滚动轴承的弹塑性静动力学响应

毕仁贵，钱 平，严 灿，杨代云

(1. 吉首大学物理与机电工程学院，湖南 吉首 416000；2.广州汽车集团股份有限公司汽车工程研究院，广东 广州 511434)

滚动轴承广泛地应用于工业机械、兵器机械、运载机械和智能装备等各种机器和装备中，研究其力学性能是十分重要的课题[1-2].然而，在高速运转下轴承各元件间的动态特性复杂，仅计及安装配合等因素分析已颇具难度，再加上服役环境、润滑剂使用等带来的差异，使得轴承的静动力学特性研究一直是机械工程领域富有挑战性的工作.滚动轴承的服役涉及到接触问题，Hertz接触理论[3]奠定了滚动轴承的静力学分析基础；Jones[4]建立了高速球轴承的套圈控制理论，并首次提出了拟动力学分析方法，Harris[5]在其基础上建立了球轴承新的拟动力学分析模型，Rumbarger等[6]提出了系统的分析理论，使得拟动力学分析模型更加完善；在运转服役时，轴承各元件的动力学性能对轴承整体性能的影响不可小觑，Walters[7]首次建立了轴承的动力学分析模型，近年来其动力学特性的研究受到了广泛关注[8-10]，国内外学者提出并发展了各种数值方法处理其服役过程中产生的动态信号，并有效地应用于轴承故障诊断[11-13]，丰富了轴承动力学的分析理论.综合而言，已有的研究大多是在假设轴承各个元件仅发生弹性变形的情况下进行的，这与轴承在重负载工况下产生塑性变形的事实不符[14]，因此有必要对其静动力学行为进行弹塑性分析.

笔者基于弹塑性理论，拟引入一个与应力球张量有关的混合硬化屈服准则[15]，该准则与Mises准则同构，从而能建立各向同性材料的弹塑性增量型本构方程.结合轴承内荷载之间的关系、几何关系，可以建立正交曲线坐标系下1/4深沟球轴承外圈的平衡方程和相应的定解条件，综合应用有限差分法和Newmark-β法就能对问题进行求解.

1 轴承内荷载之间的关系

图1 轴承荷载分布Fig. 1 Load Distribution on the Deep Groove Ball Bearing

对于标准件轴承而言，轴承套圈一般安装在刚性较强的轴承座中，其弯曲变形可以忽略不计，仅需计算接触处的变形.作用于轴承的荷载传递路径，一般是通过滚动体由一个套圈传递到另一个套圈，因此需要确定各个滚动体所受的荷载和作用于套圈上的荷载之间的关系.研究如图1所示的深沟球轴承，内圈固定在受横向力的刚性轴上，外圈固定在弹性支承上.假设有N个滚动体，其径向游隙为0.考虑在径向荷载作用下的荷载分布，轴承内圈在外加径向荷载Fr和滚动体接触荷载Qi下平衡.

在垂直方向上，由力的平衡关系，有

(1)

其中：Fr为作用在轴承内圈的外加荷载；ψi为Fr作用线与标号为i的滚动体中心线之间的夹角，ψi=i×360(°)/N(i=0,1,2…,N)；Qi为与荷载作用线夹角为ψi位置的滚动体所承受的接触荷载.假设轴承外圈只发生微小的变形(图2)，于是相应的几何关系为

δri=δrcosψi.

(2)

图2 轴承外圈变形Fig. 2 Deformation of the Outer Ring of Deep Groove Ball Bearing

其中：δri为第i号滚动体与外圈接触处的位移；δr为最大位移.又由Hertz接触理论可知

(3)

其中

这里：K(e)为第1类完全椭圆积分；E1和E2分别为2个接触体的杨氏模量；μ1和μ2分别为对应的泊松比；∑ρ为2个接触体在接触处的曲率半径之和；ma为与椭圆偏心率有关的系数.

2 轴承外圈的基本方程

2.1 轴承外圈的几何关系

图3 轴承1/4外圈结构Fig. 3 Geometry and Coordinate System of a Quarter of the Outer Ring of the Bearing

用u，v分别表示轴承外圈上任意一点沿径向r和沿环向θ的位移.根据小变形理论，轴承外圈内任意一点的应变为

(4)

2.2 轴承外圈的本构关系

根据塑性力学理论与相关假设[15]，若材料服从Mises屈服准则，同时考虑同向强化与随动强化，可取材料的混合强化屈服准则为

(5)

(6)

这里待定常系数K具应力量纲，它可由简单应力状态下的拉伸试验来确定.

根据假设，取屈服函数

(7)

(8)

其中λp是一个非负标量，称为塑性乘子.将(7)式代入(8)式，得到

(9)

将(9)式代入(6)式，得到等效主动应力与塑性应变的关系：

(10)

定义等效塑性应变增量

(11)

比较(10)式和(11)式，有

(12)

(13)

在(13)式中，混合强化参数α可通过试验确定，其取值范围为(-1,1).当α=1时，表示等向强化；当α=0时，表示随动强化；当α为负值时，表示对应屈服曲面收缩.背应力可以表示为塑性应变的线性函数：

(14)

其中c为比例常数.根据(8)和(13)式，(14)式可写为

(15)

(16)

(17)

将(8)，(12)，(15)，(16)式代入(17)式，可得

(18)

由此各向同性材料的弹塑性增量型本构关系为

为简单起见，将cijkl的双下标11，22，33，13，23，12分别记为下标1，2，3，4，5，6，即c1111=c11，c1122=c12，c2222=c22，c1212=c66.在正交曲线坐标系下，全量形式的本构方程为

(19)

2.3 轴承外圈运动控制方程的建立

在正交曲线坐标系下的平衡方程中，令α1=r，α2=θ，略去方程中与α3有关的项，考虑到拉梅系数h1=1，h2=r，可得到极坐标下圆环的运动控制方程

(20)

将(4)式代入(19)式，再代入(20)式，得到以位移表示的运动控制方程

(21)

由(21)式，可得相应的增量型运动控制方程

(22)

相应的增量型边界条件为

(23)

3 求解方法

对于1/4圆环的无阻尼动力响应问题，要获得运动控制方程(22)满足边界条件(23)的解析解是难以实现的.为此，笔者采用有限差分法求解控制方程，将圆环沿径向r分为等间距L，沿环向θ分为等间距H由正交曲线构成的i×j网格.应用如下中心差分公式：

将(24)式中的g分别替换成du和dv，可得各个点的位移分量对坐标的导数表达式，再将其代入控制方程(22)，可得一组关于位移du和dv的离散控制方程.

