骤：

(1) 若已知电容器的退化轨迹为Wiener过程，则直接预判差分阶数；

(2) 检验原时间序列的平稳性，对不平稳的数据进行差分处理；

(3) 基于自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)给出备选的ARIMA模型阶数；

(4) 采用最小信息准则选择复杂度最低的模型，并确定最优模型阶数；

(5) 对选定模型进行参数估计，并给出指定时间内的预测电容值.

通过ACF和PACF分析时间序列的自相关性及平稳性，可以得到自回归部分和移动平均部分的阶数(此处不考虑与当前值明显不相关的间隔外数据).ACF描述的是第b个样本被前b-1个样本影响的程度; PACF则描述了剔除第b个样本与前b-1个样本之间b-2个随机变量的干扰后，第1个样本与第b个样本的相关程度[12].定义：m阶自回归模型AR(m)；q阶移动平均模型MA(q)；d阶差分自回归移动平均模型ARIMA(m,d,q)；AR(m)与MA(q)两个模型组合后得到ARMA(m,q).对于AR(m)，若从k阶开始，ACF(k)趋于零且PACF(k)在该阶之后截尾，则k为自回归部分m的候选值；对于MA(q)，若从k阶开始，PACF(k)趋于0且ACF(k)在该阶之后截尾，则k为移动平均部分q的候选值.

最小信息准则，包含赤池信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)，是衡量统计模型拟合优良性的一种标准.AIC同时采用似然函数估计值最大原则以及模型复杂度最小原则进行模型的参数估计[13].选定一组模型阶数(m,q)后，使用自回归逼近法求得白噪声的估计方差；通过计算AIC函数值选择参数；以参数个数作为惩罚，寻找可以最好地解释数据但包含最少自由参数的统计模型.BIC则将样本数量也加入目标函数.在不完全情报下，对部分未知状态用主观概率估计，再通过计算公式修正其发生概率，最后利用期望值和修正后的概率做出最优决策.因此，在判定参数选择的优劣时，AIC和BIC的函数值越小代表模型越好，且通过计算函数值可进一步判定在候选值排列组合下的最优阶数.

实际应用中的随机序列大多为非平稳序列.从理论上来说，可以通过序列差分的方式分离出非平稳性特征，而后采用时间序列方法将差分后的序列作为新的序列.若序列中依然存在非平稳信息特征，可多次差分直到序列平稳.但由于每一次差分都是对信息的加工过程，可能带来信息的缺失，所以在实际应用中要尽量避免过差分.

1.2 基于Wiener过程的OPM

基于电容器的失效机理进行退化建模，并使用Wiener过程描述电容器退化轨迹.以一个Wiener过程退化模型为例，当基于时间序列对电容器的退化数据进行预处理时，需要对该时间序列达到平稳所需的差分阶数进行预判并判断是否出现过差分. 定义一个一元Wiener过程{W(t)}，该过程具有如下3个特性：

(1)W(0)=0；

(2) {W(t)}具有平稳独立的增量性质；

(3) 增量的分布仅与时间差有关，且服从正态分布，其表达式为

W(t+Δt)-W(t)～N(0,Δtλ2)

(1)

式中：λ2为方差.

当λ2=1时，得到一个标准Wiener过程.此时W(t)为一个带有线性漂移的布朗运动过程，

W(t)=κ+μt+σB(t)

(2)

式中：B(t)为标准布朗运动；κ为初始值；μ为漂移参数；σ为扩散参数.基于以上参数设置，定义一个服从一元Wiener过程的时间序列{w(t)}，对{w(t)}作一阶差分可得

Δw(t)=w(t)-w(t-1)

(3)

将式(2)代入式(3)可得

Δw(t)=μ+σ[B(t)-B(t-1)]

(4)

由式(4)可知，经过一阶差分后的时间序列{w1(t)}在理论上已经是平稳时间序列，可以有效地提取{w(t)}中的非平稳信息特征.对时间序列{w1(t)}再进行一次一阶差分，得到时间序列{w2(t)}如下：

Δ2w(t)=Δw(t)-Δw(t-1)

(5)

将式(4)代入式(5)可得

Δ2w(t)=

σ[B(t)-2B(t-1)-B(t-2)]

(6)

计算两个时间序列的方差分别为

比较{w1(t)}和{w2(t)}的方差可知，对于服从式(2)的电容器退化过程，二次差分会导致该时间序列丢失有效信息，在已知电容器退化方程的情况下，OPM提供了一种分析时间序列的理论思路.

