内聚力模型应用研究

郭彩芬

(苏州市职业大学 机电工程学院，江苏 苏州 215104)

疲劳是工程构件失效的主要原因之一，至今疲劳寿命预测依然主要凭借经验。美国人Paris[1]认为应力强度因子才是裂纹扩展的真正推动力。因此，在1961年提出了表达裂纹扩展规律的著名关系式——帕里斯公式，为疲劳研究领域提供了一个估算裂纹扩展寿命的新方法。在小范围屈服、不变载荷及长裂纹情况下，帕里斯公式对实验数据的诠释非常成功，但如不满足上述条件，公式在很大程度上就丧失了预测能力，因为帕里斯公式没有完全反映裂纹生长的物理规律。根据线弹性力学理论，裂纹体的应力和应变通常具有奇异性，即在裂纹顶端处的应力和应变为无穷大。这在物理上是不合理的，也即线弹性力学在裂纹顶端不适用。实际上，裂纹顶端区域的情况很复杂，像晶粒大小、位错结构等微观因素对裂纹顶端应力场影响很大。因此，采用应力强度因子作为唯一的裂尖载荷参数已不能完全阐明裂纹生长的必要物理特性，而应用Barenblatt[2]的内聚理论分析解决裂纹萌生与扩展问题是有效的方法之一。

1 内聚力模型分析

从原子层面分析，表面分离时要克服的原子结合力就是内聚力，与之对应的应力值就是内聚应力(对于塑性金属，内聚应力就是材料的屈服应力)[3]。内聚力模型(cohesive zone model，CZM)提出：在裂纹尖端由于微裂纹或塑性而存在一个很小的非线性区域(内聚区)，内聚力σ随着外部载荷的增大而增大，表面相对位移δ也是如此。当内聚力为最大值σc(即内聚强度或临界内聚力)时，界面分离产生新的断裂面；同时，也伴随着界面损伤。损伤程度随着界面相对位移的增大而加深，与此同时内聚力也由峰值逐渐降为零(此时对应的相对位移达到最大值δsep，也称为临界相对位移)，内聚力——相对位移关系曲线如图1所示[2，4-8]。

图1 内聚力——相对位移关系曲线

内聚力理论又称为牵引——分离定律(traction separation laws，TSL)，其焦点是界面的应力和其相对位移间满足一定的函数关系，即内聚本构关系。内聚理论认为构件断裂是一个逐渐完成的过程，期间材料起始表面的分离受阻于内聚牵引力。在单调载荷作用下，内聚牵引力逐渐减小至零，而相对位移达到临界值。生成新表面时，单位面积上要耗费一定的能量，即所谓的断裂能或临界能量释放率。

所有的TSL模型都是一种唯象模型，也即内聚力——相对位移曲线只是一种近似的量化关系，并没有对实际的断裂物理过程进行定义与描述，曲线形状因研究者及研究内容而异，常见的形式有指数型、三线型(梯形)、三角型、双线型、常数型、直线型等，如图1所示。不同的TSL曲线都有两个共同的特征：①3个CZM模型参数(内聚强度σc、临界相对位移δsep、内聚能Π)只有两个是相互独立的，数值模拟时只需要输入其中2个参数即可；②内聚力为零(σ(δ≥δsep)≡0)，表征界面完全分离。

以三角型CZM见图1(c)为例，在O点，材料没有加载，也没有界面分离产生；沿着直线OA对材料施加载荷，此时没有材料损伤，卸载是完全可逆的；斜率K(原始内聚刚度)取值很大以使其对整体结构柔度的影响很小，但K值也不能太大，以防计算时间过长。在A点(界面的分离距离为δ0)，内聚力达到允许最大值(内聚强度)σc，超出σc则界面出现损伤。在B点内聚刚度为Kδ，界面间距离为δ。当内聚力在C点降为零时，界面间分离距离为δsep，界面完全分离。内聚能Π等于三角形的面积，Π=σcδsep/2。除了内聚强度和内聚能2个参数，TSL曲线的形状对研究材料裂纹生长阻力也至关重要[9]。

