光晶格中三维自旋-轨道耦合费米气体的热力学性质

梁成功,陈立,王建明,张云波

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

超流是存在于凝聚态物理、天体物理、核物理以及超冷原子物理的一种奇异物质状态,起源于粒子之间的强关联。在超冷原子物理系统中利用Feshbach共振技术可以调控粒子间的多体碰撞相互作用[1],进而为研究从弱相互作用的BCS(Bardeen-Cooper-Schrieffer)超流到强相互作用的玻色爱因斯坦凝聚(BEC)超流、量子激发以及寻求强关联体系中的新奇量子态提供了一个理想平台。光晶格囚禁冷原子[2]和人工磁场[3]的实验实现为我们模拟凝聚态物理中的多种晶格体系和准低维体系提供了可能。近年来,科学家通过拉曼激光耦合等技术在超冷量子气体中先后实现了一维[4-6]和二维自旋-轨道耦合[7-8]。此外,Spielman 等人还在理论上提出了实现三维自旋-轨道耦合的实验方案[9]。人造自旋-轨道耦合在超冷原子中的实现,将超冷原子气体的量子模拟提到了一个新高度。

光晶格中超冷原子气体的自旋-轨道耦合效应是近十几年来研究的热点[10-12]。在二维光晶格中具有二维自旋-轨道耦合的费米超流已有相关的研究[13],但是在三维晶格中具有三维自旋-轨道耦合费米气体的相关研究工作还很匮乏。跟低维光晶格系统相比,三维系统中受涨落等因素的影响较小,因而将相关研究推广到三维情况具有重要意义。本文采用平均场理论,研究了在不同占据数下,三维自旋-轨道耦合对立方光晶格中超冷费米气体的超流和热力学性质的影响。通过求解能隙方程和粒子数方程计算了超流序参数、超流转变温度、等温压缩系数和热力学熵等重要物理量,发现了不同于连续系统的新特性。

1 理论模型和方法

1.1 理论模型

考虑囚禁在立方晶格中具有三维自旋-轨道耦合的两分量超冷费米气体,其哈密顿量的单粒子部分

(1)

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(3)

(4)

另外考虑单格点吸引相互作用,为保证粒子空穴对称性[15],相互作用哈密顿量为

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1.2 平均场理论

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其中V为系统体积,为Nambu-Gorkov自旋基,而

(8)

为Bogoliubov-de-Gennes(BdG)矩阵[25]。上式中,我们引入了如下标记

(9)

通过对角化哈密顿量,可得到准粒子表象下的哈密顿量为

(10)

(11)

表示零温基态能。在准粒子表象下引入配分函数Z=Tr(e-βH)=e-βΩ可得到热力学势为

(12)

热力学势对Δ的极值点对应热力学稳定点,即∂Ω/∂Δ=0,而在考虑系统平均粒子数固定的情形下,系统的基态特性由约束条件N=-∂Ω/∂μ决定,这一约束条件等价于系统的自由能F=Ω+μN取至极小值。由此条件,我们可分别得到能隙方程

(13)

根据Gibbs-Dehum 方程和Maxwell关系我们能够得到另外一个非常重要的热力学参数等温压缩系数[16,24]

(14)

其中P为系统压强。因粒子数密度n(T,μ,Δ(T,μ))既是化学式μ的显函数,又是序参Δ(T,μ)关于μ的隐函数,故等式(14)由两部分构成。第一部分来自于n关于μ的显函数部分

(15)

另一部分来Δ(T,μ)关于μ的隐函数部分

(16)

此外,我们还需引入熵的定义S=-(∂Ω/∂T)V,μ,而平均熵为s=S/N,其中N为格点数。由方程(12)可得:

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2 超流序参数与等温压缩系数

Fig.1 Order parameter Δ and chemical potential as a function of Weyl SOC with theinteraction strength U/t=4. We only consider the low filing, intermediate filling and near half filling.图1 序参Δ和化学势在相互作用U/t=4时随三维自旋-轨道耦合的变化,我们考虑低占据、中间占据和接近半满占据的情形,分别对应图中的实线、虚线和点划线。

通过数值求解能隙方程和粒子数方程,得不同平均占据数n和自旋-轨道耦合强度α下,等温压缩系数κT在不同平均占据数下随相互作用的变化,如图2所示。可以看到在相当大的相互作用参数范围内,自旋-轨道耦合对超流序参数有明显影响。而当相互作用很大时自旋-轨道耦合对超流序参数几乎没有影响,此时序参数Δ随相互作用增强而线性增加。我们研究了在不同平均占据数(n=0.1,0.5,0.9)和自旋-轨道耦合强度(α/π=0,0.25,0.3,0.4)下等温压缩系数随相互作用的变化,如图2(d-f)所示。

