方法多样化前提下的有效教学探索——以解决比例尺的实际应用问题为例

曹传兴

（南京致远外国语小学，江苏南京 210000）

引 言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在谈到第二学段问题解决的目标时明确指出：“学生能了解解决问题的多样性，并探索分析和解决简单问题的有效方法。”基于此，笔者在执教《比例尺的应用》一课时，做出了一些尝试。

本课的知识目标实际上可以归纳为能通过图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求另一个量。不同解法的依据就是比例尺的意义，比例尺的意义包含四个方面，除本身定义之外，教材中分别通过小青椒、小萝卜、小番茄的描述给出（实录中有关于这四种意义的描述，不再赘述）。根据以往的经验，学生使用这四个意义可以想到五种不同的办法来解决问题。但如果教师不在这五种方法之中加以比较和优化，学生在学习比例尺相关实际问题时常会遇到麻烦。

一、复习旧知，引入课题

上课伊始，笔者先出示1∶2000000的比例尺，然后询问学生，具体内容如下。

师：同学们，这样的比例尺表示什么意义？

生2：实际距离是图上距离的2000000倍。

生3：图上距离比实际距离等于1∶2000000。

生4：图上1厘米表示实际距离20千米。

师：说得真好，如果改写成一个线段比例尺，该如何表示呢，自己画一画。

在笔者的引导下，学生画出了线段比例尺，见图1。

图1

【教学反思】比例尺的意义学生能否熟练掌握是决定本节课能否顺利揭示各种算法的关键，同时也是比例尺应用的关键。特级教师曹培英在其《跨越断层，走出误区》一书中说：“培养小学生的应用意识，需要有效沟通数学知识与数学世界的联系。”所以，上课伊始，有必要对比例尺的意义进行有效复习。

二、过渡新知，解决问题

师：我们已经学会了求一幅地图的比例尺，如果知道一幅地图的比例尺和图上距离，该怎么求两地之间的实际距离呢？请看例题，在一幅地图上，比例尺是1∶2000000，量得甲乙两地之间的距离是4厘米，甲乙两地之间的实际距离是多少千米？

之后，笔者让学生分小组合作完成题目，先让学生独立完成，然后在小组内交流自己的想法，最后各小组在全班同学面前分享自己的想法。小组汇报结果如下。

（1）4÷1=4，4×2000000=8000000（ 厘 米），8000000厘米=80千米。思路：因为图上距离和实际距离的比是1∶2000000，可以用按比例分配的方法，得到实际距离是8000000厘米，化成用千米作单位就是80千米。

（2）解：设实际距离是x厘米，根据比例尺可以列出比例式1∶2000000=4∶x，解得x=8000000，再化成千米作单位就是80千米。

（4）4×2000000=8000000（厘米），8000000厘米=80千米。思路：根据比例尺的意义，实际距离是图上距离的2000000倍，只要用4乘2000000就是实际距离了。

（5）图上1厘米代表实际20千米，4×20=80（千米）。思路：根据比例尺的意义，图上1厘米表示实际距离20千米，因此，只要用4×20=80（千米），就是实际距离。

笔者总结：同学们根据比例尺四个不同的意义，想出了五种不同的方法，不管是哪种方法，都紧紧抓住了图上距离与实际距离的关系，每个人都有自己的选择和想法，抓住比例尺的意义这一解题的关键，就可以正确解决类似的实际问题了。

【教学反思】基于过去的教学经验，笔者在备课时已经预想到学生依据比例尺的不同定义可能得出实际距离的不同算法，事实上也是如此。在以往的教学中，笔者会随后优化一些算法，如算法2、算法5，但这一次的教学并没有如此做，因为“想克服负担过重的现象，就得有学生自由支配的时间”，这个时间在课堂上就应该出自学生自己的想法与体验。如果没有充分的体验，而由外力强加，这样的数学学习是毫无乐趣可言的，更谈不上高效[1]。

三、巩固练习，优化算法

出示练一练1：甲、乙两地之间相距480千米，画在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，长多少厘米？

师：独立完成，在小组内校对，并说一说自己的做法。

学生汇报如下。

（1）480千米=48000000厘米，48000000÷4000000×1=12（ 厘 米 ）；（2） 解： 设 图 上 距 离 是x厘 米，1∶ 4000000=x∶ 48000000， 解 得x=12；（3）480千 米=48000000厘米，48000000×=12（厘米）；（4）480千米=48000000厘米，48000000÷4000000=12（厘米）；

（5）图上1厘米→实际40千米，480÷40=12（厘米）。

师：比较一下这五种做法，你更喜欢哪一种方法？

生：第五种，因为前几种在计算的过程中都有很多零，直接将比例尺的意义写成图上1厘米表示实际40千米，既简单，又不容易错。

出示练一练2：在一幅20∶1的设计图上，量得一个零件长8厘米，求这个零件的实际长度。

师：独立完成，在小组内校对，并说一说自己的做法。

学生的做法如下。

（1）图上20厘米代表实际1厘米，8÷20=0.4（厘米）；

（2）解：设实际距离是x厘米，8∶x=40∶1，解得x=0.4。

师追问：为什么你选择的是解比例的做法。

生：因为我发现这个比例尺是放大的比例尺，图上1厘米表示实际距离厘米，还不如直接用解比例的方法，根据图上距离：实际距离=比例尺来解题，列式又快又正确。

【教学反思】经过五种算法的比较之后，学生自己就产生了优化的想法。学生是否选择使用较为简便的方法通常有两个决定性要素：一是尽可能少地写一些解题步骤或文字；二是尽可能少地使用已知的数学知识经验或数学思想方法。在前一题中，学生比较集中地选择了方法2和方法5，方法2通过比例尺的意义来列出比例式解题，方法5优化了解题步骤，化多步单位换算为一步单位换算，均反映了学生的实际需要。笔者设计第二道题的目的在于，当学生发现方法5在使用中顺手时，解比例的方法优点就被重点突出了。

比例尺应用的教学常常伴着计算、单位换算、比例尺意义的理解等问题，学生容易出现解题错误，教师在教学过程中往往会避繁就简，根据自己的经验总结出一个自认为适合学生的方法，再让学生生搬硬套。殊不知，这已经背离了学习的本质。就像苏霍姆林斯基在《给教师的建议》一书中指出的，“学习愿望是学生学习生活的重要动因”，方法多样化是课堂学习氛围的一种有效调节手段，但方法多样化的外衣之下需要有效的教学探索。认知心理学家们也认为，问题解决一般分为四个阶段：（1）问题表征；（2）确定问题解决策略；（3）执行策略；（4）评估策略。在实际教学中，教师应加以运用。

结 语

本节课从笔者让学生自由选择五种解题方法，到学生有目的地选择其中一到两种方法，最后再加以提炼与优化，将之与常用数量关系贯通，符合学生认知规律，教学效果良好。正如元认知理论认为的，确定目标，选择认知策略，使用系统的认知加工、监控、评价过程，以及对认知策略进行必要修正（甚至改变）之中的自我监控，是问题解决和创造力的基础。因此，实际教学中，教师应运用多样化的教学方法，激发学生的探索欲望，进而不断提升学生的解题能力。