复变函数与积分变换课程的教学实践与改革

张海霞 谢秀峰 宋晓红

摘要：“新工科”背景下，对课程的教学以及学生培养提出了更高的要求，针对复变函数与积分变换课程教学的现状和存在的问题，合理安排教学内容，理清教学思想和思路，采用传统与多媒体相结合的教学方法，开展学生讨论式的自主学习，发挥计算机软件的作用，将理论与实践相结合，以此激发学生的学习热情，收到事半功倍的学习效果。

关键词：复变函数;积分变换;教学改革

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）44-0160-02

复变函数与积分变换是大学工科相关专业，尤其是通信类专业的必修基础课，它在电路理论、通信工程、自动控制等课程中有着广泛的应用。通过对本课程的学习，可以使学生掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为后续专业课程学习提供必要的数学基础。因此，做好复变函数与积分变换的教学工作是十分重要的，不仅有益于学生对专业知识的深入研究，也为将理论转化为实践提供了基石。本文分析复变函数与积分变换课程教学的现状和存在的问题，总结和提出几点教学改革的经验和体会，希望对提高该课程的教学效果有所帮助和进益。

一、复变函数与积分变换课程的教学现状及存在问题

1.复变函数知识板块理论性较强。目前，国内的复变函数与积分变换教材将课程的知识体系大致分为两大部分，前面部分讲述复变函数的知识，这部分内容比较注重数学理论知识，涉及较多的定理和结论，其推导过程较多，因此缺少直观性和实际应用背景，没有较强的数学基本功的学生很难理解和掌握。这样，学生们觉得教学内容枯燥，上课很难集中注意力，直接导致了学生的学习热情不高，特别是学习基础不好的学生产生厌烦的情绪，放弃了对该课程的学习。而后面部分讲述积分变换的内容，本应是应用性较强的知识，学生们会感兴趣，但由于各种原因，无法在实际中体现，比较遗憾。

2.高等数学的知识掌握较差。复变函数与积分变换作为高等数学的后续课程，与高等数学的内容紧密相连，许多理论知识其实是实函数到复函数的推广和延伸。该课程一般安排在大二的第一学期，这学期学生的课程相对较多，课业负担也比较重，在课程上很难做到兼顾。另外，尽管学生们已系统地学习过高等数学，但在学习复变函数与积分变换知识，尤其是跟高数内容衔接比较紧的内容时，并没有及时地去回顾相关的知识。此外，还有不少学生对高等数学有恐惧心理，考试结束后不会再进行学习，因而势必影响到对该课程的掌握程度，没有高等数学知识这一强大的支撑，要想学好这门课程是非常困难的。

3.复变函数与积分变换课程课时数较少。近些年来，随着学生培养计划的修正和专业课程的调整，原本课时数为48学时的课程减少到32学时，而该课程需要讲述的重要知识点和重点内容仍保持不变。这样课堂上教师教授的内容量就很大，教学速度相对也加快，对于知识的深度和广度没有充足的时间去探讨和深入研究，留给学生的印象是教师们照本宣科，没有新意和广度。渐渐地，学生们没有兴趣继续学习下去，学到的仅仅是皮毛，这样的情绪也影响了教师的讲课效果，整个课堂上没有互动，没有激情，有的只是沉默和学生们呆滞的目光、迟钝的反应，这必将对复变函数与积分变换课程的学习带来极其负面的影响。

二、教学改革的内容

1.精炼教学内容，传授思想方法。长期以来，我们采用的是苏变萍等人编写的《复变函数与积分变换》教材[1]，该教材难易适当，教学大纲中涉及的内容书中都有合理的介绍。我们要做的主要是对教学内容进行适当的调整，淡化数学推导，基于学时数和学生的实际水平，删掉理论性较强的内容和定理证明，用宝贵的学时讲好重点内容和难点内容，让学生消化重点内容，明白难点内容，深刻体会课程内容的思想方法。例如复变函数中“复变函数的解析性”、“复变函数的泰勒级数和洛朗级数的展开”、“孤立奇点类型的判断和留数的求法”等皆是需要重点讲述的内容，也是该课程的难点。至于复变函数为何能展成相应级数的定理证明可略去不讲，毕竟工科专业的学生更注重的是实际的应用。类似的，级数的一致收敛性概念，解析函数唯一性定理等可略去不讲或做简要介绍。再如，教材中对孤立奇点的类型给出了详细的判断方法，这些方法都是从定义出发，并结合解析函数的性质给出的，在讲解这些内容时要细致讲解，帮助学生体会研究问题的思想方法，做到触类旁通。

