最优控制下养老保险多参数改革路径研究∗

王晓军 詹家煊 王琪琦

(1中国人民大学统计学院，北京，100872；2中国人民大学应用统计科学研究中心，北京，100872；3中国人民大学风险管理与精算中心，北京，100872)

一、引言

在人口老龄化和人口寿命持续增长的趋势下，实行现收现付制养老保险的国家大多面临可持续发展的挑战，从而纷纷进行结构性或参数式改革。在我国，历经20多年的养老金制度改革，已建立了覆盖城乡劳动者和居民的基本养老保险制度。2017年末，全国参加基本养老保险的人数达9.15亿人[1]，养老保险基本实现了全覆盖，但养老保险基金的收支平衡越来越依赖财政补贴。2016年，全国财政对基本养老保险基金的补贴总额达到8603亿元[2-3]，占全国基本养老保险支出总额的25%，其中，全国城镇职工基本养老保险的财政补贴为6511亿元，如果剔除财政补贴，2016年城镇职工基本养老保险基金收支缺口为5086亿元，占当年支出的16%。在未来的发展中，经济增长的下行压力越来越大[4]，经济增速放缓可能成为“新常态”，与此同时，财政收入增长也会逐步放缓[5]。在人口老龄化程度不断加深及人口寿命不断延长的趋势下，我国基本养老保险将会面临越来越严重的偿付压力，养老保险改革势在必行。

在养老保险改革的量化支持研究中，Valdés-Prieto认为，为了应对人口和经济环境的变化，现收现付制养老保险都需要进行周期性参数调整改革才能维持其长期可持续发展[6]。Turner指出，从20世纪90年代后期开始，不少国家在养老金改革中将养老金参数与人口寿命挂钩[7]。OECD的报告指出，有半数OECD国家采取了养老金参数与人口寿命挂钩的改革[8]。Godnez-Olivares等总结了相关国际经验，认为欧洲国家应对养老金危机的做法通常是一系列的养老金参数调整，包括调整缴费率、提高退休年龄和降低养老金待遇调整指数等[9]。Vidal-Meliá等研究了瑞典、加拿大、日本、德国和芬兰在养老金改革中引入的自动平衡机制[10]。Haberman和Zimbidis针对现收现付制养老保险参数式改革，提出采用缓冲基金吸收人口结构变动的冲击，以及采用连续调整缴费率与退休年龄的方式使养老基金保持年度偿付能力，并在缴费率和退休年龄最小调整的线性目标函数下，得到关于缴费率与退休年龄最优调整的显示解[11]。Pantelous和Zimbidis进一步将养老金待遇水平、养老基金资产投资比例纳入决策变量，在目标函数中增加了反映调整期末养老基金积累目标的指标，采用标准线性和随机优化技术，得出关于缴费率、退休年龄、养老金待遇和投资策略等控制变量的解析公式[12]。Godnez-Olivares等综合考虑了缴费率、退休年龄与待遇调整指数三个参数，在不同目标函数下分别在20年和75年的调整期内求解出使养老金保持年度偿付能力与长期可持续性的最优策略，并基于全欧洲人口预测数据进行实证检验，得出该最优策略满足连续小幅调整缴费率、退休年龄和待遇指数的约束，最终使现收现付制养老保险实现长期收支平衡[13-14]。

当前，针对我国的基本养老保险，学界与决策层正在研究延迟退休年龄、调整费基和费率、规范养老金调整指数和计发办法等参数式改革。已有的参数式改革量化研究主要集中在延迟退休年龄对精算公平和精算平衡的影响方面，Xiaojun Wang和Ge Shan通过构建队列递推模型和长期精算平衡模型，认为在中国现行养老保险制度下，与寿命挂钩的延长退休年龄方案使养老金待遇和养老金净财富增加，有利于制度的短期精算平衡，但对长期精算平衡的贡献不大[15]。袁磊通过模拟分析认为，延迟退休可以在一定程度上缓解养老金的支付压力，但解决养老金收不抵支的问题还需要多参数综合改革[16]。已有量化研究很少同时考虑不同参数之间的关联性和多个参数同时改革的综合效应。本文针对我国城镇职工基本养老保险，构建了多参数改革的非线性最优化模型，在参数边界和参数连续调整平滑性约束下，通过广义既约梯度法求解制度的缴费率、退休年龄、待遇调整指数的最优连续调整路径，使制度在未来50年实现精算平衡。在此基础上，对替代率、工资增长率、利率等因素做出敏感性分析，测算它们对多参数最优调整路径和结果的影响。

