论“颜色悖论”作为一个逻辑悖论

刘叶涛，常 琳

(1.南开大学 哲学院， 天津 300350; 2.燕山大学 文法学院， 河北 秦皇岛 066004)

陈波在其《模糊性：连锁悖论》一文中指出，“颜色悖论”是依据莱布尼茨“不可分辨者的同一”原则推导出的悖谬[1]，由于颜色谓词本身的模糊性，导致了“某一物体既是这个颜色又不是这个颜色”的矛盾。该悖论具体可以表述为，假设有一条长为20厘米的彩带，左端为红色，右端为橘色，将其按顺序分割为100个等大的小块，其中相邻的两个仅凭肉眼无法区分它们在颜色上的差别。从左端开始，第一个小块是红色的并且与第二个小块在颜色上仅凭肉眼无法区分，所以第二个小块也是红色的；视线向左移动，第三个小块在颜色上与第二个也无明显差别，所以第三个小块也是红色的。按照上述逻辑，依次类推，可以得到下述结论：随着视线的左移，后一个小块与前一个小块总是视觉上的颜色无差，都是红色的，直至最后，第100个小块与第99个小块也不存在差别，是红色的。但事实上，第100个小块为彩带最右端的小块，它是橘色的。因此，第100个小块是红色的当且仅当它是橘色的，换句话说，第100个小块是红色的当且仅当它不是红色的。可以看出，通过上述合乎逻辑的推理得出了一个自相矛盾的结论。那么，问题究竟出在哪里呢？“颜色悖论”是否为严格意义上的逻辑悖论？是否能够在莱布尼茨“不可分辨者的同一”原则和“同一不可分辨”原则的基础上建立严密无误的逻辑推导？“颜色悖论”与“连锁悖论”“同一性悖论”是否具有相同实质?上述推理是否在哪一步或哪些步存在错误？下面将针对这些问题进行论述。

一、“颜色悖论”与逻辑悖论

从克里特岛哲学家埃庇门尼德(Epimenides)于公元前6世纪说出“所有克里特岛人都说谎”这一命题开始，人们就展开了对“悖论”的广泛讨论与研究。悖论大致可以分为两种形式：日常语境中的悖论和逻辑悖论。日常语境中的悖论指的是日常生活中所有令人产生困惑、感到惊讶的事情，它们都可以用“悖论”一词指称。张建军在《逻辑悖论研究引论》一书中提到：“(逻辑)悖论指谓这样一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。”[2]逻辑悖论又分为狭义逻辑悖论和广义逻辑悖论。通常狭义的逻辑悖论仅包括语形悖论、语义悖论和语用悖论，例如“罗素悖论”“说谎者悖论”“合理行动悖论”等等。广义的逻辑悖论指的是以“芝诺悖论”和“二律背反”为代表的“哲学悖论”和“具体理论悖论”，其广泛性体现在“将悖论的‘背景知识’之所指从日常合理思维转到哲学思维和具体科学思维领域”[3]。

那么，“颜色悖论”是否为严格意义上的逻辑悖论？答案是肯定的。一方面，“颜色悖论”具有公认正确的背景知识。根据开篇所述，“颜色悖论”的背景知识是人们对于“红色”和“橘色”的认知。对于“红色”“橘色”这类模糊谓词，虽然人们不能依据明确的界限事例将二者严格区分，但是除“红绿色盲”患者外，人们对于何谓“红色”以及何谓“橘色”存在基本的、通用的认知。另一方面，“颜色悖论”可以通过严密无误的逻辑推导构建矛盾等价式。陈波在其《思维魔方——让哲学家和数学家纠结的悖论》一书中，依据“不可分辨者的同一”原则，即∀x∀y((Fx↔Fy)→(x=y))，对“颜色悖论”进行了如下形式化推导[4]：

Fa1

Fa1↔Fa2

如果(Fa1↔Fa2)，则(a1=a2)

