分析解题策略 构建认知水平——关于比例的前测研究

邵爱珠

目前使用的不同版本的教材都将“比例”知识点的教学放在六年级下学期进行，也许这正符合了“比例”这块知识的特点：应用性强、综合性强，是一种新的思维方式和数学模型，需要学生在较高知识水平层面上学习。那么在学习这一内容之前，学生对此是否一无所知，毫无感觉呢？相信教师们一定会给出否定的答案。当然，这仅仅是凭我们的经验得出的结论，实际情况如何，还需要用数据来说明。为此我们进行了一个小调查。

一、测试调查与结果

【测试目的】

1.了解正式学习比例前，学生是否有比例相应的思维方式。

2.了解关于比例问题，不同年级的学生有哪些解决问题的策略。

3.了解比例推理发展的一般规律是怎样的，有什么教学启示。

【测试试题】

在查阅资料时发现，国内外很多名家也曾做过类似的研究。他们研究面广，内容多，试题丰富。基于我们研究水平与能力的现状，笔者改编、设计了一道题，以图文结合的形式呈现：

小红和小东分别用蜂蜜冲泡饮料，小红用了3勺蜂蜜、12勺矿泉水，小东用了5勺蜂蜜、20勺矿泉水，他们冲泡的饮料一样甜吗？

【测试对象】

随机选择本区二到六年级学生一至两个班，共308名学生，以笔试的方式进行，时间20分钟。

【测试结果】

经过测试、整理、统计，认为小红和小东冲泡的饮料“一样甜”的学生人数分别占各年级的百分比是：

年级百分比二年级58.9%三年级67.7%四年级80.0%五年级92.3%六年级100%

这组数据与我们的经验判断不谋而合：在正式学习比例前，学生对于比例相关问题是有感觉的。从低年级到高年级不断递增的数据来看：比例推理的发展有过程性。

测试的结果有了，那么不同年级的学生在解决这个问题时是怎么想的？分别用了哪些策略？这些策略背后又有哪些经验支撑呢？从这些数据中还能读出什么，得到什么结论呢？我们对学生的解题策略、过程进行了进一步的研究与分析。

二、学生的解题策略呈现与分析

什么是解题策略？解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。这里的方法是有层次性的，是对解题途径的概括性的认识，是寻找解决问题思路的指导思想。在最新出炉的浙江省学业质量监测报告中，关于“解题策略”有这样的描述：能洞察数量之间的本质联系，会进行转化与沟通，并用巧妙、简化和与众不同的方法解决问题。

那么关于冲泡饮料问题，不同年级的学生分别有哪些解决问题的策略呢？

【策略1】选择小红和小东对应的一组数据进行比较。如：小东5勺蜂蜜比小红3勺多，所以小东的饮料甜；小东20勺矿泉水比小红12勺矿泉水多，所以不一样甜。

学生作品：5-3=2（勺），所以小东的甜。

图1 二年级学生的作品

【策略2】计算蜂蜜与矿泉水的总和或相差关系，再比较。

学生作品：小红：12-3=9（勺），小东：20-5=15（勺），所以不一样甜。

学生作品：小红：3+12=15（勺），小东：5+20=25（勺），所以小东的饮料甜。

【解读与分析】

策略1和策略2都是将信息中的数据进行加减法计算，比较结果的大小并作出判断。在被测的学生中，二至五年级都有学生采用这种方法，占全部学生的15.58%。

运用加减策略的学生，试图将所给的信息建立起联系。但这些联系仅建立在单维的、外在的基础上。所谓单维，是指学生利用与甜度有直接关系的蜂蜜的数量或者矿泉水的数量作出判断，而忽视部分数据。如策略1中小东有5勺蜂蜜，减小红的3勺蜂蜜等于2勺蜂蜜，所以小东的蜂蜜多，他的饮料甜。策略2中的两个作品，表面上看所给的四个信息都参与了运算，但也仅仅只是数据间的运算，如将每个人的蜂蜜与矿泉水的勺数相加或相减，将数据间的关系看作外在的比差关系，不涉及蜂蜜与矿泉水之间的内在混合关系。