二、基本养老保险的非线性最优化模型

(一)模型构建

借鉴Godnez-Olivares等的优化思想[17-18]，通过控制养老保险基金在未来一定时期内的精算平衡，即养老保险基金的收入现值与支出现值之差，使养老保险基金在未来长期内保持财务可持续性。其中，控制变量包括缴费率、退休年龄、养老金待遇调整指数。

这里，我们将目标函数设为养老保险基金的收支现值之差的平方：

在这一设定下，通过最小化目标函数能够得到最接近养老保险基金长期精算平衡的多参数改革路径。在目标函数中，N表示时期长度；cn、λn、x(r)n、gn分别表示N期内每年的缴费率、养老金待遇调整指数、法定退休年龄、工资增长率；Wn与Bn分别表示每年的养老保险缴费基数总额和养老金待遇总额；i表示折现率。

Wn与 Bn可以表示为关于 cn、λn、x(r)n及gn的函数。设参加养老保险的最低年龄为xe，第n年x岁的参保人数为lx，n，x岁参保者的平均工资为wage(x)，有：

对Wn(n＞1)，有：

设第n年x岁退休者的养老金待遇为Px，n，人口寿命上限为ω，有：

当n＞1时，

公式(5)考虑了退休年龄调整对养老保险基金支出的影响。公式(6)反映了养老金待遇的调整。

对于第n年新退休者，设养老金待遇由退休时的工资与养老金的目标替代率决定，有：

其中，kn为养老金初始替代率。

对于缴费率、退休年龄、养老金待遇调整指数三个控制变量，约束条件是在一定的调整范围内每次做小幅的调整，并使目标函数f达到最小。目标函数和约束条件如公式(8)所示：

最小化目标函数f能够使养老保险基金在未来观察期内保持收支平衡。在约束条件(8a)中，cmin、λmin、xmin∈R以及cmax、λmax、xmax∈R分别为控制变量缴费率、待遇指数、退休年龄的上界和下界。为控制变量设定上下界的目的在于避免出现违背实际的调整策略。

Godnez-Olivares等将约束条件(8b)称为平滑性约束[19]，平滑性约束能够避免控制变量超过一定幅度的调整。另外，为了应对人口老龄化下不断增加的支付压力，本文对三个控制变量采用了非对称调整设计，即只允许缴费率和退休年龄向上调整(提高)，待遇指数向下调整(降低)，这也是国际上养老金参数改革的通行做法。

(二)最优化问题求解

Godnez-Olivares等在处理这种非线性最优化问题时使用了广义既约梯度法(Generalised Reduced Gradient Algorithm，简称GRG方法)[20-21]。GRG方法由Abadie和Carpenter提出，是梯度方法的一种拓展，是处理非线性最优化问题的重要方法[22]。唐焕文和秦学志将GRG方法的基本思想概括为“利用约束条件将部分变量用其他的独立变量表示，利用既约梯度直接构造独立变量的改进方向d，之后沿着方向d进行搜索求得新点，通过不断地重复这一过程来逼近原问题的最优解”[23]。

