信息安全专业离散数学课程的教学探讨

张艳群 汪楚娇

摘要：信息安全是一门新兴的交叉学科，其核心技术是密码技术，而密码技术的基础是数学，离散数学是信息安全数学基础和密码学的先修课程。离散数学对信息安全专业课程体系具有重要作用，从专业培养的角度提出以离散数学为先导的专业课程教学体系。

关键词：离散数学;信息安全专业;信息安全数学基础;密码学

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）41-0179-02

中国矿业大学计算机学院信息安全专业成立于2004年，为国内较早设立该专业的高校之一，授予工学学士学位，2012年设立硕士点，拥有计算机科学与技术一级学科博士点和博士后流动站。信息安全专业按照“厚基础、宽口径、重创新、高素质”的原则，培养具有较强信息安全工程实践能力，系统掌握信息安全的基本理论和关键技术，能够从事各类信息安全的设备应用、产品研发、信息系统安全设计与分析、信息安全技术咨询与评估服务、信息安全规划管理等工作的高素质人才。

一直以来，信息安全专业注重学生实践能力和创新能力的培养，而这两种能力的培养除课外的社会实践、认识实习和实验环节外，在课堂教学环节中，教师在传授创新思维的同时，也要将知识和技能传授给学生并提高学生解决实际问题的能力。我校制定的2016版课程质量标准制中，各个课程都非常重视实践能力和创新能力，其中数学课程就发挥了至关重要的基础作用，只有数学基础扎实，后续专业课程的教学才能顺利进行。

信息安全本科专业设置了高级语言程序设计、离散数学、数据结构、计算机网络、计算机组成原理、操作系统、信息安全数学基础、密码学、网络安全、信息内容安全、操作系统安全、软件安全以及相应的系列实验实践课程。其中，离散数学是信息安全数学基础的先修课程，信息安全数学基础是密码学的先修課程，即离散数学和信息安全数学基础是信息安全专业的数学基础。

一、信息安全专业中离散数学的特点

离散数学在第二学期开课，共48学时、3学分，线性代数为其先修课程。离散数学课程的主要内容有四部分：集合论、代数系统、图论、数理逻辑，其中集合论主要介绍集合的基本概念、关系的基本概念、关系的性质、偏序关系、等价关系和容斥原理;代数系统主要介绍代数系统的基本概念、代数系统的性质、同构和同态、半群和半群的基本性质、群和群的基本性质、子群、循环群和拉格朗日定理;图论主要介绍图的基本概念、通路回路和连通性、欧拉图、哈密顿图、图的矩阵表示法、树、平面图、两步图;数理逻辑主要介绍命题逻辑和谓词逻辑，重点是命题逻辑的基本蕴含式和推理规则以及谓词逻辑推理。

信息安全数学基础课程是信息安全专业的专业主干课程，其先修课程是离散数学。信息安全是一门新兴的交叉学科，涉及通信学科、计算机学科、数学、物理、生物、法律和管理等多个学科，其核心技术是密码技术。密码技术的基础是数学，主要是数论，代数和椭圆曲线等数学理论，其中的代数就对应离散数学的第二部分即代数系统。信息安全数学基础以模运算为主，主要内容均涉及代数理论和方法，主要是群、环、域及Calois理论。除信息安全专业对代数系统这部分的要求较高之外，计算机学院的其他专业后续课程均不涉及代数系统内容。因此，离散数学的教学要针对性地介绍信息安全数学基础课程涉及的一些基础概念和重要定理。

二、调整离散数学教学内容

信息安全专业的核心课程密码学在第5学期下半学期开课，其先修课程信息安全数学基础在第5学期上半学期开课，共48学时、3学分，该课程对抽象思维能力和逻辑推理能力要求特别高，在48学时内要掌握整除、同余、一次同余式和高次同余式、二次同余式和平方剩余、原根与指标以及素性检测六章内容，学时非常紧张，这就要求学生提前熟练掌握离散数学特别是代数系统部分的内容。结合信息安全专业对数学课程的要求，离散数学教学内容作了如下调整：集合论、图论和数理逻辑三部分内容不变，代数系统在介绍基本概念的基础上增加子群、群以及循环群的内容，强调逆元、同态、同构以及拉格朗日定理，有针对性地选择和信息安全相对应的实例和素材，使离散数学的相关理论知识得以具体应用，使学生对离散数学知识点的应用有直观认知。