【策略3】计算蜂蜜与矿泉水的倍数关系，再比较。

图2 三年级学生的作品

【解读与分析】

在被测学生中，三、四年级都有部分学生采用这种方法，占全部学生的11.48%。

从测试题中可以发现：信息中的数据有着明显的倍数关系，且12是3的整数倍、20是5的整数倍。学生利用数据之间的相等倍数关系，得出小红与小东的饮料一样甜的判断。（学生作品中的“勺”改成“倍”可能更合适）

这样的推理从单维发展到了两维，也就是既考虑了蜂蜜的量，也考虑了矿泉水的量。虽然同样不涉及蜂蜜与矿泉水之间的内在混合关系，但可以看出学生已经有了关联意识。

这或许与学生的知识水平有关，从三年级开始学生学习了乘除法的意义，也学习了倍的认识，两个量的比较从比差关系向倍数关系发展，因此解决问题的思维更开阔。

同时我们也发现：数据的类型对学生解决问题有一定的影响，只要有二年级乘除法的相应知识，像这样12与3、20与5之间的倍数关系，很多学生是一目了然的，那么当两个相对应的数据之间存在非整数倍关系时呢，如12与5、36与15，学生会如何判断呢？这或许又可以展开一个新的研究。

【策略4】转化成同样的问题，再比较。

图3 四年级学生的作品

【解读与分析】

学生从蜂蜜、矿泉水两个维度来解决问题，通过将已知信息转化成“1勺蜂蜜放多少矿泉水”的问题，将小红与小东的饮料配比转化成相同的结构，从而做出判断。

如上述学生，用文字很清晰地进行了表述，小红的饮料与小东的饮料都是“1勺蜂蜜放进4勺矿泉水”，因此一样甜。

与策略3不同的是：策略3中的学生仅仅是从数据的特点展开思考，而策略4中的学生已经对除法的意义理解得较为深刻，能试图从变化的信息中找到不变的关系，已经有了初步的对最简单的函数关系的认知。

【策略5】用简单的比的知识解决。

图4 四年级学生的作品

图5 五年级学生的作品

【解读与分析】

这样的方法有两个特点：一方面，结果表征方式更丰富：学生能将蜂蜜数、矿泉水数作互反可逆性比较，从蜂蜜、矿泉水两个维度来解决问题，可以转化成“1勺蜂蜜放多少矿泉水”的问题，还可以是“蜂蜜占了矿泉水的几分之几”的问题，将小红与小东的饮料配比转化成相同的结构，从而做出判断。另一方面，学生已经有了初步的等比的意识，能用关系式表示两种饮料一样甜。

【策略6】用比或比例的知识解决。

用比和比例的知识来解决问题的学生主要集中在六年级，占测试总数的15.98%。主要有两种类型。

类型1：算出小红（小东）饮料的含糖率，再进行比较。这是六年级学生普遍采用的方法，这或许与刚学了百分比的知识有关。

图6 六年级学生的作品

类型2：比较两种饮料配料比值，用比例式来呈现。

图7 六年级学生的作品

【解读与分析】

这部分学生表现出更严谨的解决问题的过程，从规范地计算饮料中含蜂蜜的量来推断两种饮料是否一样甜。

分析五、六年级学生的知识获取情况，学生不仅学习了乘除法，还学习了复合单位的相关知识，对“路程÷时间=速度”“总价÷数量=单价”这样的数量关系有一定的了解与掌握，也理解了描述速度的单位可以用“米/时”等来表示，描述单价可以用“元/千克”来表示。在这个测试题中，学生能将复合单位的相关知识迁移到饮料配比问题，从饮料“含糖率”的角度来推理两种饮料是否一样甜。从这点来看，学生已经能对信息进行整合、从信息内在结构中找相关的联系，并理解了比例式的含义。