Fa2↔Fa3

如果(Fa2↔Fa3)，则(a2=a3)

Fa3↔Fa4

如果(Fa3↔Fa4)，则(a3=a4)

…

Fan-1↔Fan

如果(Fan-1↔Fan)，则(an-1=an)

所以，Fan

其中，n为任意自然数，Fan表示第n个小块是红色的，由上文可知，第n个小块为彩带均分后的最后一个小块，是橘色的，所以“Fan∧﹁Fan”。显然该式为矛盾式，所以“颜色悖论”可以构建矛盾等价式。因此，“颜色悖论”为严格意义上的逻辑悖论，它满足上述逻辑悖论构成的三要素。

二、“颜色悖论”与连锁悖论

“颜色悖论”作为一个逻辑悖论，通常被认为是“连锁悖论”的一种。所谓“连锁悖论”(sorites paradox)，指从明显真实的前提出发，通过一些很微小因而难以觉察的改变，或者通过一些直观上明显有效的小的推理步骤，得出了直观上不可接受或明显为假的结论[1]。学界普遍认为，“连锁悖论”起源于“谷堆”(soros)悖论，常见的“连锁悖论”包括“谷堆悖论”“秃头悖论”“谷粒和响声悖论”“很少悖论”和“王浩悖论”几种。

以古希腊麦加拉学派逻辑学家欧布里德(Eubulides)对于“秃头悖论”的描述为例，“一个人头上有10万根头发不是秃头；掉一根头发不算秃头，再掉一根呢？也不算！再掉一根？……于是，不管掉多少根，即便头发掉光，也不算秃头”[5]。假设Fx表示“x是秃头”，an表示“有n根头发的某个头a(n为足够大的自然数)”，“秃头悖论”可以表示为如下形式：

﹁Fan

如果﹁Fan，那么﹁Fan-1

如果﹁Fan-1，那么﹁Fan-2

如果﹁Fan-2，那么﹁Fan-3

…

如果﹁Fan-i，那么﹁Fa1

所以，﹁Fa1

根据上文，一个“连锁悖论”必须满足以下几个条件：一方面，对于推导形式来说，〈a1,a2,a3,…,an〉必须是一个有序n元组。例如，根据头发根数的多少对“头”进行排序。另一方面，谓词F必须满足下述条件：第一，它必须对该序列中的第一项(a1)为真，即Fa1为真；第二，它必须对该序列中最后一项(an)为假，即Fan为假；第三，该序列中紧邻的两个项，例如an-1和an，必须足够相似，以至相对于谓词F难以鉴别：它们或者同时满足谓词F或者同时不满足[6]。

笔者认为，虽然“颜色悖论”与以“秃头悖论”为代表的“连锁悖论”在语言表达方面具有相似性，但是这种相似性不足以将“颜色悖论”归结到“连锁悖论”的范畴，具体体现在以下两个方面。

首先，谓词的功能不一致。“颜色悖论”中的谓词，是仅具有描述功能的模糊词，例如“红色”“橘色”等。这些词的作用，无非是对具有该性质的个体进行描述和限定，并不能单独指称某一类具体的事物，例如，“红色的高跟鞋”或“高跟鞋是红色的”，“红色”这一颜色谓词要与“高跟鞋”这一名词一同指称一类具体的事物。以“秃头悖论”为代表的“连锁悖论”，其谓词“秃头”不仅具有描述功能，还具有一定的指称功能。在逻辑上，上述形式刻画中的每一个ai都可以看成一个个体，即有i根头发的头，甚至每一个都可以获得一个专名，我们可以用这个专名指称这个头，并提问其是否具有“是秃的”这种性质[5]。可以看出，“秃头”在特定的情境下指称了一类人或事物。此外，从外延的角度来看，“红色”作为谓词相比“秃头”，更具有宽泛性，“秃头”在一定程度上先天地对它所修饰、描述的对象进行了选择。例如，我们可以用“红色”来描述一块石头，却不能用“秃头”来描述一块石头，因为石头不属于“秃头”的描述范围之内。

