对空导弹射后动态可攻击区的快速高精度拟合方法研究

葛鲁亲，孙 旺，南 英

(南京航空航天大学 航天学院，南京 210016)

0 引 言

射后动态可攻击区是对空导弹在拦截过程中实时可攻击的范围，与传统概念上射后动态可攻击区称作发射时刻的可攻击区不同，其指的是导弹在发射后某工作状态下可拦截到的空间区域[1]。

目前对于导弹可攻击区的计算方法主要可分为快速模拟法、黄金分割法、插值法和逼近拟合法。快速模拟法[2]主要是对微分方程求解过程中的利用变步长等一些简化积分方法换取快速计算速度，但是简化模型很难符合复杂的实时攻防对抗环境。黄金分割法[3]用于对可攻击区远近边界的距离寻优解算过程中，不需要事先知道计算次数，但收敛速度一般，不能满足实时性的要求。插值法[4]降低了积分的阶次，提高了计算精度，但是为了在实战过程中实时进行一元、多元插值，需要机载计算机预先装载导弹和目标在各种作战环境下的计算数据，而作战环境十分复杂，计算机很难装载任意状态下可攻击区数据。逼近拟合法主要包括最小二乘拟合[5]、分段拟合[6]、BP神经网络拟合[7-8]等，逼近拟合过程中，拟合参数与多项式之间的关系十分复杂，需要利用大量的可攻击区输入数据解算多项式系数，且拟合参数容易陷入局部最优解，适用范围小。

本文综合考虑了对空导弹射后动态可攻击区的快速性和高精度性能的需要，采用了一种基于遗传算法优化的改进BP(GA-BP)神经网络算法，用于实时在线地对导弹射后动态可攻击区进行拟合。该方法通过平移数值算法[9]解算大量的导弹射后动态可攻击区数据库作为BP神经网络的训练样本数据库，利用遗传算法[10](GA)优化BP神经网络结构和参数,网络经过训练之后，最终得到全局搜索寻优BP神经网络结构，该网络结构可用于对空导弹复杂飞行环境中的射后动态可攻击区快速、高精度拟合。

1 问题描述

针对对空导弹在发射后对多个目标飞行器拦截，需要快速、高精度地解算出导弹实时的可攻击点(X(t),H(t),Z(t))，这些攻击点形成的包络区域则为该对空导弹该状态下的射后动态可攻击区Σt，即Σt=Γ[X(t),H(t),Z(t)]。导弹实时在线地判断出目标是否处于可攻击区内，即

QT,i(t,XT,HT,ZT,VT,nT,γT,ψT,qT)∈Σt

(1)

式中：QT,i(i=1,2,…,NT)为目标飞行器的飞行状态；t为当前时刻；(XT,HT,ZT)为目标飞行器的位置；VT为目标飞行器的速度；nT为目标飞行器的当前法向过载；γT,ψT为目标飞行器的俯仰角和偏航角；qT为弹目视线角。

对于射后动态可攻击区计算，传统的可攻击区计算只是针对导弹预先计算初始发射时刻的可攻击区，射后不再进行实时可攻击区计算。具体的导弹射后动态可攻击区Σt指的是导弹以初始预置轨迹飞行，根据当前导弹的总体飞行状态，能够以一定概率命中目标飞行器的三维空域。

(2)

式中：Rin(t)和Rout(t)分别为导弹在发射t时刻的可攻击区最大与最小边界；(Xin,t,Yin,t,Zin,t)和(Xout,t,Yout,t,Zout,t)分别为t时刻下需要拟合的内外边界的三维坐标；Ht,Vt,γt分别为导弹t时刻的高度、速度和弹道倾角；mF,t为t时刻的剩余燃料；nt为t时刻的总过载；qt为t时刻弹目视线角；λ1,λ2为导弹运动特性、环境特性等方面的约束条件。

2 数学模型[11]

2.1 对空导弹运动学模型

对于导弹的运动方程，主要考虑到质心运动，而地球自转、扁率和地球半径随纬度变化等次要因素在研究质心运动特性或对称姿态运动时不做考虑，可以不加推导给出一般运动方程：

(3)