依据公式(8)所设定的特定约束，可构造三组自由变量un、yn、zn，它们的定义如下：

将优化问题改写为：

使用以下算法可以求解这一最优化问题。

步骤1：给定计算精度ε＞0，选取满足约束条件的初始可行解，令 k=0。

步骤2：计算既约梯度，在此优化问题下，自由变量的既约梯度正好等于目标函数对自由变量的偏导，因此既约梯度可以写成：

按照以下公式来计算改进方向d(k)的各个分量：

若自由变量M(jk)此时正好等于其约束最小值，且r(jk)＞0，或者M(jk)此时正好等于其约束最大值，且r(jk)＜0，令=0；否则，令。

步骤3：若 d(k)＜ε，计算结束，否则转向步骤4。

步骤 4：试取步长αk＞0，计算 M(k)，其中 M(k)的各分量由以下公式确定：

使用以上算法，通过设定合适的计算精度以及迭代求解的次数上限，就能够快速求解出本文所设定的优化问题。

三、我国城镇职工基本养老保险多参数改革模拟

(一)参数假设

我国社会养老保险包括机关事业单位基本养老保险、城镇企业职工基本养老保险和城乡居民基本养老保险。2015年，机关事业单位基本养老保险采取了与城镇企业职工相同的制度模式和参数设定改革，从而在统计口径上可将二者合并为城镇职工基本养老保险。设定城镇职工基本养老保险的法定缴费率为“单位缴纳工资总额的20%，个人缴纳个人缴费工资的8%”，缴费上限是上年在岗职工平均工资的300%，下限是上年在岗职工平均工资的60%。灵活就业人员按当地上年在岗职工平均工资的20%缴费，其中8%计入个人账户。与城镇职工基本养老保险相比，城乡居民基本养老保险起步较晚，当前全国各地在缴费标准、政府补贴和待遇水平上差距较大，很难进行全国统一的优化分析。本文仅对全国城镇职工基本养老保险的参数改革进行优化建模分析。

参数改革优化建模涉及对替代率、缴费率、退休年龄、养老金待遇调整指数、改革期等参数水平和范围的设定。对于制度和人口参数，这里假设养老保险参数改革优化的时间范围N为2020—2070年；养老保险的初始替代率kn=46.66%①2016年城镇职工基本养老保险的平均待遇为社平工资的46.66%。；男女平均的初始退休年龄为57岁②当前法定退休年龄为男60岁，女干部55岁，女工人50岁，男女加权平均的退休年龄约为57岁。；参保最低年龄为20岁，即xe=20；按社会平均工资计算的初始实际缴费率为14%③依据国家统计局公布的2016年城镇职工养老保险在职参保人数、在岗职工平均工资和征缴收入等数据，估计人均实际平均工资缴费率为14%。，实际缴费率远远低于法定水平的主要原因是当前的实际缴费基数低于社会平均工资；养老金初始待遇调整指数为5%④2017年我国养老金的实际待遇调整指数为5%。。假设在2020—2070年间，缴费率的调整区间为14%～25%⑤设定城镇职工基本养老保险的法定缴费率为单位20%、个人8%，合计28%。灵活就业者的法定缴费率为20%，灵活就业参保比例约为1/3，加权平均后的法定最高缴费率约为25%，这里将25%设定为缴费上限。，退休年龄的调整区间为57～65岁，待遇调整指数区间为2%～5%⑥国家统计局公布的历年通货膨胀率水平基本维持在2%左右，假设待遇调整指数的下限为通胀指数，上限为2017年的实际水平。。综上得出，cmin=14%，λmin=2%，xmin=57，cmax=25%，λmax=5%，xmax=65。对于缴费率、待遇指数、退休年龄的调整幅度，分别假设为cΔ=0.5%，λΔ=0.5%，xΔ=0.25，即每年缴费率最多比上年增加0.5%，待遇指数最多比上年下降0.5%，退休年龄最多每4年延迟1岁。另外，2020—2070年的人口结构采用联合国的预测数据[24]，该预测结果涵盖了放开二胎政策对中国人口结构带来的影响。假设城镇职工养老保险的制度内人口结构与人口结构相同⑦由于参保人员年龄结构没有公开的数据来源，这里假设其与人口年龄结构相同，在该假设下的模拟结果关注年龄结构老化的财务影响趋势，不注重对于每年财务结果的影响数值，可以视为合理。。为了简化，优化模拟不考虑失业率、提前退休、退休后继续工作和继续缴费等情况对制度内人口结构的影响，也不考虑财政补贴收入，假设2020年后，制度依靠累计结余和缴费收入满足待遇的支出。