2 基于ARFIMA的退化预测模型

当时间序列具有长期记忆性时，数据包含的信息会变得更为复杂.传统的时间序列建模工具已不能满足研究需求，此时需要通过能体现“长期记忆性”的ARFIMA模型研究该种序列.

对于数据的长期记忆性检验一般使用重标极差(R/S)分析法.当需要区分时间序列中的长期记忆和短期记忆时，可使用修正重标极差(MRS)分析法.

2.1 ARFIMA模型

定义df为分数阶差分阶数，系统内观测得到的原时间序列{yt}经过df阶差分后得到{zt}，两个时间序列之间的关系为

zt=(1-l)dfyt

(9)

式中：l为滞后算子；(1-l)df为分数阶差分算子.

基于ARFIMA模型预测退化数据的步骤如下：

(1) 基于R/S分析法分析时间序列中的长期记忆性数据，计算得到Hurst指数(H)；

(2) 通过H值计算得到df；

(3) 对{yt}进行分数阶差分处理得到{zt}；

(4) 用最小信息准则决定m和q的取值；

(5) 基于极大似然法估计ARFIMA模型参数，最后预测电容值退化数据.

2.2 分数阶差分时间序列的推导

为了计算{zt}，首先将分数阶差分算子进行二项展开可得

(10)

用矩阵表示以上计算步骤，有

Z=YG

(11)

式中：

3 铝电解电容器的加速退化实验

3.1 铝电解电容器的退化机理分析

铝电解电容器包含电容器芯子、保护构造、引出端等结构.其中，电容器芯子为功能部件，其结构如图1所示.

图1 铝电解电容器芯子结构图Fig.1 Structure diagram of aluminum electrolytic capacitor core

铝电解电容器的主要性能取决于其结构中的电介质，即阳极介质氧化膜部分.在工作过程中，铝电解电容器具有“自愈”特性.由于原材料或制造工艺方面的原因，阳极氧化膜的表面不可避免地会残留着杂质或微小缺陷，这些瑕疵点可称为“电弱点”.对铝电解电容器施加工作电压后，这些“电弱点”会被立刻击穿并形成放电通道，在电荷通过的同时产生大电流，而随之产生的高温则会使氧化膜向四周流动，达到修补氧化膜及恢复其绝缘性能的效果[14].然而正是这种“自愈”特性，使得铝电解电容器的氧化膜被击穿后出现电容量下降的退化过程.

3.2 铝电解电容器的退化实验设计

选取10个10 V/1 mF的固定铝电解电容器(CAi，i=1, 2,…,10)，体积为96 mm3；使用勤卓温湿度实验箱，可以同时施加温度和湿度双应力，本实验为仅施加温度应力的单应力实验；施加温度应力的电热循环系统包含循环风扇、导风板和温度电热器，其温度最高可达 150 ℃.

在实验环境下布置好温湿度实验箱，将选定的铝电解电容器置于高温应力下进行实验，每隔24 h使用万用表记录其电容值.实验采样52 d，去除第1个采样值，全部实验时间为 1 224 h.

3.3 退化数据的预处理及其分析

上述某个电容器的退化电容值(C)在不同时刻(T)的实测结果如图2所示.

