广义半覆盖远离子群与有限群的可解性*

韦华全李 敏李 姣古徽龙

(广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

0 引言

本文考虑的群都是有限群.设G是群,用π(G)记G的阶的素因子之集;若子群M在G中极大,我们记为M＜·G.

利用子群的性质研究群的结构,是重要的研究方法.其中,正规性是最重要的性质之一,由群论创始人Galois引入,它在群论结构研究中扮演了重要角色.因此,群论工作者对这种性质做了诸多推广.其中,Gaschütz于1962年在文[1]中给出了子群的覆盖远离性(相应的子群称为CAP-子群),之后有不少学者跟进研究,如文[2-6].正规性的另一种重要推广是c-正规性,它由王燕鸣于1996年在文[7]中给出.韦华全则于2006年在文[8]中引入c#-正规性与c#-可补性,推广了覆盖远离性、c-正规性和c-可补性,统一推广了多个熟知的结果.[9-10]此外,樊恽,郭秀云,岑嘉评于2006年在文[6]中给出了子群与c-正规子群的另一种推广——半CAP-子群(这个性质也叫作半覆盖远离性),获得群结构的几个判别准则.进一步,刘建军于2011年在文[12]中引入半覆盖远离性的推广,即子群的广义半覆盖远离性(相应的子群称为半CAP*-子群),并且利用某些极大子群的广义半覆盖远离性来研究群的可解性.

本文进一步研究子群的广义半覆盖远离性质对有限群结构的影响,目的是给出有限群可解的若干充分或必要条件,推广多个新近的可解性结果.具体地说,下述定理1和定理2给出了群可解的两个充分条件,所考虑的子群是2-极大子群;定理3获得了群可解的一个充要条件,而考虑的子群是极大子群的Sylow子群;定理4得到了群可解的一个充分条件,考虑的子群则是3-极大子群.

1 定义及引理

设G是群.我们引用文[8]的记号如下：

定义1[8]若F p非空,S p(G)=∩{M|M∈F p};否则S p(G)=G.

若F pd非空,S pd(G)=∩{M|M∈F pd};否则S pd(G)=G.

若F od非空,S od(G)=∩{M|M∈F od};否则S od(G)=G.

定义2[2]设A是群G的子群,H/K为G的主因子.若HA=KA,称A覆盖H/K;若H∩A=K∩A,称A远离H/K;若A或覆盖或远离G的每个主因子,则称A为G的CAP-子群.

定义3[7]设H是群G的子群.假如存在G的正规子群K使得G=H K且H∩K≤H G,那么H叫作G的c-正规子群,这里H G是H在G中的核.

定义4[8]设G是群,H为G的子群.称H为G的c#-正规子群,如果存在G的正规子群K使得G=H K,并且H∩K是G的CAP-子群.

定义5[6]设G是群,H为G的子群.称H为G的半CAP-子群,如果存在G的一个主群列使得H覆盖或远离这个主群列中的每个主因子.

定义6[12]设G是群,H为G的子群.称H为G的半CAP*-子群,若有G的主列使H覆盖或远离列中的每个非Frattini主因子.

引理7[12]引理5.1.3,引理5.1.4设G为群,H为G的子群,并且.则

(1)如果N≤H,那么H是G的半CAP*-子群当且仅当H/N为G/N的半CAP*-子群;

(2)若(|H|,|N|)=1,H是G的半CAP*-子群,则H N/N为G/N的半CAP*-子群.

引理8[8]定理1.4.1设G为群.则

(1)S2(G)和S od(G)都是可解群;

(2)若p=maxπ(S pd(G)),则S pd(G)为p-可解的.

引理9[11]Thompson定理若群G有奇阶幂零极大子群,则G可解.

引理10[7]定理3.4群G可解的充要条件是G有c-正规极大子群M使M可解.

引理11[8]定理1.4.8群G可解,若G的所有3-极大子群都是G的c#-正规子群.

引理12 设H是群G的Sylowp-子群,其中p∈π(G).则G是p-可解群当且仅当H是G的半CAP*-子群.