其次，推导过程与矛盾点存在差异。通过上文所述推导过程不难看出，“颜色悖论”与“秃头悖论”存在一定的差异。“颜色悖论”是通过彩带小块之间的依次对比推出的矛盾。彩带是整体，而小块是部分，“颜色悖论”是通过部分与部分的依次对比，得出最后一个部分是红色当且它不是红色。所以“颜色悖论”的矛盾点在于最后一部分其自身具有且不具有性质F(红色)。而“秃头”悖论则是通过“头发的减少”判断具有i根“头发”的“某个头”ai是否具有性质F“秃头”。其中，头发是部分，某个头是整体，与“颜色悖论”不同，“秃头悖论”探讨的是整体与部分的关系，通过部分的增减判断整体是否具有性质F(秃头)，矛盾点在于，根据推导形式，如果某个头失去了最后一根头发，那么这个头作为一个整体具有且不具有性质F(秃头)。

综上，“颜色悖论”虽然与以“秃头悖论”为代表的“连锁悖论”具有相似之处，但它在谓词的功能、推导过程与矛盾点等方面与严格意义上的“连锁悖论”存在一定差异，因此不能将其简单归纳为“连锁悖论”的一个部分，应从二者的差异出发，明确“颜色悖论”作为一个逻辑悖论的研究价值，探讨展开该类问题研究的理论意义。

三、“颜色悖论”与同一性悖论

根据上文，“颜色悖论”的矛盾点在于最后一个小块是红色的当且仅当它不是红色的，这与“同一性悖论”有相似之处。那么，何谓“同一性悖论”？“同一性悖论”是指根据一阶逻辑定理，推出直观上不能接受的结论[5]。所谓一阶逻辑定理，在“同一性悖论”中指的是莱布尼茨的“同一不可分辨”原则：对任意的x和y，如果x同一于y，那么若x具有特定属性F，则y也具有属性F，其逻辑形式为：

∀x∀y((x=y)→(Fx↔Fy))

(1)

假设此处任意谓词变项F为“□(=x)”，即“必然存在某物同一于x”将其代入式(1)可得：

∀x∀y((x=y)→(□(x=x)↔□(x=y)))

(2)

即“对于任意x和y，如果x同一于y，那么x同一于x是必然的当且仅当x同一于y是必然的”。以式(2)为前提，加上定理：

∀x□(x=x)

(3)

即“对于任意x，x同一于x是必然的”。该式是同一律的谓词逻辑表达，解释为“个体必然自我同一”，则将式(3)代入式(2)可以得出结论：

∀x∀y((x=y)→□(x=y))

(4)

即“对于任意x和y,如果x同一于y，那么x同一于y是必然的”。式(4)经常被认为具有悖论性，因为事实上“毫无疑问存在着偶然为真的同一陈述。令a=b为其中之一。由‘a=b’的真和(5)(即上面的(4))，就可以得到‘□(a=b)’。但这样还怎么可能存在什么偶然为真的同一陈述呢?”[5]上述内容可以表达为，我们相信存在偶然为真的同一陈述，假设a=b为真并将其代入上述表达式∀x∀y((x=y)→□(x=y))，则□(a=b)，即“存在必然为真的同一陈述”，与“存在偶然为真的同一陈述”矛盾。例如，鲁迅是《孔乙己》的作者。根据莱布尼茨的可能世界理论，世界是许多可能事物的组合，上帝将其中最完满的那个选为现实世界，“鲁迅是《孔乙己》的作者”在我们所处的这个世界里为真，但是这里所说的“真”并不是“必然真”，而是“偶然真”，也就是说“鲁迅是《孔乙己》的作者”这一命题为真是具有偶然性的，即“鲁迅可能是《孔乙己》的作者”。所以，存在某个或某些可能世界，“鲁迅不是《孔乙己》的作者”。令“鲁迅”为a，“《孔乙己》的作者”为b，则a=b，依据上文的论述可以得出□(a=b)，即“鲁迅必然为《孔乙己》的作者”。“鲁迅可能是《孔乙己》的作者当且仅当他必然是《孔乙己》的作者”，产生矛盾，体现了结论即式(4)的悖论性。

