用向量法求二面角的常用技巧

唐中奎

摘 要：在高中数学教学中，不管是教学观念，还是教学方法，都发生了很大的变化，作为高中数学教师，需要积累丰富的教学经验以及诸多的解题技巧，并且充分认识到教学过程中存在的不足之处，进而采取有效的解决对策，提升教学水平。其中，对二面角进行教学时，教师应该对向量法给予高度重视，让学生充分掌握常用的解题技巧。主要阐述了采用向量法求二面角的常用技巧。

关键词：向量法;技巧;二面角

由于新课改的不断推进，在现阶段的高中数学教学中，为了有效提高教学效率，数学教师应该从学生的学习情况出发，明确教学中存在的问题，不断调整教学模式，设计的教学内容要满足学生的实际需求，尤其要重视一些解题技巧，以此提高学生的解题能力。一直以来，在高中教学中，向量法是重要的教学内容，在高考的考点中，二面角方面的命题也比较常见，通过空间向量的应用，为二面角命题提供了有效的解题方式。下面以向量求解二面角问题为例。

题目：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥CD，PDC面与ABCD面相互垂直，ABCD为直角梯形，∠ADC为直角，AB∥CD，AB=PD=AD=1，DC=2，详情见图1。

（1）证明：BC垂直于面PBD;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值;

（3）在PC中，是否存在点Q，可以使P-DB-Q等于45°，如果存在点Q，请给出具体位置，如果不存在，请说明理由。

一、根据现有的垂直关系构建空间坐标系

（1）证明：因为PCD⊥ABCD，CD⊥PD，所以，PD⊥ABCD。具体见图2所示。

以D为原点，构建D-xyz空间直角坐标系，那么，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，（1，1，0），因此，B⊥BC。

由于PD⊥ABCD，PD也就垂直于BC，因此，BC⊥PBD。

二、向量求解

在求解二面角的过程中，能够直接转化成为两个平面的夹角问题，通过求出两个平面的法向量，可以找到答案，一般题中会给出一个平面的垂直线段，这就可以看作是法向量。对于另一个平面的法向量进行求解时，需要根据法向量的定义进行求解，也就是说，利用一个法向量，得到另一个法向量。在本题的（2）中，对于PCD法向量，能够直接利用向量DA进行求解。

（2）解：已知AD⊥PC，0）属于平面PCD的法向量。

设平面PBC的法向量为n=（x，。

1，1，0），可以得出-x+y=0，2y-z=0，当x=1时，n=（1，1，2）。

设二面角B-PC-D为α，由图可知，α是锐角，因此，cos

因此，二面角B-PC-D的余弦值为

三、判断二面角的余弦值正负，可以根据法向量的方向性进行解析

设n1，n2为二面角α-l-β的面的法向量α、β，二面角α-l-β的大小也就是法向量n1，n2的夹角，在本题（2）中，可以得知所求的二面角属于锐角。不过，在多数情况下，判断起来并不容易，但是，经过向量的性质，可以有效解决相关的问题。

若PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，平面PAB与l相交于点E，那么，∠AEB属于二面角α-l-β的平面角，∠APB+∠AEB=π。假设n1，n2是二面角的法向量。如图3。

（1）当法向量n1、n2分别指向二面角的内侧和外侧时，法向量n1、n2的夹角就是二面角的大小。

（2）当法向量n1、n2的方面均指向二面角的内侧、外侧时，那么，法向量n1、n2的夹角的补角就是二面角的大小。

判斷方法：在不改变法向量法向量n2的前提下，将平面β移动到点起点，以此为原点，详情见图4。此时，可以判断n2指向二面角的内侧，利用相同的方向，能够确定另一个平面的法向量指向，进而判断法向量夹角是否属于二面角。

综上所述，在高中数学教学中，为了解决二面角方面的问题，作为高中数学教师，要深入理解二面角的内涵，并且根据新课改的要求，不断地创新教学方法，让学生掌握二面角的解题技巧。对于向量来说，是一种有效的解题工具，不仅可以为学生提供新的思考方式，还能为教师提供新的教学方法，在很大程度上，可以有效简化学生的思考过程，进而有效减少学生的运算量，有效满足了新课程改革的相关需求，也为二面角的求解提供了重要的解题武器。不仅如此，通过向量法，可以解决的题型比较多，本文只是列举了一个例子而已，对于三角函数以及正余弦定理公式，还有线段定比分点公式等，均能够以向量为工具，解二面角方面的问题。由此可见，在日常的教学中，教师应该向学生全面渗透向量法的解题技巧，进而培学生的数学兴趣，使其能够充分应用向量法，提升自身的数学成绩。

参考文献：

[1]董培晓.向量法求二面角中法向量方向的控制[J].数学学习与研究，2017（8）：139.

[2]梁昌金.向量法求二面角的一个新途径[J].高中数学教与学，2015（19）：26-28.

[3]赵雄.浅析向量法求解二面角[J].求知导刊，2014（6）：104.