此外，对于折现率、工资增长率、GDP增长率等经济因素参数有以下设定。依据中央结算公司2019年1月公布的中国国债收益率曲线，50年期的国债到期收益率为3.72，假设未来长期内的折现率和利率均为4%。对于工资，假设x+1岁的平均工资是x岁平均工资的1.01倍[25]。世界银行的报告认为，中国的GDP增长率在2021—2025年将维持在5.9%，在2026—2030年将维持在5%。考虑到我国未来经济增长可能放缓的趋势，本文进一步假定中国GDP增长率在2020—2025年为6%，2026—2030年为5%，2031—2060年为4%，2061—2070年为3%[26]。我国当前劳动报酬在GDP中的占比较低，约为40%左右，而世界各国的劳动报酬在GDP中的份额大多集中于60%～85%之间[27-28]。假设未来我国的劳动报酬在GDP中的份额将逐步提高，工资增长快于GDP增长1个百分点，这样到2050年，劳动报酬在GDP的份额可以达到50%～60%。由此设定工资增长率在2050年前高于GDP增长率1个百分点，之后与GDP增长率相同。

(二)参保人口结构

基于上文的假设，这里采用联合国对中国人口的预测结果进行模拟求解。图1展示了2020年和2070年养老保险制度内的人口结构。可见，2020年多数人口集中在35～55岁年龄段，制度内老龄人口的比例较低。到2070年，人口结构趋于老化，老年人口比例显著上升。

图2展示了制度内相对人口总量与老年人口抚养比。相对人口总量是以2020年人口总量为基准的相对数，老年人口抚养比是65岁及以上老年人数占20～64岁人口的比例。可见，未来制度内相对人口总量将经历先上升后下降的过程，在2038年达到顶峰。老年人口抚养比将从2020年的18.80%上升至2061年的60.30%，以后10年内老年人口抚养比略有下降趋势，但整体维持在较高水平。可见，随着人口结构和制度内人口结构的老化，依赖代际抚养的现收现付制养老保险的负担将越来越重。

(三)模拟结果

1.现行养老保险制度持续运行下的财务结果

图1 2020年和2070年分年龄人口结构

图2 相对人口总量和老年人口抚养比

首先对养老保险制度在不实行参数改革假设下的财务结果进行模拟。这里采用年度收支比、基金率、长期精算平衡三个指标描述财务结果，同时采用养老金平均替代率描述养老金的待遇水平。年度收支比是年度保费收入与年度待遇支出之比，用于反映年度征缴收入对年度待遇的支付能力。基金率是上年累计结余与当年待遇支出的比例，用于反映年初结余基金对当年待遇的支付能力，可以体现年末累计结余基金的偿付能力。用观察期内期初结余与未来征缴收入现值之和减去未来待遇支出现值和观察期末目标结余的差来考察长期精算平衡，其结果反映未来长期内期初结余和未来收入现值满足未来支出并实现期末结余目标的情况。

假设养老保险制度在未来不做任何参数改革，待遇指数为工资增长率的70%，假定2020年养老保险的期初结余基金正好等于2020年度的待遇支出①依据人力资源和社会保障部的年度报告数据，2007—2016年城镇职工基本养老保险年度累积结余与下年支出的比例一直维持在1～1.2之间。。这样，养老保险长期运行下的年度收支比、平均替代率和基金率如图3和图4所示。

可见，如果对养老保险的制度参数不做任何调整改革，制度的年度偿付能力将迅速恶化。图3给出了在这一假设下的年度收支比及平均替代率的变化情况。2020年的年度收支比为78.52%，到2070年只有31.09%，意味着2070年保费收入只能支撑31%的待遇支出，存在巨额的收支缺口。与此同时，由于待遇调整指数低于工资增长率，使平均替代率在2020—2040年间不断地下降，到2040年平均替代率降为44.96%。2040年后，由于老年人口抚养比加速上升，人口老龄化进程加快，因而平均替代率逐步回升。2060年后，老年人口抚养比稳中有降，同时假设的工资增长率降低一个台阶，这使待遇调整指数与工资增长率之间的差距同步减小，使平均替代率的上升速度加快。但总体看，平均替代率在整个运行期间的变化幅度不大，基本上落在45%～46.5%这个区间内。

