题在考卷 根在教材——2019年数学全国卷Ⅰ第22题的探析

广东

每年高考都有不少的优质试题，这些试题都是命题专家精心设计的杰作，凝聚了命题专家的集体智慧，对中学教学有良好的导向性，值得我们去品味.要充分认识高考题所蕴含的价值，挖掘高考题的功能，发挥其内在作用，并以此来促进教学.

下面笔者以2019年数学全国卷Ⅰ的一道选考题为例，进行详细分析与解答，追本溯源，说明立足教材、重视课本例习题的重要性，并给出相应的变式练习，供大家参考，希望能抛砖引玉.

一、题目呈现与分析

(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程；

(Ⅱ)求C上的点到l距离的最小值.

试题分析：题目结构清晰，知识方面主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，点到直线的距离公式，圆锥曲线上的点到直线距离的最小值求法及其相关运算；思想方面主要考查转化与化归，数形结合等思想.综合考查考生逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力，试题的思维过程和运算过程体现了能力立意的思想，较好地体现了对坐标系与参数方程模块的核心内容和基本思想方法的考查.

二、多视角思考，解法探析

1.问题(Ⅰ)的解答

分析1观察参数方程的特点，利用完全平方公式消参.

分析2充分挖掘式子结构特征(三角函数万能公式)，换元化简，再利用三角函数基本关系式消元.

分析3由分式分离常数，简化式子，解出参数t，然后代入消元.

分析4反解出t2与t，然后代入消参.

评注：参数方程化为直角坐标方程常用的方法有代入消元、加减消元、整体消元、平方消元和三角恒等式消元等，要观察参数方程的结构，灵活选取合适的方法.需要注意的是，在参数方程与直角坐标方程的互化中，必须让x，y的取值范围保持一致，否则互化就是不等价的.

2.问题(Ⅱ)的解答

解法1(判别式法)

解法2(向量法)

解法3(参数方程法)

解法4(导数法)

解法5(数形结合法)

评注：问题(Ⅱ)要解决点到直线距离的最值问题，解答中分别使用解析几何、方程、导数、三角、向量和函数等高中核心知识进行解决，体现了知识的横向联系.因此要对典型高考题进行深入挖掘，探求试题背后的思想方法，注重一题多解，力求对所学的知识融会贯通.另外，上述解法也能求得C上的点到l距离的最大值.

以上几种解法，从不同角度出发思考问题，各显神通.这充分体现高考数学题的不拘一格，一道试题往往考查多种能力、多种思想方法，同时，高考试题在命制时充分考虑到考生数学能力的个体差异，多数试题的解答方法和思维方式并不唯一，给考生提供了较大的发挥空间.由于不同方法的解题时间的长短不同，从而甄别出考生能力的差异，达到精准区分考生能力的目的.另外也说明高考要突出考查知识主干，贴合教学实际，重视对学生数学基本能力与思想方法的考查，所以我们要在平时的学习与训练中重视知识的储备和方法的积累，才有可能缩短思维的长度，达到事半功倍的效果.

三、追本溯源

问“题”那得清如许？为有源头活水来.原试题的题源就来自于教材的例题：

对试题的探源可以让我们更深刻地认识问题，可以看出2019年考题的“母题”来源于教材的例题，只是将例题进行适当的改编而已.立足教材和选编教材原题，生成教材变题，是高考命题的一个不争的事实，这体现了高考命题的公平性和基础性原则.所以教师要善于钻研教材，用“慧眼”去发现有典型性、可拓展性的例题或习题，善于作解后反思、方法的归类、规律的总结与技巧的揣摩，再进一步对例习题进行挖掘、拓展和引申，扩大例习题的辐射面，以此提高复习的效率.

四、变式练习

为了加强学生对某一类问题的掌握，适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，通过“一题多变”能够加深思维深度，让学生在亲身实践中寻求变通，悟出问题的本质，从而为今后的解题迁移找到共同的固着点，对于形成完善的数学思维结构和发展数学思维能力具有重要意义.对于本道考题，可以进行如下变式训练：

1.变曲线：(2006·全国卷Ⅰ·理8)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是

( )

【答案】A.

【答案】2

(Ⅰ)若a=-1，求C与l的交点坐标.

(Ⅱ)a=8或a=-16.

五、高考链接

极坐标与参数方程模块中，圆锥曲线上的点到直线距离相关类型的考题已成为高考中的重要考点，备受命题者青睐.为了凸现考题的有迹可循，把握复习的侧重点，提高复习效率，下面给出部分相关的高考试题，以供参考.

【答案】4.

(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

(Ⅱ)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.

【答案】(Ⅰ)点P在直线l上.

高考试题是精心之作，每年的高考题从命题角度、题型和难度等方面都进行了充分考虑，是知识、能力和思想方法的载体，是命题思想、命题理念的程序化展现，具有典型性、示范性和权威性.除了具有测试与选拔功能外，还具有良好的教学功能，要了解高考动向，把握高考脉搏，对高考试题的研究分析是重要的路径.可以看出2019年高考题与上述展示的高考题(含“变式练习”)是同类题，这说明命题专家很重视命题的传承和相互借鉴.所以在高考的备考中，适当加入高考真题的训练是必要的，特别是近五年的高考真题.

六、结束语

坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，是整个高中数学内容的补充和延伸.在知识上结合解析几何考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能，考查数学公式变形能力、运算求解能力和逻辑推理能力等.选考题主要是配合2003年开始的普通高中新课程改革的选修模块设置，试题较容易，属于“送分”性质，导致选拔功能不强.近两年有所变化，根据学生选做坐标系与参数方程偏多(实际是专攻)的情况，对该题难度进行调整，其实是考生在与命题者博弈.今年的两个选考内容，难度同时增大，应该说是回归其应有的作用和地位，也消除了命题者内心的纠结，需要考生逐步适应.

罗增儒教授语：教材是课程的载体，因此高考命题最具体、最方便的依据其实是教材.数学高考试题有“源于教材，高于教材”“题在考卷，根在教材”的特点，年年岁岁题相似，岁岁年年意不同，但万变不离其宗，“宗”就是教材.苏联数学教育家奥加涅曾说：“很多习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性”，教材中的例习题是经过编者精心设计的，具有典型性，大多蕴含着深刻的背景和丰富的数学思想，很多高考题是教材例习题的组合、加工、引申、拓展和类比，这充分体现教材是高考试题的根之所在.因此，高三的数学复习应立足于教材，教师们应钻研教材，深刻领悟教材中数学知识的作用和所蕴含的文化价值，活用教材，对教材中有潜在规律的材料、例题、习题进行归纳、类比和拓展，充分挖掘，将其价值发挥出来，从而实现教材教学功能的最大化、最优化.