证明：必要性.设G是p-可解群.则对G的任意主因子A/B,A/B为p'-群或p-群.若前者成立,则(A/B)∩(HB/B)=1,有H∩A=H∩B,即H远离A/B.若后者成立,则A/B≤HB/B,于是H A=HB,即H覆盖A/B.故H为G的CAP-子群,当然H是G的半CAP*-子群.

充分性.设H是G的半CAP*-子群,我们要证G是p-可解群.由假设,存在主群列Γ：1=G0＜G1＜…＜G使得H覆盖或远离这个主群列中每个非Frattini主因子.对于任意的i,如果G i+1/G i≤Φ(G/G i),那么Gi+1/Gi可解,从而Gi+1/Gi为p'-群或p-群.如果Gi+1/Gi⊄Φ(G/G i),那么HG i+1=HG i或H∩G i+1=H∩G i.若前者成立,则Gi+1/Gi为p-群.若后者成立,则(HG i/G i)∩(G i+1/G i)=1,当然G i+1/G i为p'-群.因此G是p-可解群.

2 主要结果

定理1 设G是群.若对于任意M∈F od,M的极大子群皆具有广义半覆盖远离性(即为G的半CAP*-子群),则G为可解的.

证明：假如定理不真,设G为反例且|G|为最小.设N为G的非单位正规子群,显然G∕N满足定理的条件.因此G的选择蕴含G∕N可解.这样G的极小正规子群唯一,记为N.这意味着,N包含在G的任意主群列中.若N≤S od(G),则由引理8知N可解,当然G可解,矛盾.所以N⊄S od(G),表明存在M∈F od使得G=NM.若N∩M=1,则M是G的c-正规可解极大子群,从而G可解,矛盾.下设N∩M≠1.若N∩M=M,则G=N为单群.对于M的任意极大子群M1,存在一个G的主群列,使得M1覆盖或者远离这个主群列中的每个非Frattini主因子.若M1覆盖G/1,则M1G=M1,即G=M1,矛盾.所以M1必然远离G/1,M1∩G=M1∩1,即M1=1,则M为奇素数阶循环群.由Thompson定理(引理9)知,G可解,矛盾.故N∩M＜M,可取M的极大子群M1使得N∩M≤M1＜·M＜·G,N∩M=N∩M1.显然,N/1不是G的Frattini主因子.若NM1=1·M1,则N≤M1,所以N∩M=N∩M1=N,即得N≤M,由于G=NM,此时G=M,矛盾.若N∩M1=1,所以N∩M=N∩M1=1,与N∩M≠1矛盾.

同法可证下述定理,限于篇幅,这里略去证明.

定理2 假定G为群.若对于任意M∈F2,M的极大子群都具有广义半覆盖远离性(即为G的半CAP*-子群),则G为可解的.

定理3 有限群G是可解群的充分必要条件是有L＜·G,满足L的Sylow子群都具有广义半覆盖远离性(即为G的半CAP*-子群).

证明：必要性.设L是G的任意极大子群,A/B为G的任意主因子.因G可解,故对某个素数p,A/B是初等交换p-群.若B⊄L,则BL=AL=G.若B≤L且A⊄L,则AL=G.进而,(A/B)(L/B)=G/B且(A/B)∩(L/B)=1,于是A∩L=B=B∩L.若A≤L,则BL=AL=L.表明L是G的CAP-子群.由文[2,A,10.9],L的Sylow子群都是G的CAP-子群,当然L是G的半CAP*-子群.

充分性.设G是极小反例.则

(1)设N是G的极小正规子群且N含于L,则N不可解.

设N可解.则有p∈π(G),使得N为初等交换p-群.但是,G/N满足定理的条件,故G的极小性蕴含G/N为可解的,导致G可解而定理3成立.这个矛盾表明N不可解.

(2)L G=1.