2.传统和多媒体相结合的教学方式。复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是一种解决问题的强有力的工具，因此既要重视基础知识的传授，同时又要注重实际应用的引导。传统教学上，教师授课主要采取板书的形式，将教学的重点内容逐一写到黑板上，上至定义、定理的展示，下至例题、习题的讲解。在教师的书写过程中，学生有了独立的思考的时间，这样不仅加强和加深了学生对知识的理解和掌握，也避免了纯粹的多媒体教学带来的一扫而过的弊端。凡事都有两面性，多媒体也有其优越性，多媒体课件形象、生动、可视性强，可以清晰、简洁地展示一些教学知识，例如，在讲述幂级数收敛域的内容时，通过多媒体课件静态或动态的演示，让学生从直观上形象地理解了幂级数的收敛域是圆盘的特性，从而激发学生探索知识的兴趣。因而我们要发挥板书和多媒体各自的优势，扬长避短，让学生们不再感到课堂索然无味。同时，也解放了教师的课堂时间，便于其他教学方式的尝试与探索及教学知识的拓展和深入。

3.课堂内学生分组讨论式学习。为了激发学生上课的学习热情，最大限度地调动学生上课的积极性，也避免学生上课不专注的现象发生，就要改变以往教师从头讲到尾的教学模式，根据每节课教学内容的安排，在课堂上留出适当的时间，以6—7名学生为一个学习小组，采取自由讨论的形式开展自主学习，并以小组为单位展开竞赛。复变函数与积分变换作为高等数学的后继课程，在内容上有很多相似之处，如包括极限、连续、可导、积分、幂级数等内容，对于这些知识的学习，学生们是有能力自主完成的。在课堂规定时间内，每个小组派一位代表上讲台进行内容讲解，然后让其他学生对讲述学生进行评估和打分。教师从专业的角度对学生讲解的条理性和正确性给予评价，并将成绩作为平时成绩评定的一个参考指标。这样，一方面极大地激发了学生的学习兴趣，让学习的主动性掌握在学生的手里，同时以小组的形式学习，也增强了学生的合作与交流;另一方面丰富了课堂教学，让数学课不再索然无味，而是变得更有趣，学生们对所学知识印象更深刻。

4.Matlab软件求解Fourier积分变换和Laplace积分变换。教育部在“面向21世纪教学内容与课程体系改革计划”中明确提出要加强数学教学过程中的实践环节，加强数学理论与实际应用相结合，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质[2]。Matlab等数学软件具有强大的数值计算功能，也拥有卓越的分析和图形处理的能力，应用领域极其广泛。同时Matlab操作简单、代码少、效率高[3]。因此，在讲解傅里叶变换和拉普拉斯变换内容时，尽量争取1—2个课时来介绍Matlab求解积分变换的问题。课堂时间有限未必能做重点展开，但是会作为重要的应用介绍展现给学生。同时，积极与学院、学校的计算机实验室协调，安排1—2课时让学生进行上机实际操作，体会数学软件对于解决数学问题的帮助与作用。通过计算机软件强有力的辅助，提高学生学习数学知识的兴趣，促进学习效果的提高。这也是今后复变函数与积分变换课程教学的新趋势、更多地重视应用知识的趋势。

参考文献：

[1]蘇变萍，等.复变函数与积分变换[M].第二版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]张红英.开展数学实验提高《复变函数与积分变换》课程教学质量[J].价值工程，2012，31（3）：210-211.

[3]王莉，杨峥，王诗云，孙菊贺，朴凤贤.《复变函数与积分变换》课程教学方式的改革与探索[J].教育进展，2018，8（3）：237-240.