数学核心素养三面观：语言、思维、眼光

张望发

【摘要】中学数学核心素养，作者认为可以归结为三个方面，即数学语言、思维、眼光，从而对数学核心素养的表述进行归类与简化。文章对于中学数学核心素养的培养进行了一些思考，以期对今后进一步抓好数学教学中的核心素养培养工作有一定的促进作用。

【关键词】中学数学;核心素养;语言;思维;眼光

数学的核心素养的培养，目前普遍认为包含六大素养，也有学者认为，还要加上实践能力、创新意识，构成八大素养。也有学者提出数学核心素养包含数学文化在内共17种成分。结合中学数学教学实践，通过认真思考，我认为中学数学核心素养主要包含三个方面，即数学的语言、思维和眼光。下面，本人结合多年在一线的教学实践，通过数学语言、思维、眼光这三方面重新审视数学核心素养及其培养。

一、掌握数学语言，是培养数学核心素养的基础

数学语言有其自身的符号系统，是其从现实中抽象出来的可以自成体系的表达模式。语言是数学知识的载体。如何培养学生的数学语言素养呢？

1.重视数学语言中三种语言的互相转化

对于数学知识，我们除了采用日常语言表达，更主要的还是符号语言和图形语言。这三者之间还可以相互转化。三者互化中，其实是我们思维方式在不断地转换。

这在平面几何中体现得尤其明显。如最简单的“对顶角相等”，这是日常语言。画出相交两条直线，得到两对对顶角，这是图形语言。在推理论证中写成：“∵∠1和∠2是对顶角 ∴∠1=∠2（对顶角相等）”这就是符号语言。

2.加强符号语言的训练

日常语言方便大众化的交流，是人人都听得懂的语言。数学中的符号语言也是通用语言，但却需要懂数学的人之间方可自由地交流与沟通。因此，重视符号语言的训练对学习好数学具有重要的意义。我国古代数学虽然在直观解题中占有优势，但始终没有获得突破，很关键的一个因素是我们没有和西方欧美国家一样，有数学的符号优势。不要小看“字母代替数”，它产生的效应不仅仅是代数学的诞生，更是一个新的思维世界的诞生。符号语言训练在代数中最直接的就是字母代替数，在几何学中就是步步有据的证明过程。

3.重视数形结合

图形语言相对直观，形象，有助于问题的迅速直观解决。不少数学题利用数形结合可以更加迅速的解决。如求|x-1|+|x-2|的最小值。常规的想法，就是分类讨论。但如果我们注意到绝对值的几何意义，结合数轴，可以知道，|x-1|表示x到1的距离，|x-2|表示x到2的距离。这样，我们就直观地看出1≤x≤2时，有最小值1。

总的来说，三种语言各有优势，熟练掌握三种语言之间的互化、翻译，有利于迅速解决一些数学题。

我们说，语言是交流与沟通的工具，数学语言也是如此。因此，它是培养数学核心素养的基础。我们人类为了寻找宇宙中的其他智慧生命，在人造卫星或者宇宙飞船上张贴了勾股定理的图案，希望用数学语言和外星人沟通。因此，我们教学中对数学语言要给予足够的重视，要培养学生规范和严谨的数学语言。

二、重视数学思维，是形成数学核心素养的前提

数学的核心就在思维，三种语言之间的相互转化、互译也是思维。思维是靠问题推动的，没有问题就没有思维。

1.明确数学知识其实就是思维结构

数学思维最具有代表性的当然是逻辑思维。欧几里得的平面几何就是建立在严格的逻辑推理上的思维大厦。它通过有限的五个公理，再通过严密的逻辑推导就把整个几何的大厦建立起来了。这成为后世人们学习逻辑思维的典范。两千多年来，人们一直沿着欧几里得建立的这一体系研究几何学，其开创的公理体系散发着迷人的魅力。代数学也是沿着字母代替数，进而产生方程、函数等符号推演系统，形成自己的完整的思维结构。可以说，没有思维结构，就没有数学。

2.重视步步有据的逻辑推理

对于平面几何的推理书写，我们要不遗余力地提倡写好每一步的推导过程，而不提倡一开始就简略书写。如三角形内角和为180°，很多老师认为学生会直接用这个结论就好，我却坚持这样书写：∵△ABC ∴∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°）

这对养成良好的推理习惯是很有帮助的，一开始就强调步步有据，学生不容易产生学习的困惑。只有到后续学生熟练了这一推理形式，才能把∠A+∠B+∠C=180°直接作为前提条件。又如在学习直角三角形两个内角互余的推理书写时，要写成：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°（直角三角形两个内角互余）

让学生明白，原因中还有一个隐含的原因∠A+∠B+∠C= 180°。这样，在今后书写推理过程时，学生就会明白，有些结论成为定理后隐含条件可以省略不写，但不写并不是可以不要。这样逐步训练能培养学生严密思考的能力，实现核心素养的培养要求。