图3 不做调整时的城镇职工养老保险年度收支比及平均替代率

图4 不做调整时的城镇职工养老保险基金率

图4 给出了不做调整改革情况下的基金率。自2024年起，养老保险的累积资产将被消耗殆尽，基金率开始变为负值，到2070年，养老保险的债务存量达到该年待遇支出的27倍，如此巨大的缺口无法通过财政补贴的方式进行填补，养老保险将难以为继。如果养老保险不进行改革，其2020—2070年间的长期资产现值为758万单位，长期负债现值为1898万单位，长期精算平衡值为-1140万单位。这表明，如果保持现行制度不变，必须在2020—2070年间使总缴费收入增加150%或者使总的待遇支出减少60%，才能实现养老保险的长期收支平衡。

2.养老保险优化约束下的参数改革路径

基于之前给出的相关假设和参数改革约束，使用Matlab求解出缴费率、退休年龄和待遇指数调整的最优路径，并实现了最优调整路径下目标函数f最终值为0的目标，表明该最优调整路径可以使养老保险在2020—2070年间维持精算平衡和长期的可持续发展。

图5给出了实际缴费率、待遇指数、退休年龄的最优调整路径，可见，依据优化目标和约束条件，实际缴费率应逐步从2020年的14%提高到2042年的24.08%，平均每年的实际缴费率上调0.46%。2042年后的缴费率维持在24.08%的水平上不变。依据退休年龄的最优调整路径，从2020年起，退休年龄将会以每年增加0.25岁的速度持续提高，最终提高到2052年的65岁。待遇指数的最优调整方案则显示，待遇指数将从2020年的5%，平均每年向下调整0.4%，经过6年后稳定在2.58%的水平上。

在多参数最优调整路径下，未来50年的制度内收支比不断改善。图6展示了养老保险年度收支比。2020年收支比为0.7851，意味着当年保费收入不能支撑当年的待遇支出，需要额外22%的补贴才能实现收支平衡。随着缴费率、退休年龄和待遇指数的不断调整，年度收支比不断上升，在2035年达到1.0151，养老保险首次实现年度收入大于年度支出。随后制度内收支比继续上升，并在2042—2051年间，年度收支比维持在1.2之上。2052年后，由于缴费率、待遇指数、退休年龄已结束调整，年度收支比逐步回落，最终在2070年下降至0.8273的水平。在整个模拟期内，2035—2054年的年度保费收入大于年度支出，其他年份的年度支出大于年度保费收入。经过对缴费率、待遇指数、退休年龄三个参数的调节，养老保险实现了在2020—2070年间的长期精算平衡，养老保险总保费收入的现值等于总待遇支出的现值。

图5 缴费率、待遇指数、退休年龄的最优调整路径

图6 多参数最优调整路径下的年度收支比及基金率

图6 同样展示了2020—2070年的基金率。可见，2020—2035年间，基金率持续下降，并在2035年达到了最低水平-0.5672，这是持续多年收不抵支的后果。2035年后，由于年度收入大于年度支出，年度收支比大于1，基金率逐步回升，并在2054年达到最大值2.4823，之后的年份中，随着收支比的下降，基金率同步下降，最终在2070年维持在0.6857的水平上，即2070年仅依靠养老保险的累积结余就能够覆盖2070年年度支出的68.57%。

图7给出了2020—2070年养老保险的平均替代率，可以看出在参数调整期间(2020—2051年)养老保险的平均替代率有不断降低的趋势。随着退休年龄的不断延迟和待遇指数的不断降低，平均替代率由2020年的45.95%下降至2051年的39.38%。此后，由于人口结构进一步老化和工资增长率持续下降，平均替代率逐渐回升。最终，在2070年平均替代率达到了49.92%。在调整养老保险缴费率、待遇指数以及退休年龄的同时，养老保险仍然能够给退休者提供不低于社平工资39%的退休保障。