图2 某个铝电解电容器的电容值随时间变化的曲线Fig.2 Variation of the capacity with time for an aluminum electrolytic capacitor

由图2可知，铝电解电容器的电容值随实验天数的增加而不断减小，呈现出明显的退化特征.同时，电容值在下降过程中还伴随着小幅波动，若排除环境和测量因素导致的误差，可以认为测试对象的退化是带有随机过程的，且该随机过程可由维纳过程描述.另外，当T=1～5 d时，电容值的退化幅度较大；当T>5 d时，电容值的退化幅度逐渐减小，这可能是由于电容器内氧化膜的“自愈”性能进入了平稳状态.使用二次模型分析其电容值的退化趋势，分析结果如图3所示.由图3可知，电容值的退化轨迹具有平稳下降的趋势，趋势分析的实测数据与拟合数据的平均绝对误差为 7.4 mF.

选取总天数中前88%的样本作为训练集，剩下12%的样本作为测试集.由数据预筛选得到的10组退化轨迹数据如图4所示，图中显示的是训练集样本的数据.

图3 单个铝电解电容器的电容值退化趋势分析Fig.3 Trend analysis diagram of the capacity for an aluminum electrolytic capacitor

图4 10个铝电解电容器的电容值随时间变化的曲线Fig.4 Variation of the capacity with time for 10 aluminum electrolytic capacitors

由图4可知，这10个电容器的退化轨迹具有相同的趋势，但其电容量存在差异.这是由于在生产过程中，原材料的材质以及制造工艺会对铝电解电容器的电容值产生一些微小的影响.电容值的出厂检测容许误差范围在±20%之内.本研究选取的10个电容器电容值与该型号铝电解电容器的额定电容值的最大误差为17.8%，在可以接受的范围之内.此外，当T=17～24 d时，退化轨迹出现一个小型的凸起部分，呈现出先升后降的变化趋势.这可能是由环境和测量因素导致的.实验共持续了52 d，室内环境的温度和湿度变化会不可避免地影响电容值的测量结果.

3.4 基于OPM-ARIMA模型的预测分析

采用经过预处理的退化数据验证OPM-ARIMA模型的可行性.首先，基于OPM方法，预判电容退化数据在一阶差分之后是否成为平稳时间序列.基于该预判直接对{yt}及一阶差分后的时间序列{xt}进行单位根检验，若{xt}已经成为平稳时间序列，则无需再进行差分处理，以免出现过差分；否则，继续对{xt}进行差分处理.然后，基于ACF及PACF给出备选的ARIMA模型阶数.最后，使用最小信息准则确定模型阶数.

ADF(AD-Fuller)检验是一种常用的单位根检验方法，该方法对50个左右的小样本数据进行检验具有良好的检验精确度[15].对{yt}进行ADF检验，得到显著性检验统计量及在3个显著水平(P=1%，5%，10%)下的接受值，如表1所示；对{yt}进行一阶差分后得到{xt}，检验结果如表2所示.

表1 {yt}的ADF值及3个显著水平下的接受值

Tab.1 The ADF values of {yt} and their acceptance values under three significant levels

CAiADF值接受值P=1%P=5%P=10%CA1-1.427-3.593-2.932-2.604CA2-1.430-3.593-2.932-2.604CA3-1.200-3.593-2.932-2.604CA4-1.333-3.593-2.932-2.604CA5-1.931-3.589-2.930-2.603CA6-1.980-3.589-2.930-2.603CA7-1.188-3.589-2.930-2.603CA8-1.967-3.597-2.933-2.605CA9-1.031-3.593-2.932-2.604CA10-0.380-3.606-2.937-2.607

表2 {xt}的ADF值及3个显著水平下的接受值

Tab.2 The ADF values of {xt} and their acceptance values under three significant levels

CAiADF值接受值P=1%P=5%P=10%CA1-7.290-3.593-2.932-2.604CA2-7.250-3.593-2.932-2.604CA3-6.936-3.593-2.932-2.604CA4-6.672-3.593-2.932-2.604CA5-8.794-3.589-2.930-2.603CA6-9.073-3.589-2.930-2.603CA7-6.943-3.593-2.932-2.604CA8-5.374-3.597-2.933-2.605CA9-6.444-3.593-2.932-2.604CA10-3.624-3.606-2.937-2.607

由表1以及表2可以看出：{yt}的ADF值均大于3个显著水平下的接受值，说明该序列为显著非平稳时间序列；{xt}的ADF值均小于3个不同显著水平下的接受值，说明此时该序列为平稳时间序列.