图1中的TSL曲线可以分为两部分：硬化部分，也即σ——δ曲线的上升区，在这个区域内，材料的变化形式为线弹性，直至内聚应力达到最大值σc；软化部分，随着两晶面间距离δ的增加，内聚力σ逐渐减小，直至δ＝δsep，内聚力σ＝0。据图1中各种类型的TSL曲线还可以注意到一条TSL曲线可以没有硬化部分，但软化部分必不可少，而且可以由几部分组成，如图1(d)所示。

2 模型参数的确定

为了应用CZM模型进行数值仿真，必须确定TSL曲线参数以明确内聚力——相对位移关系。不同的TSL曲线形状需要的模型参数不同，数量也不同，如指数型和直线型CZM模型需要2个参数(内聚强度σc和内聚能Π)；三线型需要4个参数(σc、Π、δ1/δsep、δ2/δsep)。由于所有的TCL模型都属于唯象模型，没有确定模型参数的基本方法，只有通过实验的方法直接确定或通过间接方法确定。

2.1 直接实验法确定模型参数

可以采用4种实验测得CZM曲线的基本参数：单轴拉伸实验[10]、劈裂测试[11]、三点弯曲测试[12]及楔入劈拉实验[13]。其中变形可控的单轴拉伸实验最简单最直接，但由于断裂处的小变形和某些材料的超高刚度使得实验不易标准化。劈裂测试和三点弯曲测试也不易标准化。最后一种楔入劈拉实验，因其实验的稳定性，适用于水泥和类水泥材料的CZM曲线参数测定。实际上，CZM模型的参数值并不能直接取自实验结果，而是将实验值与数值仿真结果进行反复比较确认，最终得到一个令人满意的结果。

直接实验法中经常出现的现象如图2所示[14]。对于水泥基材料及陶瓷材料而言，内聚裂纹的位置事先未知，且由于材料的异质性可能有多条裂纹存在，如图2(a)所示。对于内聚区非常小的PMMA(有机玻璃)材料和其他很多材料，在内聚裂纹出现前无裂纹的试件要经历较大程度的屈服，试件中储藏的应变能使得测试不稳定，尽管有裂尖张开距离CTOD(crack tip opening distance)控制措施；试件中要事先预制裂纹使其萌生断裂，并且要有一条单独的内聚裂纹，由此试件会经历不对称的断裂模式，并且裂纹的张开方向沿整个试件不是始终如一，如图2(b)所示。即使较高硬度的拉伸测试机也不能解决试件内部弹性弯曲问题。如果进一步通过采用短试件和高硬度测试机或采用专门的伺服控制系统可以避免试件转动，试件两端形成的两条裂纹倾向于彼此分开重叠而不是产生单独的一条裂纹，如图2(c)所示。

鉴于直接实验法存在上述种种内在问题，很多研究者转向基于实验数据的间接法确定CZM曲线的参数，这就是所谓的参数拟合法，也称逆向分析法或数据处理法。

图2 直接实验法中的常见现象

2.2 间接实验法确定模型参数

间接实验法确定模型参数主要采用两种方法：

1) 使用载荷——位移曲线上的点αi(Pi，δi)，其中：Pi为外加载荷，δi为界面间分离距离。此种情况使用由α1，α2，…，αN，N个参数事先定义好的软化曲线，αi(i=1，…，N)就是软化曲线上的点，优化处理调整N个参数与实验数值的相符效果最佳[15]。实际上该种方法得到的软化曲线是一条折线图，用折线图无限逼近真实的软化曲线。TSL曲线软化区的折线表示如图3所示。此方法易受优化方法的影响，导致软化曲线的开始部分非常不稳定，尤其是拉伸强度不稳定[16]。

2) 使用载荷——位移P——δ曲线不同几何形状处的相关特征点或特征值，如峰值载荷、曲线包围的面积等参数求解软化曲线，这就是所谓的逆向解析法。包括两个步骤：①进行正向分析，设定CZM参数初值，选择载荷——位移曲线上的若干特征点(以载荷峰值为界(包括峰值点)，一半取自上升区，一半取自软化区)与有限元仿真预测结果进行比较；②优化过程，评估误差函数使其值最小，更新CZM参数初值，如此循环反复，直至误差值低于系统允许值。

