神奇的“三线合一”

文苏州工业园区星汇学校八（11）班 崔容根

小学时，老师经常提到“等腰三角形是一种特殊的三角形”。当时的我并不明白老师所说的“特殊”的含义。在我的认识里，等腰三角形就是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边称为腰。升入初中后，我学习了“轴对称图形”，对等腰三角形有了新的认识：等腰三角形底边上高线、中线以及顶角的平分线重合，也就是大家常说的“三线合一”。直到此时，我才明白小学老师所说的“等腰三角形是一种特殊的三角形”中的特殊之处。

在处理与等腰三角形有关的问题时，我们常常运用“三线合一”。那么如何证明“三线合一”呢？

首先我们可以从“折叠”的角度考虑。如图1，因为△ABC为等腰三角形，所以AB=AC。在等腰△ABC中，沿着∠BAC的角平分线AD将△ABD翻折。因为∠BAD=∠CAD，所以AB落在射线AC上；因为AB=AC，所以点B与点C重合，所以△ABD和△ACD重合。不难发现等腰三角形是轴对称图形，而且对称轴就在顶角平分线所在的直线上。根据轴对称的性质，我们可以得到BD=CD、AD⊥BC，所以等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角平分线重合。“三线合一”从而得到了验证。

图1

另一方面，我们还可以从证明全等的角度进行论证。如图1，过点A作BC边的垂线，垂足为点D。因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。因为△ABC为等腰三角形，所以AB=AC。利用“HL”我们可以证明△ABD≌△ACD，这样我们可 以 得 到 BD=CD，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，所以等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角平分线重合。在证明过程中我受到启发，发现除了过点A作BC的垂线，还可以作顶角∠BAC的平分线或者过点A作BC的中线，然后同样利用三角形全等，证明“三线合一”。进一步研究发现，这个命题的逆命题也是成立的，我们可以用它来判断等腰三角形。

“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，在以后的学习过程中，处理与等腰三角形有关的问题，我们可以利用这个性质添加适当的辅助线，解决问题。

教师点评

小作者通过预习形成了对等腰三角形“三线合一”的认识。在预习过程中，他通过将等腰三角形沿着顶角平分线AD所在直线“对折”，再“展开”，一方面切身感受到“三线合一”，另一方面也发现“对折”就是寻找几何论证中“辅助线”的过程，让后面的几何论证有了一种“水到渠成”的感觉。从小作者文末的这句“处理与等腰三角形有关的问题，我们可以利用这个性质……”可以看出，小作者通过预习，已经掌握了处理等腰三角形问题的一般方法，达到了预习效果。