(4)

(5)

式中：h，x，z分别为导弹所在高度、经度、纬度；V，γ，ψv分别为导弹的速度、轨迹倾角、偏航角。

2.2 对空导弹动力学模型

对于导弹的动力学运动，只考虑导弹的3个标量动力学方程，不考虑导弹绕质心转动情况，不加推导可给出以下导弹动力学方程：

(sinγcosφ-cosγsinψvsinφ)

(6)

sinγsinψvsinφ)

(7)

(8)

r=R+h

(9)

式中：P为发动机的推力大小；R为地球半径；α,β,σ分别为导弹飞行攻角、侧滑角、滚转角；ψv为弹道偏角；ωd为地球的自转角速率；Cx,Cy,Cz分别为导弹的阻力系数、升力系数、侧向力系数。

2.3 对空导弹制导律模型

对于对空导弹的制导控制，整体采用气动舵+推力矢量控制方法。对空导弹采用PID控制律下的复合制导法，即

(10)

3 对空导弹动态可攻击区的计算方法

导弹在飞行过程中，根据总体飞行状态信息，采用平移数值算法对其最远和最近可攻击的边界点进行初步解算，建立导弹不同飞行状态下的远近边界点的数据库，在数据库中选择相应数据作为GA-BP神经网络的训练样本与测试样本，进行拟合计算。

3.1 可攻击区边界点解算

对于导弹在某种状态下可攻击区边界点的解算，平移数值算法在进退法基础下，在边界点的搜索过程中，只需将标准的可攻击区边界点进行适当的缩放就可以解算出边界点，搜索效率得到大幅度提高。在无误差的标准可攻击区上进行操作，与快速模拟法对比，外来引入误差更小，从而有更好的搜索精度，满足高精度的解算需求。

3.2 BP神经网络的优化与拟合

针对BP神经网络受搜索空间的限制、学习算法的收敛速度过慢等问题，利用GA算法对神经网络的结构和权值进行优化，在解空间定位出较好的搜索空间，并搜索出最优解之后不断迭代，克服了其不能满足全局收敛而陷入局部最小、预测精度较小等缺陷，使得优化后的网络具有全局快速、高精度收敛等性能。

本文通过遗传算法优化BP神经网络，对BP神经网络中的隐含层神经元个数M、网络初始的权值和阈值进行了有效优化，并保证了获取全局最小值。图1所示为基于GA-BP神经网络的可攻击区拟合流程，具体的可攻击区拟合过程如下：

步骤一：确定网络结构，即确定输入层节点数、输出层节点数与隐含层节点数和层数。

步骤二：初始化BP神经网络权值、阈值。

步骤三：对染色体权值、阈值编码。将网络中所有权值和阈值抽象成一组有序染色体，系统随机生成若干个染色体个体，其中，某个染色体的构成为

图1 基于GA-BP神经网络的可攻击区拟合流程Fig.1 Fitting process of attack zone based on GA-BP neural network

Xk={lk,ω1k,ω2k,θ1k,θ2k}

(11)

式中：lk为染色体Xk的隐含层节点数；ω1k,ω2k分别为染色体Xk的输入层与隐含层之间权矩阵、隐含层与输出层之间权矩阵；θ1k,θ2k分别为染色体Xk的输入层与隐含层之间阈值、隐含层与输出层之间阈值。

步骤四：构建样本数据库。对网络输入数据经过标准归一化处理后，把输入指标无量纲化为0～1之间的实数用来训练网络，使得网络更加高效、准确地处理数据。对于类型输入指标，量化方式也不一样，对于量化值越小越好的指标可表示为

(12)

对于量化值越大越好的指标可表示为

(13)

式中：ai为无量纲化值；xi为输入指标量化值；xmax,xmin分别为指标量化的最大值、最小值。

步骤五：适应度计算。适应度函数是用来评价染色体对环境的适应程度，为接下来的个体选择提供依据。个体适应度函数F(Xk)是根据网络的实际输出与期望输出之差的误差平方和来表示：