3.问题悬而未决也有魅力

数学思维的目的在于解决问题，但也不一定要彻底解决。目前，数学界就还有不少猜想没有彻底解决。最典型的就是陈景润为之倾注一生心血的哥德巴赫猜想。这个猜想本身并不难，表述出来就是：大于6的偶数都可以写成2个质数的和。如24=19+5或者17+7或者13+11。这就是著名的“1+1”。陈景润已经证明了“1+2”，但“1+1”还是没有彻底攻克。存在没有解决的问题，就会有动力让人去钻研。今天，很多民间数学家还在钻研“1+1”，虽然中科院说今后不再接受和論证这些民间数学家的论文，但也从另一个侧面说明了其巨大的魅力。

还有一个著名的“费马猜想”，认为xn+yn=zn在n=2时有整数解，就是勾股数，但n≥3时则没有整数解。费马在其笔记侧页写道：“我已经找到一种绝妙的证明方法，可惜这里空间太小了，写不下。”因此，这个猜想也被称为“费马大定理”。这个定理一直未得到证明，但人们在试图证明的过程中又有了新的发现，因此，这个“费马大定理”也就被称作是会下蛋的“母鸡”。因此，我们认为思维过程比结果更重要，有思维就会有发现，就会有突破。我们教学中也应该允许存在一些悬而未决的问题，这可以引发大家的探索兴趣。

4.要重视非逻辑思维的引入和训练

当然，逻辑思维并不是万能的，它的作用在于验证猜想的正确性。因此，现在讲数学思维，我们应该有更广泛的外延，应该包括灵感、猜想、尝试等各种非逻辑思维。其实，逻辑思维是欧美等西方人擅长的思考方式，我们东方人更擅长的是非逻辑的跳跃性思维、整体思维、灵感思维。在东西方文化交流与融合过程中，我们实现了文化的互鉴与互补。很多数学题，如果单纯用逻辑思维，解决起来就很烦琐，而用我们东方人的非逻辑思维却可以迅速得到解决。

另外，对教学内容中一些抽象概念，也一样可以通过形象化处理。如对于二次函数的学习，我把其图像看着一条鱼的鱼头：二次函数抛物线，网只大鱼沉甸甸。对于二次函数开口，我又让学生进行形象化记忆：a正双手伸向天，a负海底去探险。双曲线和数轴无限接近却永不相交，我把它称作“悲伤的双曲线”。

所以，数学思维也不一定就是冷冰冰的逻辑思维，也一样可以有形象化的处理模式，可以有我们东方人独特的解决办法。我们教师在课堂上作出示范，学生就容易模仿，进而学会各种有趣的思维模式与解决问题的手段，提升其数学核心素养。

三、涵养数学眼光，是巩固数学核心素养的归宿

數学的眼光，是指对数学结论的直觉能力。

三百多年前，高斯在小学学习时，就秒杀了当时老师布置的一道“难题”，从1依次加到100。他直觉感到一定有快速计算方法，然后迅速想到1+100，2+99，…，50+51。发现有50个101，结果为5050。这就是数感，也是高斯对数字独到的眼光。

著名数学家陈省身，曾经指出我们看待三角形的方式不对。我们认为观察三角形就是观察其内部，得出内角和为180°。陈教授是把三角形每条边延长成为射线，观察其三个外角。发现这三个外角其实是顶点不同，但都是绕一圈回到原处。因而，很容易想到外角和为360°。进而一样知道，所有封闭图形外角和都是360°。这是数学家独到的观察图形的眼光。

如何培养数学的眼光呢？

首先，数学的眼光也是建立在扎实基础上的。没有一定的基础积累，也是不会凭空产生整体的、全局的、灵感的思维。因此，我们不应该好高骛远，放弃平时的基础训练。其实，基础性的训练也能给学生留下深刻的印象。

其次，练习要强调少而精。我们也不能因为数学需要扎实的基础，就埋头进入题海中，一味地强调强化训练，那样更是费时费力，而且效果也是不太好。我们要树立“题不在多，但求精彩”的理念，讲求一题多变，一题多解。练好一题，带动一片。如，几何学习中，通过对图形的平移或者旋转，一道题就由静态变成动态，形成各种情况下的变化，而我们解题则需要在“变”中抓住“不变”的东西。

再次，要重视有“母题”和基本题型的训练。简单的东西也需要反复训练，深入学生的思维，最后，变成学生的思维模块。如角平分线和平行线组合，就会得到等腰三角形。抓住基本的模块，有助于学生迅速找到解题方向。

最后，要在复习中提升学生的能力。复习不是炒旧饭，是对学过知识的融会贯通，是在一个新的角度重新梳理知识。复习做得好，可以让学过的知识“活”起来，可以让学生感到学习的乐趣。我在复习中比较喜欢设计“步步高”的题组训练，学生练习起来感觉每做一次都有新的收获。

综上所述，数学核心素养的培养不是一朝一夕就能够完成的，需要我们数学教师做很多精细艰辛的工作。本文只是笔者按自己的理解对六大核心素养作出的新的理解与梳理，以期对自己今后教学会有一些帮助和促进。同时，希望起到抛砖引玉作用，让数学核心素养的培养引发更多的讨论与争鸣，进而让数学核心素养的培养更好地落地于每一个课堂。