让学生多角度亲近统计量——“平均数”教学设计

黄 建

（浙江省杭州市胜利实验学校 310000）

【教学内容】

浙教版五年级上册第三单元“平均数”。

【教学目标】

1.经历数据统计和分析过程，构建平均数的概念，感知平均数的统计意义，理解和掌握简单的求平均数的方法，感受平均数的实际需求。

2.在运用平均数的知识解释简单的生活现象过程中，培养初步的统计意识和数据分析能力。

3.了解平均数在现实生活中的应用，感知数学与生活的密切联系。

【教学过程】

一、平均数的引入

1.出示情境：亮亮很喜欢投篮，他想参加学校的投篮比赛。他回家好好练习了一下，一共投了5次（每次投10下），分别投进5，6，8，10，6个。

2.独立思考：亮亮在填报名表的时候遇到了麻烦。他到底要填几个呢？

3.全班交流。

（1）最大值。

师：他想了想，填了10。可是过了一会，又把它涂掉了。你能理解他的做法吗？他是怎么想的？

生：10个是他投得最多的个数。

生：这是他投得最多的一次！但不能保证每次都投得这么好！

师：这个成绩是他所有成绩中，投中个数最多的。他怕下次投不到这么多。

（2）最小值。

师：他又填了5，没过多久又把它涂掉了。如果是你，你会涂掉吗？为什么他把这个5涂掉了？

生：这么差的成绩我肯定划掉！

生：你看，5是最少的，他还能投到10个呢！

师：5个是投中最少的个数，5能代表他的水平吗？

（3）总体水平。

师：5不合适，10也不合适，那你觉得填几比较合适？

生：我填的是6，因为出现次数最多。（板书：次数最多）

生：我们觉得填7，7更能代表他的水平。

生：7不是最好的，也不是最差的。不多不少。刚刚好！我觉得应该填表示亮亮通常情况下的投篮个数。

生：是的！7能表示亮亮投篮的一般水平。

生：不可以填，它没有出现过。

生：可以填！虽然这次没有出现，但是不代表以后不出现。

师：看来7这个数虽然没出现，如果一直投下去很有可能投到7。7是怎么来的？

生：我觉得可以算出来。我是这样算的：（5+6+8+10+6）÷5=7（个）。

生：其实就是总个数除以次数就能算出平均数。

二、数形结合——理解平均数的含义

师：现在黄老师把他投篮的情况这样表示出来（图略），你能看明白吗？你能把代表他水平的7找到吗？

生：你看！把这两个球移到这里，把这个球移到这里，把两个球移到这里，这样每次都是7个。

生：其实还可以这样移，我把这个最多的移到最少的这里，之后又把多的3个移到少的这里。这样，每次也都是7个。

师：7就是这些数的平均数，大家理解平均数的含义了吗？

师：这种方法叫作“移多补少”法。

（设计意图：从学生熟悉的投篮比赛导入，引出“哪个成绩能够代表亮亮的总体水平”，考查学生处理数据的能力。在比较了最大值与最小值后，学生提出了众数、平均数，接着学生讨论了代表其水平的7的合理性。在这个过程中，学生一步步聚焦数据本身，慢慢地感知平均数的意义。而对于7是如何得来的这个问题，学生又从计算、移多补少两个方面进行了思考。）

三、感知平均数的虚拟性

1.数据变化——区分具体量和统计量。

已知所有数images/BZ_34_1297_1432_1576_1631.png已知中间数images/BZ_34_1600_1423_1916_1639.png已知平均数images/BZ_34_1954_1361_2162_1701.png