(14)

步骤六：进化。进化过程由染色体上的基因进行选择、交叉、变异等操作构成。

(1)选择过程：根据式(14)可得到群体中每个染色体个体的适应度，按照降序排列之后，依据轮盘赌选择法决定出下一代复制该个体的数目，适应度越高，下一代中复制的数目越多。

(2)交叉操作：在染色体选择复制的过程中，随机选出2个染色体以一定的概率进行某些位的编码位交换。交叉的作用能进行基因重组，避免总是复制上一代染色体序列。其中，交叉概率Pc控制交叉操作的频率，需要确定合适的Pc控制最优解，具体交叉概率如下表示：

(15)

式中：k1,k2为(0,1)随机数;fk为适应度较大的个体;favg为所有个体的平均适应度。

(16)

式中：Xmax,Xmin分别为基因串值最大化、最小化的初始值。

步骤七：终止判断操作。经过对染色体串的选择、交叉、变异操作后，判断网络输出可攻击点的适应度是否满足最优解的误差条件。若满足，终止GA，输出最优权值与阈值；若不满足，则返回步骤五和步骤六。

4 对空导弹动态可攻击区的数值仿真

4.1 GA-BP神经网络的结构与初始参数设定

(17)

式中：A1，A2分别为输入层到隐含层、隐含层到输出层的输出矩阵；ω1为输入层与隐含层的权矩阵；b1为输入常数向量；ω2为隐含层与输出层的权矩阵；b2为输出常数向量；输入层到隐含层的转换函数f1为tansig(),隐含层到输出层的转换函数f2为Purelin()。图2所示为具体的BP网络结构。

图2 BP神经网络初始结构Fig.2 Initial structure of BP neural network

遗传算法中，设置最大迭代次数为100，学习速率为0.1，性能指标为1×10-5，种群的规模设置为30，交叉概率为0.3，变异概率为0.1，进化时采用轮盘式选择。

BP神经网络通过GA算法优化之后，可以全局寻找一个最优的BP神经网络结构参数，该网络能够快速、高精度地拟合出导弹射后动态可攻击区。在仿真过程中，将导弹和目标的总体飞行状态等变量作为网络的输入，可得到导弹实时射后动态可攻击区。

4.2 样本数据库构建

飞行总体状态下对空导弹可能的射后动态可攻击区的数据量十分巨大且复杂，不能完全考虑所有参数，本文选择主要的参数建立可攻击区的数据库，主要考虑了导弹所在高度H,导弹飞行速度V，导弹轨迹倾角γ，剩余燃料mFuel，导弹总过载n。导弹总体飞行约束状态如下：

(18)

由式(18)可知，在满足总体范围约束条件下，导弹所在高度H可取为5 km,7.5 km,8 km,10 km,12.5 km,15 km；导弹飞行速度V可取为250 m/s,300 m/s,350 m/s,400 m/s，450 m/s；导弹轨迹倾角γ可取为-10°，-5°,0°,5°,10°；剩余燃料mFuel可取为0,25%,50%,75%,100%，导弹总过载n可取为0,10g,30g,50g,70g。分别对每种初始状态进行取值，代入C++程序计算出各种状态下的最大可攻击区边界和最小可攻击区边界，构建相应的可攻击区边界点的数据库。

4.3 GA-BP神经网络的样本训练与样本测试

GA-BP算法设置中，把55×2组数据库分为内外边界两组，分别在每组中随机选择1 750组样本，其中1 625组样本作为训练样本，剩下的125组样本作为测试样本，网络经过GA优化后BP神经网络的均方误差可从1.0×10-5到1.0×10-6，图3为染色体适应度随进化次数变化曲线。由图3可知，进化次数为100次时，适应度曲线趋于稳定。

