逆向思维在初中数学教学中的应用

朱凤文

任何事物都是在矛盾中不断发展和变化的，在一定的条件下，矛盾着的双方还可以互相转化。数学是初中教学中的重要科目，它不仅对学生的学业发展有重大意义，而且对解决生活中的问题也大有益处。解决数学问题，一般总是从正面入手进行思考，这是解决数学问题的一种基本的常用的思想方法——综合法.但是有时会遇到从正面考虑比较复杂甚至无从下手的情况，这时若能打破思维定势从问题的反面去思考，或者逆用所学的数学知识，会使问题化繁为简，化难为易，从而找到解决问题的捷径，收到事半功倍的效果.这就是解决数学问题的另一种思想方法------逆向思维。

逆向思维是一种创造性思维，也叫求异思维，这种解决问题的思维方法是对司空见惯的方法或原理进行逆向思考，从数学方面来讲，逆向思维就是在学习数学原理、公式以及推理的过程中，通過结论推导出已知条件的思维方法。就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则、运算律解决问题。逆向思维方法既可以用在代数中，也可以用在几何中，“反证法”就是逆向思维在几何中的重要应用之一。加强逆向思维的训练，可以培养学生思维的灵活性和发散性，使学生掌握的数学知识得到有效的迁移，经常运用逆向思维解题，有利于巩固数学知识，提高解题能力和发展智力。

一、在概念教学中渗透逆向思维

既能培养学生双向思维的习惯，又能加深对概念的认识和理解。例如，在学了数的平方和绝对值后，学生熟悉了（±3）?=9，∣±3∣=3，教师让学生填空：（  ）?=9，若∣x∣﹦3，则x﹦？或x?﹦9，则x=？，学生在思考问题的过程中，就运用了逆向思维。类似的概念如：互为相反数，互为余角等等，通过这样的学习，学生就能够对概念有更全面的认识，从而在今后的解题过程中能够举一反三、融会贯通。

例：a、b是一元二次方程x?-5X+6=0的两个根，求a?+b?的值。

分析：由韦达定理得，a+b=5，ab=6。

二、在定理教学中渗透逆向思维

对于定理而言，并不是所有的逆命题都成立.但是在教学中应重视引导学生对定理的逆命题是否成立的探讨与交流，以训练学生的逆向思维。

例：一个零件的形状如图1，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，你能求出这个零件的面积吗？

分析：此题若从正面思考，可能无从下手，因为它不是一个特殊的四边形，要求面积，十分困难，所以若从另一个角度思考，连接BD，将四边形转化为两个三角形，由题中条件应用勾股定理及其逆定理即可。

三、在习题教学中渗透逆向思维

习题教学是数学教学中的重要环节，很多数学题在求解过程中如果运用逆向思维的技巧，就会得心应手。

1.从问题的反面入手

例：若方程X?-mX+m+3=0至多有一个负根，试求m的取值范围。

分析：一元二次方程至多有一个负根，那么它的反面就是两个根都为负数，从这个角度入手，此题便可很快求得结果。

例：E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF，其中错误的有﹙﹚ A、0个  B、1个  C、2个  D、3个

分析：此题是一个综合性问题，由已知条件从正面分析很容易判断①、②、④，但是③的推理就不那么容易了，若我们逆向思考从反面入手，假设AO﹦OE成立，由此推理得出结论成立的矛盾或条件，问题便可迎刃而解。可真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。

2.从逆常规思路入手

例：解方程（Y?）?+Y?-4Y?-Y+1=0

分析：解分式方程的基本思路就是把分母去掉转化为整式方程，然而本题却要将整式方程还原到分式方程来解。

3.逆用公式、法则解题

例：计算：⑴2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-2⁷-2⁸-2⁹+2¹⁰.  ⑵已知2^m=3，2ⁿ=5，求2^3m+2n的值。

分析：（1）注意到2¹⁰-2⁹=2⁹·2-2⁹×1=2⁹·（2-1）=2⁹，同理，2⁹-2⁸=2⁸，…2³-2²=2²，即2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2·2ⁿ-2ⁿ=（2-1）·2ⁿ=2ⁿ.逆用同底数幂的乘法将2ⁿ⁺¹化为2¹·2ⁿ便可求解。（2）求2^3m+2n的值，由已知条件不能求出m，n的值，因此可以想到将2^m，2ⁿ整体代入，这就需要逆用“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算性质，从而解决问题。

4.逆序思考解题

有的数学问题，关系比较复杂，直接从已知条件入手，有时会在中途迷失方向，在这样的情况下，如果从问题的结论出发一步一步往上倒推，往往可以找到有效的解题线索。

例：抢“数”游戏：抢2019，甲、乙两人每次抢1、2或3个数，谁先抢到2019，谁就获胜.现在由甲先抢，问哪个人先获胜？他该怎样去抢？

分析：如果按问题原来的程序考虑，甲第一次抢“数”就有三种情况，问题变得十分复杂，若逆向反过来思考，先从甲最后一次抢“数”的情况去分析甲的成败。容易看出，如果还剩1、2或3（记A），甲必获胜.再往前一步，轮到甲时，还剩5、6或7时，甲一定能制造出情况A。由以上分析可知，轮到甲抢“数”时，若抢的“数”是4m+1、4m+2或4m+3，则甲一定胜，原因是对4m+1、4m+2或4m+3，甲抢1、2或3，剩下4m，由乙去抢;轮到甲抢时“数”总不是4的倍数，而甲抢后，轮到乙去抢时，剩下数总是4的倍数。由于2019=4×504+3，甲第一次抢1、2、3，以后每次按上述关系来抢，则甲一定获胜。

从以上几例可以看出，应用逆向思维巧解数学题，方法独特，构思新颖。因此，在数学教学中，应加强学生逆向思维的训练，帮助学生从正向思维逐步过渡到正、逆双向思维，有利于培养和提高学生的数学思维能力，丰富学生的解题经验，提高学生解题的灵活性，大大地激发他们的学习兴趣和学习热情。