三、实例教学，强调专业应用

在实际教学过程中，离散数学的理论性强、定义定理多以及方法性强等特点使课堂教学质量一直不理想，如何吸引学生的注意力并激发学生的学习兴趣是整个教学的关键问题。数学的理论体系源于实践，数学的教学也要和实践相结合，实例教学使理论学习应用实践中，理论指导实践，学生通过实践可以更好地理解和应用理论，从而形成良性循环，提高学生分析问题和解决实际问题的能力。

实例一：在整数集I上定义模5同余关系R，R满足自反、对称、传递三个性质，所以R是等价关系，等价关系对整数集进行划分，得到5个等价类，即得到整数据I的5个互不相交的子集，记为[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，用Z5表示商集I/R，有

Z5={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]}

在集合Z5上定义+5运算，证明（Z5，+5）是个周期为5的循环群。

证明思路：先列出（Z5，+5）的运算表。

从表1可以看出运算满足的封闭性和结合律表，表中第一行和列头元素对应相等，表中第一列和行头元素对应相等，即[0]是（Z5，+5）的单位元，目前为止（Z5，+5）是一个单元半群，如果Z5中每个元素都有逆元且逆元属于集合Z5，则（Z5，+5）满足群的条件。

对于Z5中任意元素[x]求逆元，根据定义，其逆元[x]-1满足[x]+5[x]-1=[0]，即[x]-1=[（5-x）mod 5]，因为（5-x）mod 5∈{0，1，2，3，4}，故[x]-1∈Z5，则（Z5，+5）是群。如果能在Z5中找出一个元素使得其他元素都由这个元素运算得到并且最大运算次数为5，则（Z5，+5）就是周期为5的循环群。

考虑到基本运算为加运算，所以很容易看出[1]为生成元，且：

[1]=[1]1

[2]=[1]2=[1]+5[1]

[3]=[1]3=[1]+5[1]+5[1]

[4]=[1]4=[1]+5[1]+5[1]+5[1]

[0]=[1]5=[1]+5[1]+5[1]+5[1]+5[1]

即（Z5，+5）是周期为5的循环群。

同理，（Zm，+m）是周期为m的循环群。

再根据代数系统同构的定义，得出周期为m的循环群均同构于剩余类加群（Zm，+m），周期无限的循环群均同构于整数加群（I，+），至此对循环群的研究就归结为对剩余类加群（Zm，+m）和整数加群（I，+）的研究。

后续课程信息安全数学基础中由模m的原根g对应求模m的简化剩余系这一问题就要求学生熟练掌握循环群的定义和相关应用，利用原根求解高次同余式为Elgamal密码算法提供了对应的数学基础。不仅如此，信息安全数学基础中很多章节需要在模运算中求逆元，该知识点也属于代数系统部分，在离散数学课堂教学中必须进行重点讲解。

四、结论

离散数学不断进行课程改革和建设，根据信息安全专业特色的实例教学将离散数学理论与后续课程知识点和专业实际相结合，注重方法论，加强了课程之间的联系。较于传统教学，实例教学能较大程度地提升学生的学习兴趣，使其逐渐构建理论与实践的关系，真正使理论与实践互相促进，使学生更好地掌握信息安全数学基础知识，为后续的专业课程提供必要的数学工具和数学思想，奠定坚实的数学基础，提高离散数学课堂的教学效果和教学质量，从而达到教学目标。

参考文献：

[1]徐洁磐.离散数学导论（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]陈恭亮.信息安全数学基础（第2版）[M].北京：清华大学出版社，2017.

[3]吴伟.浅析离散数学课程中的案例教学法[J].科技风.2018，（34）：42.