图3 TSL曲线软化区的折线表示

3 内聚力模型的应用

1) CZM模型用一种显式形式表示微裂纹的萌生和扩展，既能反映裂尖前缘阻碍裂纹萌生的过程，也可描述起裂后弱化区阻碍裂纹长大的过程。CZM模型尤其适用于弹粘塑性材料的断裂问题研究，因该材料的断裂是连续渐进的过程，而不是在材料应力达到最大值的瞬间完成[17]。

2) CZM模型体现了断裂过程区的行为，描述内聚断裂面间内聚牵引力和分离位移之间的关系，具有深厚的物理基础，也便于实现数值仿真，因此，CZM模型在材料领域获得了广泛的应用[18]。现在CZM模型已成功用来模拟金属、陶瓷、聚合物和复合材料中裂纹的萌生和扩展过程，如孔洞成核[19]、弹性薄膜剥落[20]、界面断裂[21]、复合分层[22]和剥离破坏[23]。除了在准静态仿真方面的成功应用外[24]，CZM模型也应用于脆性材料断裂/碎裂分析[25]、中间弯曲裂纹的蠕变行为[26]以及流体的流变性对压力敏感粘附层粘附能的影响[27]。

3)CZM在构件疲劳分析方面的应用尤其广泛深入，如Wu[28]建立了一个能描述裂纹连续生长过程的CZM模型(材料为Al 7075-T6)，该模型可以在变幅载荷下进行连续裂纹生长预测而不用循环计数，也可在任意时空段分层载荷下计算疲劳裂纹生长增量。Shravan Kumar[29]建立的铝合金试件的内聚模型中内聚单元的牵引——分离行为考虑了临近连续单元应力状态的影响，依据该模型能够分析裂纹萌生、寿命及疲劳裂纹生长速度的影响因素。Li[30]建立了周期性的内聚模型，模拟研究加载模式I(横幅和变幅)下Ti-6Al-4V钛合金疲劳裂纹生长的瞬态延迟现象，结果表明内聚模型具有描述弹塑性裂纹生长速率的潜能。

4 讨论

内聚力模型在原子层面上研究裂纹的扩展问题，基于多个参数描述界面间的应力和其相对位移关系，广泛应用于材料断裂过程的数值仿真，至今仍有很多问题亟待解决。

1) 内聚力模型在结构完整性评估(指关系到构件安全使用，即结构的强度、刚度、损伤容限及疲劳安全寿命等构件结构特性的总称)方面的应用还远没有达到实际工程应用的水平。

2) TSL曲线的多样性、预制裂纹的尺寸、形状及位置因人而异、材料的多元化、优化方法不同、加载方式差异等因素使得CZM模型参数确定及仿真的标准化方面还有大量的工作未完成[27]。

3) 研究发现存在多组CZM参数，当用于模拟混合I/III态稳定撕裂裂纹生长时，仿真结果相当相似。模拟稳定撕裂裂纹生长时，内聚参数的非唯一性或欠唯一性需要进一步地研究探讨[5]。

4) 大多数应用CZM模型进行材料断裂问题的研究集中于实验与仿真结果的宏观比较，提交的验证结果具有范围局限性。宏观结果确实表现了断裂及塑性耗损过程，进一步研究还应为获得不同塑性金属材料在不同起始裂纹尺寸时，裂纹生长阻力曲线的裂纹扩展数据，进而证实CZM模型的广泛适应性[21]。同时，建立弹塑性晶体材料中裂纹生长方向的判断准则也是亟需解决的问题[25]。

5) CZM模型能够描述分层扩展及由于层间破坏导致的材料弱化效应，具有模拟和预防复合结构内分层效应的强大潜力。由于弯曲载荷时CZM模型不能融入基体破碎信息，某些材料详细信息也没有考虑在模型内，导致结果差异[22]。因此，有效的内聚理论不仅是材料参数和几何参数的函数，也应考虑研究问题的有限边界和几何形状[35]。

6) 部分内聚力模型在预测温度时理论与实验结果非常吻合，但只适合于PMMA动态断裂时单一活跃的裂纹，即裂尖加速到大约0.2 cR瑞丽波速。面对更高的断裂速度，此时亚表面损伤非常明显，内聚区的直线消耗模型力不从心，原因可能是由于裂尖高速时模型参数的莫名改变或者是内聚理论应用到体积损伤现象所致。因此，需要建立分布式的裂纹损伤模型[26]。