等腰三角形解题策略:基本图形+“两头凑”

2019-11-25 02:40陈亚楠
初中生世界·八年级 2019年10期
关键词:平分等腰三角中点

陈亚楠

等腰三角形性质与判定是《轴对称图形》这一章的难点,也是常考的知识点。随着几何学习的深入,部分同学出现了面对复杂问题不会分析,面对复杂图形无从下手的情况。有时候题目中并没有直接给出等腰三角形的条件,而是需要大家根据已知推理得到。那么,要构成一个等腰三角形就必须要有相等的边或相等的角。从相等的边来看,根据垂直平分线的性质即可构造等腰三角形(如图1);從相等的角来看,“平行平分得等腰”是常见的基本图形(如图2)。

例1如图3,已知在△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,AD=BD。求证:CD⊥AC。

【分析】读完题之后我们要思考三方面问题:①已知什么?能得到什么?②求证什么?需要什么?③怎么解决?

首先,由AB=2AC,AD=BD可联想到基本图形图1,取AB的中点E,连接DE,由“三线合一”得DE⊥AB;其次,要证明CD⊥AC,可证明∠ACD=∠AED=90°;最后,由AD平分∠BAC,证明△AED≌△ACD即可。

证明:取AB的中点E,连接DE。

∵AD=BD,

∴AB=2AE,DE⊥AB,

∴∠AED=90°。

∵AB=2AC,

∴AE=AC。

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠CAD。

在△AED和△ACD中,

[AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,]

∴△AED≌△ACD。

∴∠ACD=∠AED=90°。

∴CD⊥AC。

例2 如图4,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,与AB、AC相交于点M、N,且MN∥BC,求证:△AMN的周长等于AB+AC。

【分析】首先,已知平行、平分,由基本图形图2可得△BMO和△CNO是等腰三角形;其次,求证C△AMN=AB+AC,需证MN=MB+NC;最后,由腰相等进行等量代换即可。

证明:∵BO平分∠ABC,

∴∠ABO=∠CBO。

∵MN∥BC,

∴∠MOB=∠CBO,

∴∠ABO=∠MOB,

∴BM=MO。

同理,CN=NO。

∴C△AMN=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC。

以上两道例题涉及了之前提到的两个基本图形,它能够帮助我们快速地将复杂图形分解成熟悉的简单图形。当然,基本图形也不能帮助我们完全解决复杂几何题,还需要我们学会分析问题。在上面两道题的分析中,陈老师要同学们思考三个方面的问题:①已知什么?能得到什么?②求证什么?需要什么?③怎么解决?其实这就是结合条件和所要证明的结论一起考虑,即“两头凑”,做到这些,遇到新题就不会束手无策了。

(作者单位:江苏省海安市城南实验中学)

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