三、解题策略的水平层次分析

基于学生对该测试题解决问题策略的不同，我们尝试将这些策略进行了水平分层。

层次1：无解题思路——不理解题意，或者空白，或者凭猜测写一结论。

层次2：数据大小比较——根据数据的大小，直接进行比较。

层次3：单维加减运算——运用两个或四个数据进行加减运算，建立比差关系，如策略2。

层次4：两维简单倍比——运用数据特点计算两种量的倍数关系，建立整数倍函数关系，如策略3、策略4。

层次5：两维整合等比——运用比或比例的相关知识解决问题，建立一般函数关系认知，如策略5、策略6。

各年级解题策略水平层次统计如下表所示：

年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 合计人数95 93 40 40 40 308层次1：无解题思路人数 1 3 7 0 1 0 2 1百分比13.68%7.52% 0 2.5%0 6.81%层次2：数据大小比较人数 3 1 10 2 0 0 4 3百分比32.63%10.75%5%0 0 13.96%层次3：单维加减运算人数 2 8 11 7 2 0 4 8百分比29.47%14.47%18.42%5.13%0 15.58%层次4：两维简单倍比人数 2 3 58 33 28 9 151百分比24.21%62.36%86.84%71.79%22.5%49.03%层次5：两维整合等比人数 0 3 1 1 0 31 45百分比 0 3.95%2.63%25.54%77.5%14.61%

从上表中，我们可以发现：低年级学生在低层次人数中比重较大，而高年级学生在高层次人数中比重较大。对表中呈现的结果进行归因分析得出以下结论：

1.策略的选择与年龄阶段特点有关。

（1）二年级学生理解呈现4个数据的信息有一定难度，近一半学生无从下手。能解决问题的，也仅仅是从单一量的比较入手，如蜂蜜和蜂蜜比、水和水比。

（2）三、四年级的学生解题策略相对丰富些，能基于蜂蜜和水之间的关系来进行比较，包括整数倍的关系、分数的关系等，更多呈现的是复合量的比较。

（3）五、六年级的学生更多的是能进行任意量的比较，基于运算的意义，通过数据的运算解决问题，呈现一般函数关系。

2.策略的选择与已有的知识基础有关。

所学的知识与这一阶段采用的策略是相匹配的。

（1）低年级学生学习了100以内数的认识，采用的策略更多的是数的大小比较，因为这一阶段乘除法还没出现，学生对复合量还没接触，因此策略选择更多的是数的大小比较与加减计算。

（2）学生在三、四年级学习了分数、小数，也学习了“速度”“单价”这一类的复合量，因此会关注蜂蜜和水之间的关系，算法更多样、策略更多元：如蜂蜜的倍数关系、水的倍数关系、蜂蜜与水之间倍数关系比较等，其中蜂蜜与蜂蜜的倍数、水和水的倍数的比较，依然是单一量的比较。

（3）学生在五、六年级进一步学习了分数的意义，尤其到了六年级学习了比的相关知识，整合、推理的能力更强。

四、得到的结论与教学启示

前测是为了更好地进行教学，对不同年级的学生做这样的测试调查，我们可以得出怎样的结论？又能为教学提供怎样的启示呢？

1.在正式学习“比例”前，学生对这一内容有一定的生活经验，能借助已有的“分数”“比”以及除法的相关知识解决类似简单的“比例”问题。

2.受已有知识经验的影响，在问题解决策略方面，三到五年级学生的策略更丰富些，而六年级学生解决问题更规范、目标更明确。

3.学生比例推理发展的一般路径：三年级以上的儿童会从单维、定性的比较逐渐进入多维、定量的比较，从单结构的数的比差关系走向多结构的函数关系的比较。

通过这样的小调查，我们了解了学生的知识起点与学情，为在不同年级设计比例的系列教学提供了依据与思路，正如郜舒竹教授所说：不能仅把比例看作是一个知识点，它更是一种思维，是一种关联的思维。如何培养学生的这种关联思维，需要循着比例发展的一般路径有序推进。