师：这是谢同学4月份第一周的引体向上成绩，第二周他的成绩是这样的。这周他的平均成绩是多少？你是怎么想的？

生：把多的补给少的就可以了，所以还是5。

生：我觉得很有可能是3，4，5，6，7，所以平均数还是5。

师：原来可以根据数的特征进行估计。这里有两个5，这两个5表示的意思一样吗？

生：不一样。第一个5表示谢同学第3次引体向上的个数，第二个5表示他5次平均的个数。这个5是算出来的。

生：是的！后面这个5是根据（3+4+5+6+7）÷5算出来的。

师：看来第一个5是具体的个数，第二个5是通过计算统计出来的量。

2.数据对比——感知具体量与统计量的关系。

师：你看！这两组数不一样，为什么它们的平均成绩都是5个呢？

生：因为它们的总个数是一样的，次数也一样。

生：是啊！都是5次，总数都是25个，所以平均成绩是不变的。

师：总数不变、次数不变，所以整体水平没有发生变化。

3.逆向思维——根据统计量找具体量。

师：第三周他的平均成绩是6个！你觉得这5次的成绩分别是几个？跟你的同桌交流一下。怎么来判断它们的结果是否正确？

生：可能是6，6，6，6，6，也可能是4，5，6，7，8。

生：其实只要这五个数的和是30就可以了。

生：平均数是6，一共做了5次，因此和是30就可以了。

师：平均成绩是6个，这里明明没有哪一次是6个啊？

生：这个6是计算出来的。

生：是啊！而且它可能出现，也可能不出现。

师：看来！平均数是统计出来的。平均数可能出现在这组数中，也可能不出现。

（设计意图：平均数是一个“虚拟值”，学生如何感受呢？教师在数据大小、数据呈现方式上进行变化。在数据的大小上：学生感知当总量和次数都保持不变时，平均数也不变。在数据的呈现方式上：第二周的成绩只给中间的具体量与图形，猜测其平均数，第三周的成绩根据平均数猜测具体量，引导学生理解平均数是统计得到的，代表一组数的整体水平，它可能出现在这组数中，也可能不出现。）

四、数据变化中理解平均数的敏感性

1.预测变化。

师：现在我们再来看跳绳。这个小组又加入了一名新成员，欢迎吗？

生：得看他的成绩。

生：是的！如果很差，我们才不欢迎他呢。

生：如果他的成绩是170个以上，就能拉高整个组的平均成绩，我们就欢迎他。

2.平均数受极值的影响较大。

师：（出示成绩）现在呢？你有什么话想对他说？

生：你的成绩太低了。

生：你的成绩把整组的平均成绩都拉低了。

生：是啊！你的成绩太差了，影响了这个组的平均成绩。

师：黄同学跳了2个，你觉得平均成绩会发生什么变化？想象一下。经过黄同学的不断努力，最终他跳了250下，现在还能想象平均数是多少吗？

生：我发现黄同学成绩低，这组的平均成绩就低；他跳绳个数增加了，这组的平均成绩就变高了。

3.平均数受每个数的影响。

师：只有黄同学的成绩对这六个人的平均成绩有影响吗？

生：那不是的！

生：其实每一个同学的成绩对平均数都有影响。

生：是啊！你看（120+120+130+120+110+12）÷6=102（个），每个成绩发生变化对平均成绩都有影响。

师：原来每个数的变化都会影响平均数。只不过极端数据对平均数的影响更大。有时候为了公平起见，我们会去掉一个最高分和一个最低分，再来计算它的平均成绩。你们觉得这样处理有什么好处？

生：平均数受每个数的影响，很大或者很小的数对平均数影响很大。

生：更能代表他的真实水平。

师：你对平均数有什么新的认识？

（设计意图：平均数是一个“敏感”的统计量。它的敏感性体现在它受每个数的影响，极值对它的影响很大，这样的体会在本环节中层层展开，在未知第六个数据前先讨论，如果新增一个同学你们是否欢迎。这种讨论具有数学味，当他的成绩很低或很高时，学生的情绪也随之发生变化，情绪的变化来源于他对平均数“敏感”的体验。）

五、平均数的应用

1.出示题目。

2.小组交流：选择你最感兴趣的一题，独立完成。

3.全班讨论。

师：对于第一题，黄老师收到了两种解法。你们同意谁，理由是什么？

生：计算平均每个班级捐书多少本，因此要除以班级数。所以第一种解法对。

师：原来反映的是两个班级的整体水平，除以2。

师：对于第二题，有些同学是这样想的，还有同学是这样想的，你能读懂吗？

4.信息提取与简单推断。

师：这里有一则招聘广告，你获得了哪些信息？有什么想法？

生：110万元是比较多的。可能是骗人的。

生：说明这个公司整体的水平是比较高的，只不过有些人的年薪比110万元低，有些人的年薪比110万元高。

生：从月薪中我发现，工资比较多的占了一半多。说明有一部分人的工资是很高的，拉高了整个公司的平均年薪。还有少部分人的年薪是很低的。

师：如果黄叔叔想去他们公司，你推荐吗？

生：我推荐啊！平均工资这么高，去了一定年薪很高。

生：我觉得要看黄叔叔的水平，如果水平比较高可以去，这样他的工资也很高。

生：是的！万一他去是属于4500～6000元的月工资，不是所有人工资都这么高的。

师：遇到类似的情况我们要学会理性地分析数据。

（设计意图：本环节强调学生的应用意识。一方面，学生利用平均数的知识解决问题，选择求平均数的合适方法；另一方面，学生从生活情境中提取数学信息，并且进行简单的推断。）