如果(2)不成立,则有G的子群N≤L使得N在G中极小正规.利用(1)及Thompson定理,|L|为偶数.令P∈Syl2(L).则有G的主列Γ：1=G0＜G1＜…＜G使得对于某个i,N∩G i+1=N且N∩G i=1,所以G i+1=NGi,即N≅G i+1/G i.若Gi+1/Gi为G的Frattini主因子,则N可解,与(1)矛盾.故G i+1/G i为G的非Frattini的,有PG i+1=PG i或P∩G i+1=P∩G i,对于前者有N≅G i+1/G i为2-群,当然N可解.后者有P∩N=1,所以N为奇阶可解群,与(1)矛盾.

(3)设N是G的极小正规子群,则N不可解.

设N可解.则有p∈π(G)使得N为初等交换p-群.又G=LN且L∩N=1.如果p≠2,令P∈Syl2(L),则P∈Syl2(G).此时,G是2-可解群(由引理12),由此可得G可解,不可.故p=2,这样只要素数q≠2及Q∈Sylq(L),必有Q∈Sylq(G).利用引理12,G为q-可解的.如果A/B为G的主因子,那么A/B必为若干同构单群的直积.令为A/B的某个直积因子,那么当然为q-可解的或.如果,则,这样A/B是q-群,可得A/B可解.如果,那么必是2-群,A/B亦可解.表明无论哪种情形,G都是可解的,这与G的选择矛盾.

(4)完成证明.

任取G的极小正规子群N,由(2)有G=LN.对于任意L的Sylow子群P,由题设,存在G的某个主群列Γ使得P覆盖或者远离Γ中的每个非Frattini主因子.显然存在Γ中的主因子A/B使得B∩N=1,而A∩N=A,从而A=BN,N≅A/B.由(3),A/B为G的非Frattini主因子,故PA=PB或P∩A=P∩B.前者有N≅A/B≤PB/B可解,与(3)矛盾.故必有P∩A=P∩B,这样P∩N=1.由P的任意性,有L∩N=1.下证G/N可解.

设P∈Syl2(G),且可设N包含在Γ中.设C/D为Γ中任意的非Frattini主因子,其中N≤D,则有P∩C=P∩D或PC=PD.后者显然有C/D可解.前者有,又(PD/D)∈Syl(G/D),从而2C/D为奇阶可解群,于是G/N有主群列使得每个主因子都可解,从而G/N可解.所以L为G的可解c-正规极大子群.由引理10得G可解.矛盾.

定理4 群G是可解群,若G的3-极大子群皆具有广义半覆盖远离性(即为G的半CAP*-子群).

证明：设定理不真,G为一个反例且|G|为最小.对于G的非单位正规子群N,不难证明G/N满足定理4的条件,所以G的选择可得G/N可解.于是可设N是G的唯一极小正规子群且N⊄Φ(G).故N包含在G的任意主群列中.同时,G有极大子群M满足G=NM.如果N∩M=1,那么M在G中c-正规,且因M与G/N同构,故M可解.这样G可解,不可.所以必有N∩M≠1.

若N∩M=M,则G=N是单群,G/1是G的唯一非Frattini主因子.设T是G的任意3-极大子群.则TG=T·1或T∩G=T∩1.前者不可能成立,故必有T∩G=T∩1,即T=1.由引理11得G可解,矛盾.故N∩M＜M.

若N∩M＜·M,则N∩M的每个极大子群皆为G的3-极大子群.取T1＜·N∩M,则T1覆盖或者远离N/1,即

若T1∩N=T1∩1,由T1的任意性,N∩M=P为素数p阶循环群.由M的极大性得N G(P)=G或M.若N G(P)=G,则由N的唯一性N=P≤M,G=NM=M,矛盾.故N G(P)=M.此时P是N的Sylowp-子群且N N(P)=C N(P).由Burnside定理,N为p-幂零群,从而N=P≤M,还是矛盾.若T1N=T1·1,则N≤T1≤N∩M＜M,矛盾.

若N∩M不是M的极大子群.故存在M的2-极大子群L2包含N∩M.于是L2∩N=M∩N.由题设,L2覆盖或者远离N/1,即L2∩N=L2∩1或L2N=L2·1.前者导致N∩M=1,矛盾;后者导致N≤M,也是矛盾.