为了深入探讨“颜色悖论”与“同一性悖论”的异同，笔者根据莱布尼茨“同一不可分辨”原则，即∀x∀y((x=y)→(Fx↔Fy))，对“颜色悖论”进行逻辑推导。假设〈a1,a2,a3,…,an〉(n为自然数且n≧1)是一个有序n元组，表示“将红橘彩带等分成n小块”，Fx表示“x是红色的”，“颜色悖论”可以形式化为：

Fa1

a1=a2

如果(a1=a2)，则(Fa1↔Fa2)

a2=a3

如果(a2=a3)，则(Fa2↔Fa3)

a3=a4

如果(a3=a4)，则(Fa3↔Fa4)

…

an-1=an

如果(an-1=an)，则(Fan-1↔Fan)

所以，Fan

与“不可分辨者的同一”原则下“颜色悖论”的推导结果一致，基于“同一不可分辨”原则同样得出矛盾式“Fan∧﹁Fan”，即“最后一个小块是红色的并且不是红色的”。因此，“颜色悖论”可以构建矛盾等价式，根据莱布尼茨“同一不可分辨”原则可以对“颜色悖论”进行严密无误的逻辑推导。

综上，笔者认为，“颜色悖论”并不完全等同于“同一性悖论”。首先，“颜色悖论”与“同一性悖论”具有不同的推演基础。一方面，“颜色悖论”的推导形式更加多样，可以从“不可分辨者的同一”原则和“同一不可分辨”原则两个角度出发进行推导。另一方面，从莱布尼茨“同一不可分辨”原则的应用角度而言，不同于“同一性悖论”复杂的演化、推理过程，“颜色悖论”仅仅为对该原则的初级应用，其主要依据逻辑形式：∀x∀y((x=y)→(Fx↔Fy))。假设〈a1,a2,a3,…,an〉(n为自然数且n≧1)是一个有序n元组，从彩带左端(红色)开始至彩带右端(橘色)结束。为了便于思考，我们将上述有序n元组变形为〈(a1,a2),(a2,a3),…,(an-1,an)〉(n为自然数且n≧1)，则每个小括号内包括任意两个相邻的小块，肉眼无法分辨它们的不同，所以，“a1同一于a2，a2同一于a3，a3同一于a4，…，an-1同一于an”；根据式(1)，“a1是红色的当且仅当a2是红色的”，由此可以推出“an是红色的”，又因为彩带的右端即an所在的一段为橘色(非红色)，所以an是红色的当且仅当它不是红色的。其次，“颜色悖论”探讨的是在一个整体中，部分与部分的关系，其矛盾点在于某个部分既具有又不具有某种性质。例如，“an是红色的”，这句话所表达的是an具有“红色”这一性质，“是”在该句中与“红色”相连，共同表示“是红色的”这一属性。而“同一性悖论”探讨的是一个物体的另两个方面是否同一的问题，其矛盾点在于这两个方面是可能同一的当且仅当这两个方面是必然同一的。例如，“鲁迅是《孔乙己》的作者”，“是”在该句中并不依附于“鲁迅”或“《孔乙己》的作者”，而是作为“等词”存在，表示“是”前后两部分相等。所以，“颜色悖论”并不等同于“同一性悖论”。

总之，“颜色悖论”作为一个逻辑悖论，既由与“连锁悖论”类似的模糊性谓词导致，又受莱布尼茨“不可分辨者的同一”原则和“同一不可分辨”原则影响，二者的相互作用导致了“颜色悖论”的悖谬性和复杂性。因此，对于“颜色悖论”的研究具有重要的逻辑哲学价值。