We only consider the low filing (a and d), intermediate filling (b and e) and near half filling (c and f)Fig.2 Order parameter and isothermal compressibility kT as afunction of interaction strength U in the presence of Weyl SOC.我们只考虑低占据、中间占据和接近半满占据的情形,分别对应第一列、第二列和第三列。图2 在(a-f)三维自选轨道耦合情形,序参和等温压缩系数κT随相互作用U的变化

当平均占据数较小时,等温压缩系数κT随自旋-轨道耦合强度的增加而增大。这跟连续系统中自旋-轨道耦合对等温压缩系数的影响是一致的[21-22]。一个重要的发现是,当平均占据数接近半满时,自旋-轨道耦合对等温压缩系数的影响出现不同于连续系统的反常行为。从图2(f)可以看出,当平均占据数n=0.9时,等温压缩系数κT随自旋-轨道耦合强度的增加而减小。由图2(d-f)我们还可以看出当相互作用很大时,自旋-轨道耦合对等温压缩系数几乎没有影响。此时等温压缩系数κT随相互作用的增大而减小。这跟前边大U极限下的解析分析结果n2κT≈2/U是一致的。

3 热力学熵

在前面我们讨论了零温时自旋-轨道耦合对超流序参数和等温压缩系数的影响。在有限温度下自旋-轨道耦合对超流序参数的影响跟零温情形是类似的。如图3(a-c) 所示,当平均占据数较小时,自旋-轨道耦合促进超流的形成;当平均占据数接近半满时,自旋-轨道耦合抑制超流的形成。众所周知,随着温度的增加系统会在某一临界温度(超流转变温度Tc)时发生从超流相到正常相的转变[22-23]。我们发现对于不同的粒子平均占据数,自旋-轨道耦合对超流转变温度Tc的影响不同,如图3(a-c)。当平均占据数较小时(n=0.1),超流转变温度随自旋-轨道耦合强度的增大而增大;当平均占据数接近半满时(n=0.9),超流转变温度随自旋-轨道耦合强度的增大而减小;在某些平均占据数下(n=0.5),超流转变温度随自旋-轨道耦合强度的变化还表现出非单调行为。这跟连续系统中超流转变温度总是随自旋-轨道耦合强度增大而增大具有明显差别[21-22]。

现在进一步讨论在有限温度下,自旋-轨道耦合在两个不同相区域对系统的热力学性质的影响。我们主要研究了在不同平均占据数下熵随温度和自旋-轨道耦合强度的变化规律。在超流相,当平均占据数较小时,熵随自旋-轨道耦合强度的增大而减小;当平均占据数接近半满时,熵随自旋-轨道耦合强度的增大而增大。这可以从自旋-轨道耦合对超流序参数影响的角度来理解。当平均占据数较小时,自旋-轨道耦合促进超流的形成,粒子间更容易形成库泊对,从而使系统变得更有序,所以熵减小;当平均占据数接近半满时,自旋-轨道抑制超流的形成,粒子间不易形成库泊对,从而使系统变得更混乱,所以熵增大。在正常相,我们发现熵随自旋-轨道耦合强度的变化规律跟超流相相比正好相反,如图3(d-f)所示。同时我们也能看到,高于临界温度在正常相相互作用对熵没有贡献[20],熵随温度T线性增加。需要强调的是,限于平均场理论的适用范围,当温度较高时,由于涨落等因素的影响,本文所使用的平均理论将不能很好地描述系统真实的热力学性质。

We only consider the low filing (a and d), intermediate filling (b and e) and near half filling (c and f)Fig.3 Order parameter as a function of the temperature in the presence of Weyl SOC.我们考虑低占据、中间占据和接近半满占据的情形,分别对应第一列、第二列和第三列。图3 在(a-f)三维自旋-轨道耦合情形,序参Δ和熵S随温度T的变化

4 结论

本文应用平均场理论研究了立方晶格中三维自旋-轨道耦合费米气体的超流效应和热力学性质。主要是通过求解能隙方程和粒子数方程,计算了超流序参数和三个热力学量,包括超流转变温度、等温压缩系数和热力学熵。跟连续系统不同的是在接近半满填充时,光晶格和自旋-轨道耦合共同作用会抑制超流,导致超流转变温度降低。因为等温压缩系数和热力学熵跟超流序参数密切相关,所以也相应地出现了不同于连续系统的反常行为。我们还得到了BCS极限和大U极限情况下等温压缩系数的解析表达式。此外,我们还发现对于不同的平均占据数,临界温度以下和临界温度以上自旋-轨道耦合对熵的影响明显不同。特别地,在临界温度以上粒子间相互作用对熵没有影响随温度呈线性变化。需要指出的是本文所用的平均场理论只适用于低温情形。在温度较高和相互作用较大时,会因涨落等因素的影响只能定性地描述,此时需要运用超越平均场方法和蒙卡等数值计算方法。