3.对调整结果的进一步讨论

依据本文设定的缴费率、待遇指数、退休年龄的变化区间约束和平滑性约束，本文得到了如图5所示的最优调整路径。从中可以看到，缴费率的调整期为2020—2042年，待遇指数的调整期为2020—2026年，退休年龄的调整期为2020—2052年，这三者的调整速度、调整进程并未保持一致。由于养老保险的长期平衡受这三者的共同影响，因此本文所求解出的最优调整路径并非唯一的最优解。如果想要获得与三个参数的调整速度、调整进程相近的最优解，可以通过改变约束条件来获得。比如，在平滑性约束中可以适当地降低每年的缴费率、待遇指数调整幅度上限，提高退休年龄的调整幅度上限。甚至可以通过事先设定好一个或多个参数在若干年的调整计划，仅调整非事先设定的参数来寻求实现精算平衡的最优解。

图7 多参数最优调整路径下的平均替代率

除此之外，无论在图3还是图7中都可以观察到，随着参数调整力度的减弱或者参数调整的中止，平均替代率呈现上升的趋势，这既有工资增长率进一步放缓的原因，也有优化目标是实现2020—2070年精算平衡的原因。工资增长率不断降低，待遇调整指数与工资增长率之间的绝对差距不断缩小，甚至为实现未来50年的精算平衡优化目标，待遇调整在一定时期后停止，都会导致平均替代率在调整后期呈现快速上升趋势。在改革实践中，通过改变优化目标和约束条件，也可以同时实现平均替代率的稳定和长期精算平衡。

四、敏感性分析

养老保险多参数改革的最优调整路径受前文关于初始替代率、工资增长率和折现率假设的影响，为了分析这些影响产生的效应，将对这些假设的敏感性进行测算分析。

(一)初始替代率的敏感性分析

分别在初始替代率k为50%和40%的设定下重新求解最优调整路径，得出不同初始替代率下的最优调整路径，如图8所示。

由图8可知，当初始替代率提升后，缴费率的上调速度会随之提升，并且缴费率的最终稳定水平与初始替代率成正比。当初始替代率为50%时，缴费率最终稳定在24.83%；当初始替代率为40%时，缴费率最终维持在22.32%，比初始替代率为50%时低了2.51%。待遇指数的调整与此类似，初始替代率较高时，待遇指数的下降速度更快，最终稳定的待遇指数水平也更低。当初始替代率从40%增加至50%后，最终稳定的待遇指数从3.46%下降至2.10%。

不同的初始替代率对应着不同的最优调整路径，两者共同影响着养老保险运行中的年度收支比。由图9可见，初始替代率对养老保险流动性的影响在2035年之前较为明显，在2035年之后逐步减弱。在2035年前，不同初始替代率设定下的养老保险，无论是年度收支比还是基金率都存在较大的差异，在这一时期较低的初始替代率将会带来较高的年度偿付能力。而在2035年之后，年度收支比及基金率之间的差异不断缩小，甚至趋于一致。值得注意的是，初始替代率设为40%之后，整个考察期间内养老保险的基金率均大于0，说明在整个运行期间内养老保险并未出现账面上的负债。

图8 初始替代率对缴费率、待遇指数最优调整路径的影响

图9 初始替代率对年度收支比、基金率的影响

由图10可以看出，三个最优调整路径下的平均替代率具有类似的演变轨迹。在2051年之前，平均替代率都呈现下降的趋势，而在2051年后则呈现稳步上升的趋势。同时可以看到，初始替代率对最优调整路径下的平均替代率的影响是正向的，初始替代率越高，在同一年份对应的平均替代率也越高。

图10 初始替代率对最优调整路径下平均替代率的影响

(二)工资增长率的敏感性分析

工资增长率g的提高会使养老保险的保费收入增加，进而有利于缓解养老保险的支付压力。图11给出了不同工资增长率下缴费率与待遇指数的最优调整策略，工资增长率的变化不会改变退休年龄的最优调整策略。

由图11所示，当2020—2070年每年的工资增长率比标准假设下多1个百分点时，缴费率的上调速度和上调幅度会有明显的减缓和下降。在标准假设下，2020—2042年平均每年将缴费率上调0.46%，并最终调整到24.08%的水平上；当工资增长率提高后，同一期间缴费率上调的速度变为每年0.29%，缴费率最终维持在22.37%左右。此外，在不同的工资增长率设定下，待遇指数的调整也不尽相同。当工资增长率增加1%后，待遇指数在整个调整期内缓慢地持续下降，最终会降至2.37%。

