LB上Volterra型与复合算子积的有界性与紧性关系

(闽南理工学院信息管理学院，福建 石狮 362700)

1 预备知识

定义3现在定义LB是对数Bloch空间。如果

则f∈LB。

‖f‖LB是一个半范数(‖f‖L=|f(0)|+‖f‖LB),所以LB是一个Banach空间。

定义4设φ是D上的解析自映射,即φ∈S(D),那么将H(D)上的复合算子定义为Cφ(f)=f(φ(z)),f∈H(D),z∈D。显然Cφ是线性算子。

定义5令g∈H(D),对每个H(D)中的函数f,将Volterra型算子Jg,Ig分别定义为

随着经济的发展和科技的进步，短视频行业已经逐渐形成规模化运营，因此，政府的监管力度也随之加大。从2016年起，政府对网络短视频的监管力度加大，广电总局、文化部等多个部门与政府联手进行监管，为移动短视频的发展提供了规范发展的契机。

定义6定义Volterra型算子和复合算子的积如下:

在文[2]中研究了从H和Bloch空间到Zygmund空间上的Volterra型算子和复合算子的积。本文将在LB和LB0上讨论这些算子的有界性之间的关系，以及在LB和LB0上它们的有界性和紧性这两者之间的关系。

2 主要结论

引理1(Motel定理) 若解析函数序列{fn(z)}(n=1,2,3…)在区域D内闭一致有界,则必有{fn(z)}的一个子序列{fnk(z)}(k=1,2,3…)在D内闭一致收敛。

定理1假定f∈LB,则‖ft‖LB≤4‖f‖LB,0

证明 此定理的证明由引理2很容易得出。

定理2令g∈H(D),φ是D上的解析自映射。如果CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB0上的一个有界算子,则CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB上的有界算子。

证明 假定CφJg在LB0上是有界的。显然,对任意f∈LB,有ft∈LB0,对所有0

‖CφJg(ft)‖L≤‖CφJg‖‖ft‖L≤4‖CφJg‖‖f‖L<+

令t→1-,因此

‖CφJg(f)‖L≤4‖CφJg‖‖f‖L<+

这就证得：CφJg在LB上有界。类似地,可证得JgCφ,CφIg,IgCφ是LB上的一个有界算子。

定理3假定CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ):LB→LB是LB上的有界算子,则CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ): LB→LB是紧的当且仅当对任意满足在D的紧子集上有fn一致收敛于0的序列{fn}(⊂LB), 则有

‖CφJg(fn)‖L→0

(或‖JgCφ(fn)‖L，‖CφIg(fn)‖L，‖IgCφ(fn)‖L→0),当n→时。

证明“⟹”这个结论显然成立。

“⟸”假设CφJg不是紧的,则存在序列{fn}(⊂LB),使CφJg(fn)中任意的序列都不收敛。但由于CφJg是LB上的有界算子,且任意满足在D的紧子集上有fn一致收敛于0的序列{fn}(⊂LB)。由Motel定理知:存在{fnk}使{CφJg(fnk)}收敛,这与假设矛盾,故原结论成立。由此可证:CφJg是紧的。同理可证JgCφ,CφIg,IgCφ是紧的。

定理4令U⊂LB0,则U是紧的当且仅当U是闭的,有界的且满足

证明此证明类似于文献[2]中引理1的证明。