以某个铝电解电容器的退化数据为例，{yt}的ACF与PACF如图5所示，{xt}的ACF与PACF如图6所示.

由图5可知，{yt}的ACF随着阶数的增大并不收敛，则该序列为非平稳时间序列，该结论与ADF检验的结论一致.由图6可知，{xt}的自相关系数与偏自相关系数大部分位于±0.2区间内.此时，需要检验该时间序列的纯随机性.通过Box-Pierce检验方法可以确认该时间序列不是白噪声时间序列.另外，在95%置信区间内，ACF从1阶开始趋于零，而PACF从1阶之后出现截尾.基于4组可能的参数组合进行AIC与BIC评估，所得函数值如表3所示.

图5 {yt}的ACF和PACFFig.5 ACF and PACF of {yt}

图6 {xt}的ACF和PACFFig.6 ACF and PACF of {xt}

表3 AIC与BIC的计算结果Tab.3 Calculated results of AIC and BIC

由于其他参数组合的极大似然估计迭代结果不收敛或参数检验值不在可接受的置信区间内，所以剔除不计.

由表3可知，当(m,q)=(0,1)时，计算得出的AIC和BIC数值均最小.因此，将该组合作为最优参数组合，其对应的时间序列模型为MA(1)模型.基于MA(1)模型预测T=47～52 d的退化数据，预测结果如图7所示.

图7 带有置信区间的预测及实际电容退化轨迹Fig.7 Predicted and measured degradation path of capacity with confidence interval

图8 {zt}的ACF与PACFFig.8 ACF and PACF of {zt}

置信区间作为总体均值的一个区间估计，可以提供真实值的取值范围.由图7可知，随着预测时间的延长，预测结果的置信区间(阴影部分)变得越来越宽，这可能是由ARIMA模型的性质所决定的.随着预测时间的延长，模型中加入了更多非真实的样本作为回归参数，从而失去了预测精准度.因此，使用ARIMA模型预测电容器的退化数据时，以预测短期数据为佳.

3.5 基于ARFIMA模型的预测分析

基于R/S分析法对经过预处理的退化数据进行长期记忆性分析，计算得到的H值如表4所示.当一个时间序列符合0.5

以CA1为例，对其进行分数阶差分后的ACF与PACF如图8所示.其ADF值为-9.270，在3个显著水平(P=1%，5%，10%)下的接受值分别为-3.601，-2.935，-2.606.对{zt}进行ADF检验时，P值的计算结果为1.329×10-15，该值低于对{xt}进行ADF检验时的P值(P=1.429×10-10)及{yt}进行ADF检验时的P值(P=0.569).由此可知，在ADF检验中，{zt}已经是平稳时间序列的这个结论可信度最高.

表4 10个电容器的H值Tab.4 H values of ten aluminum electrolytic capacitors

由图8可知，在95%置信区间内，ACF在3阶后开始趋于0，而PACF从2阶开始截尾.根据AIC以及BIC信息准则得出的最佳参数组合(m,q)=(1,0)，CA1的ARFIMA模型为

ARFIMA(m,d,q)=(1, 0.497, 0)

使用训练集训练上述ARFIMA模型，得到CA1的预测退化轨迹如图9所示.

图9 预测及实测电容值退化轨迹Fig.9 Predicted and measured degradation path of capacity

4 OPM-ARIMA模型与ARFIMA模型的有效性验证及其对比分析

4.1 预测结果分析

两个模型基于CAi的退化预测模型参数如表5所示.由表5可知， OPM-ARIMA模型中的阶数m多为0，因此可以认为该模型以MA模型为主；ARFIMA模型中的阶数q全部为0，因此可以认为该模型为AR模型.