图11 工资增长率对缴费率、待遇指数最优调整路径的影响

图12 展示了工资增长率改变后，最优调整策略下年度收支比及基金率变化的情况。可以看出，当工资增长率上升1%后，在2050年之前，年度收支比将会略低于标准情形下的结果，这与缴费率上调速度较慢、上调幅度较小有关。然而更高的工资增长率的优势将在2050年之后逐渐显现出来，出现年度收支比略高于标准假设情形。与此同时，在这样的年度收支结构下，较高工资增长率对应的基金率曲线将会落在标准情形曲线的下方。

图12 工资增长率对年度收支比、基金率的影响

工资增长率对最优调整路径下平均替代率的影响如图13所示。不同工资增长率下平均替代率的演进轨迹相似，都具有先升后降的趋势，并且较高的工资增长率将会带来较低的平均替代率。在2030年之前，两组平均替代率较为接近，而在2030年之后，平均替代率的差距逐渐扩大。2045年标准情形的平均替代率达到最低值38.76%，此时高工资增长率下的平均替代率为36.35%，并且仍在处于不断下降的进程中。2070年标准情形和高工资增长率下的平均替代率分别达到最大值49.92%和43.64%，两者的差距也达到最大值6.28%。

图13 工资增长率对最优调整路径下平均替代率的影响

(三)利率和折现率的敏感性分析

图14 和图15分别展示了不同利率和折现率i下，采用最优调整策略产生的财务结果。与之前的敏感性分析一样，利率的变化仍旧没有改变退休年龄的最优调整策略。从图15中可以看出，利率及折现率的变动对缴费率和待遇指数的最优调整策略的影响较为有限，在利率、折现率分别为3%、4%、5%的假设下，各最优调整策略十分相近。类似现象也发生在利率及折现率对年度收支比和基金率的影响上。因而三种情形下的年度收支比曲线基本重叠在一起。同时，由于养老保险现收现付的制度设计，利率与折现率对基金率的影响有限。因而在不同的利率、折现率设定下，养老保险运行期间的基金率虽然略有不同，但差异并不明显。

图14 利率和折现率对缴费率、待遇指数最优调整路径的影响

图15 利率和折现率对年度收支比、基金率的影响

通过图16我们可以看出，不同的利率及折现率设定，对最优调整路径下平均替代率的演进影响甚微。三种利率及替代率设定下，平均替代率曲线几乎重合在一起。

图16 利率及折现率对最优调整路径下平均替代率的影响

五、结论与建议

本文基于对未来人口和经济发展的假设，计算求解出我国城镇职工养老保险2020—2070年的缴费率、退休年龄、待遇指数的最优调整策略。研究发现：依照现行的制度设计，城镇职工养老保险每年都处于收不抵支的状态；随着时间的推移，制度内人口不断老化，收支缺口将会越来越大，养老保险的可持续性将面临越来越大的挑战。

通过对缴费率、退休年龄、待遇指数持续的调整，在制度内人口老化的背景下，仍能实现城镇职工养老保险的收支平衡。依据测算，通过对三个参数进行综合改革，即对未来的实际缴费率逐步上调，对待遇指数逐步下调，对退休年龄持续推迟，能在未来50年实现精算平衡。同时，敏感性分析进一步给出了在不同的初始替代率、工资增长率和利率假设下最优调整策略的变化路径。

需要指出的是，本文所研究的最优策略并不唯一。另外，受基础数据的限制，我们假设养老保险制度内人口结构与人口结构相同，同时没有考虑失业率等因素的影响，这使研究结果可能与现实存在一定的差距。但本文所反映的养老保险亟待改革的问题值得引起政府部门足够的重视。同时，本文所构建的多参数综合改革优化模型以及所采用的优化求解方法，可以为养老保险多参数综合改革方案的选择提供有用的分析思路和改革模拟工具，可以为养老保险改革决策提供重要参考。