对于边界条件(23)式，将(24)式代入，得到其离散形式：

(24)

对于方程中的加速度项，应用Newmark-β法，在时间上将t等分为小的时间段Δt，整个问题采用迭代法求解.方程中的加速度项可用平均加速度法处理：

其中：

于是可得到一组关于du(r,θ,t)和dv(r,θ,t)的非齐次线性代数方程组，从而可以求出轴承外圈径向的位移随时间变化的动力响应曲线.

4 算例与讨论

为了验证本研究理论和算法的可靠性，首先在略去惯性项且不考虑塑性的情况下，将本研究退化为受均布荷载作用的1/4圆环的弹性静力学问题.由两端的对称性条件可知，在同一半径上各点的径向位移相同.取最常见的6000型微型深沟球轴承作为研究对象，轴承外圈的材料属性和几何参数为弹性模量E=200 GPa，泊松比μ=0.3.其外圈的内外径分别为a=10.5 mm，b=13 mm，厚度h=8 mm，质量密度ρ=7 800 kg/m3.

表1 圆环不同半径处的位移

图4 弹塑性变形对轴承外圈变形的影响Fig. 4 Effect of Elasto-Plastic Property on Static Deformation of the Outer Ring of the Bearing

图4显示了在静荷载Q0=0.53×104N和Q0=0.6×104N的分别作用下，弹塑性变形对6000型滚动轴承外圈内径处挠度u的影响.图4中：u为轴承外圈径向的坐标；实线表示不考虑材料的塑性变形，按照弹性本构关系得出的轴承外圈内径处的变形；虚线表示考虑材料的塑性变形，按照弹塑性本构关系得出的轴承外圈内径处的变形.

从图4可以看出：在相同的荷载作用下，考虑弹塑性时轴承外圈的变形比只考虑弹性时轴承外圈的变形大；而且随着荷载的增加，弹塑性情况下的变形增加量比不考虑弹塑性时的变形增加量大.这是因为到达屈服点以后荷载越大，塑性变形越大，相应的总变形量越大.

下面讨论不同幅值的周期性荷载作用下不同型号轴承外圈的动力响应问题.图5示出了弹性状态和弹塑性状态时6000型滚动轴承外圈内径处挠度u的动力响应曲线比较，荷载参数Q0=1×104N.图6示出了弹性状态和弹塑性状态时6003型轴承外圈内径处挠度u的动力响应曲线的比较，荷载参数Q0=2×104N.图5和图6中：实线表示不考虑材料的塑性变形，按照弹性本构关系得出的轴承外圈的动力响应曲线；虚线表示考虑材料的塑性变形，按照弹塑性本构关系得出的轴承外圈的动力响应曲线.

图5 弹性与弹塑性情况下6000型号轴承外圈内径处挠度u的动力响应曲线Fig. 5 Dynamic Response u Between Elastic and Elasto-Plastic of the Outer Ring of the 6000 Type Bearing

图6 弹性与弹塑性情况下6003型号轴承外圈内径处挠度u的动力响应曲线Fig. 6 Dynamic Response u Between Elastic and Elasto-Plastic of the Outer Ring of the 6003 Type Bearing

由图5可以看出：在相同幅值的周期荷载作用下，外圈初始并未产生明显的塑性变形；随着时间的变化，轴承外圈内径处的振动平衡位置不再位于未变形时的位置.这是由于在荷载作用下，材料首先产生了正方向的塑性应变，随着时间的增加塑性应变不断累积，使得其平衡位置向正方向移动，且振动幅值越来越大.

由图6可以看出：外圈在初始阶段即产生了较明显的塑性变形；在周期荷载作用下，轴承外圈内径处的振动平衡位置不再位于未变形时的位置.这是由于材料首先产生了负方向的塑性应变，随着时间的增加塑性应变不断累积，使得其平衡位置向负方向移动，且振动幅值越来越大.

5 结语

笔者首先研究了相同静荷载作用下弹塑性变形对轴承外圈变形的影响.研究结果表明：考虑弹塑性变形时轴承外圈的变形比只考虑弹性变形时轴承外圈的变形大；而且随着荷载的增加，弹塑性情况下的变形增加量比不考虑弹塑性时的增加量大.这是因为到达屈服点以后荷载越大，塑性变形越大，相应的总变形量越大.然后，研究了不同幅值的周期荷载作用下不同型号轴承外圈的弹塑性动力响应问题，讨论了轴承型号、塑性性能对轴承外圈变形的影响.数值结果表明：塑性变形在荷载的变化过程中逐渐积累，产生了不可恢复的变形使结构的变形增大；轴承外圈内径处的振动平衡位置不再位于未变形时的位置.这是由于在荷载作用下，材料首先产生了塑性应变，随着时间的增加塑性应变不断累积，使得其平衡位置不断移动且振动幅值越来越大，其平衡位置的移动方向与材料的初始屈服状态有关.