表5 基于OPM-ARIMA和ARFIMA的退化预测模型参数

Tab.5 Parameters of degradation forecast models based on OPM-ARIMA and ARFIMA

CAiARIMAmdqARFIMAmdqCA101110.497 0CA201420.500 0CA301130.500 0CA401420.493 0CA511020.500 0CA611020.500 0CA701120.500 0CA801110.478 0CA901110.478 0CA1001110.500 0

表6 基于OPM-ARIMA和ARFIMA的退化预测模型的RMSE

4.2 模型的有效性验证及其对比分析

由表6可知，基于OPM-ARIMA和ARFIMA的退化预测模型针对电容器退化特征值的预测误差均较小.在全部样本中，OPM-ARIMA模型和ARFIMA模型的预测结果与实测结果的最大误差均小于2%，最小误差分别为0.32%和0.40%.

残差检验通过对回归模型的残差进行白噪声检验来判断模型是否已经提取了时间序列中的有用信息.对两个退化预测模型进行残差检验，选取CA1的假设检验P值，如表7所示.其中，tQ为残差项之

表7 CA1在残差检验中的P值Tab.7 The P values of CA1 in residual test

间的时间间隔.在所有样本中，P值均大于0.05，接受残差时间序列为白噪声的原假设，则两个模型均已有效地提取了时间序列信息.

误差结果及残差分析表明了两个模型在铝电解电容器退化分析中的有效性，这个结果和文献[4-5]的研究结论是相符的.

对比分析两种模型的预测结果，可以发现有3个样本(CA2，CA6，CA10)的ARFIMA模型预测结果优于OPM-ARIMA模型预测结果；剩下的样本中有4个样本(CA3，CA7，CA8，CA9)基于两个模型的预测精度非常接近，误差仅在0.03% 以内；剩下3个样本，OPM-ARIMA模型的预测精度较优.从总体而言，OPM-ARIMA模型的平均预测精度略高于ARFIMA模型的平均预测精度.选取预测轨迹较明显的CA3的退化轨迹图进行分析，基于两个模型得出的预测值和实测值之间的对比分析如图10所示.大部分样本的退化轨迹图与图10中的两条虚线走势相似，且基于ARFIMA模型预测得到的数值相比于OPM-ARIMA模型的预测值均偏大一些.

图10 CA3的预测和实际的退化轨迹Fig.10 Predicted and measured degradation path of CA3

基于上述分析，可以认为针对本批实验样本，基于OPM-ARIMA和ARFIMA的电容退化预测模型均呈现出了较好的预测效果.相比之下，OPM-ARIMA 模型在短期预测中有更好的表现，但随着预测步数的增加，出现了越来越大的预测偏差；而 ARFIMA 模型则可以提取时间序列中的长期以及短期记忆性，因此它更适用于多步预测，分析具有更强的长期记忆性的时间序列.值得注意的是，OPM-ARIMA 模型作为一个预判方法，能够有效地节省预测已知随机过程分布的产品的分析操作时间，在节省试错成本的同时提高模型预测效率.

5 结论

(1) 以铝电解电容器作为研究对象，建立了基于时间序列分析的两种退化预测模型——OPM-ARIMA 和ARFIMA模型.基于可靠性实验的要求，构建铝电解电容器加速退化实验，以温度为应力、电容值为退化特征值，验证OPM-ARIMA模型以及ARFIMA模型在铝电解电容器退化研究中的可行性.实验结果表明：随着时间的增长，电容值有平稳下降的退化趋势且伴随着随机波动，具有电容器退化过程的典型特征.

(2) 基于差分方程理论，当电容器电容值服从包含Wiener过程的退化轨迹时，提供预判电容值时间序列平稳性及是否过差分的方法，并给出预判电容值达到平稳所需的差分次数，节省了试错成本.

(3) 特征检验表明10个电容器的退化数据均具有较强的长期记忆性，因此ARFIMA模型在电容器的退化分析中具有深入研究的意义.OPM-ARIMA预测模型在精度上略高于ARFIMA预测模型，但两个模型预测结果的误差均小于2%.通过残差检验证明了两个模型均有效地提取了时间序列内的有用信息.本文为基于时间序列分析研究电容器等电子产品的退化过程提供了一种新思路.