图3 适应度随进化次数变化曲线Fig.3 The curve of fitness varying with the evolutionary times

对三维可攻击区边界点输出进行特征选取、降维处理之后，三维矩阵转换为导弹仿真位置点到解算出边界点的距离向量。将样本分别输入到BP神经网络和GA-BP神经网络进行对比，如图4～5所示。图4中的星形表示BP神经网络与GA-BP神经网络的训练样本误差；图5中的星形表示BP神经网络与GA-BP神经网络的测试样本误差。

由图4～5可知，BP神经网络通过GA算法优化之后，具有更小的训练样本误差和测试样本误差，以及更精准的样本预测输出，而且样本拟合的误差缩小了近一半，GA-BP对可攻击区边界点的拟合更加精确、可靠。

4.4 仿真结果与分析

导弹沿着某条尾追型运动轨迹中，取导弹0 s，10 s，20 s时的总体状态作为输入，利用GA-BP对射后可攻击区进行拟合仿真，表1为具体对空导弹各时段的飞行仿真参数。其中，目标速度为300 m/s，在以导弹为中心的±5 km高度和±40°视线角范围内飞行。

图4 BP神经网络与GA-BP神经网络的训练样本误差Fig.4 Training sample error of BP neural network and GA-BP neural network

图5 BP神经网络与GA-BP神经网络的测试样本误差Fig.5 Test sample error of BP neural network and GA-BP neural network

表1 对空导弹各时段的飞行仿真参数Table 1 Flight simulation parameters of antiaircraft missile in different periods

(1)0 s时仿真算例

设置导弹沿着该轨迹下发射时刻总体飞行状态为[H,V,γ,mFuel,n]|t=0=[10 km，300 m/s，0°，100%，0]，通过仿真和拟合得到可攻击区如图6所示。其中，圆圈表示通过仿真计算得到的实时可攻击区边界点，星形表示通过GA-BP拟合得到的可攻击区边界点，矩形块表示仿真开始时导弹的位置点。

图6 导弹发射时刻的可攻击区Fig.6 Attack zone of missile launch time

(2)10 s时仿真算例

设置导弹沿着该轨迹下的10 s时总体飞行状态为[H,V,γ,mFuel,n]|t=10=[7.59 km，415.56 m/s，8.89°，86.56%，25.75g]，图7所示为通过仿真和拟合得到的射后10 s的可攻击区。

图7 导弹发射后10 s的可攻击区Fig.7 Attack zone of missile after being launched at 10 s

(3)20 s时仿真算例

设置导弹沿着该轨迹下的20 s时总体飞行状态为[H,V,γ,mFuel,n]|t=20=[12.13 km，448.10 m/s，-8.93°，65.21%，30.12g]，图8所示为通过仿真和拟合得到的射后20 s的可攻击区。

对于图6～8的算例，分别选取了导弹在不同总体飞行状态进行仿真计算实时可攻击区与GA-BP算法拟合得到的可攻击区。对于GA-BP网络，采用GA算法有效抑制了网络陷于局部最小，达到全局最优，且有较好的拟合逼近性能。表2为仿真算例中拟合数据误差。

图8 导弹发射20 s的可攻击区Fig.8 Attack zone of missile after being launched at 20 s

表2 仿真算例中拟合数据误差对比Table 2 Fitting Error Comparison in simulation examples

综合仿真结果，由图6～8与表2可知,尾追型对空导弹的远边界、上下侧边界随着时间不断缩小[1]；GA-BP和BP神经网络的最大平均误差分别为879.279 m和1 669.784 m，最大误差最大值分别为1 468.264 m和3 524.259 m，最小误差最大值分别为139.351 m和495.767 m，GA-BP相比BP神经网络拟合误差较小，拟合效果更精准、可靠。

5 结 束 语

本文针对导弹射后动态可攻击区快速、高精度计算的需要，采用了GA-BP可攻击区拟合方法。仿真结果表明，该方法拟合的对空导弹射后动态可攻击区与实际仿真解算的可攻击区边界点的差异很小，能够满足实时在线计算的需要，并且有着更高的拟合精度，在导弹拦截任务、多弹协同拦截作战过程中显示出优越性与广泛的应用前景。