导数极值点偏移的相关问题分析

张德勇

【摘 要】随着年级的递增，学生所接受到知识的难度也在逐渐增长。在以往的数学教学中，函数的讲解仅仅围绕着未知数的个数以及相关图形走向去开展。但是函数的难度不仅限于此，随着导数的引入，函数的内容和角度逐渐的丰满起来。不过，根据笔者多年的教学经验，导数的一些基础概念还是比较简单的，唯一会出现问题的地方在极值的求取这方

面[1]。随着导数学习的不断深入，极值的求取不仅仅只是简单的数字替换和图形结合的问题，还会进一步拓展难度，增加极值的偏移问题。有难度就一定有问题的出现，根据历年的教学情况来看，学生对于极值的偏移往往会抓不住重点，总结不出完善的解决方法，所以本文详细分析导数极值偏移的相关问题。

【关键词】极值点偏移;概念;分类;处理

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0101-02

在历年的考试中，导数的偏移问题往往会作为压轴问题出现。因此，在日常的数学讲授过程，导数极值点偏移问题的讲解往往会占用大量的时间。究其原因在于学生对于导数极值点偏移的概念不熟、没有完整的分类以及没有完善的解题步骤。所以接下来，本文从这三个方面去进一步讲解相关的知识。

1   极值点偏移的概念

对于极值点的偏移的讲解，一定要从极值的概念说起。在函数不断推广的过程中，会逐渐的把公式和图形结合起来，而相对应的在函数图形凸起的部位会出现极值。其书上的大致定义为：函数f（x）在x0附近的所有点都有f（x）

上面讲解了一下极值的概念，那么什么叫做极值的偏移呢？在数学上通俗的讲，函数f（x）的顶点就是极值点，假如f（x）=c的两个函数的根的中点是x₁+x₂/2，刚好等于极值点，也就是说极值点恰好处于函数两根的中间位置，就说极值点没有偏移。反之，如果极值点在两个根的中点的旁边就说，极值点有偏移。在右边称为右偏移，在左边称为左偏移。

2   极值点偏移的分类

对于不同的标准有不同的分类形式。以上的讲解中，就有一种分类形式，即按照偏移来分类，分为左偏和右偏。不过，该种分类形式过于简单，对于极值点偏移的解决没有什么实际的效用，往往只能作为偏移概念讲解给学生，对于实际问题并没有深度的帮助。

那么根据极值偏移的处理方法来分，大概会分为两种，其一为纯偏移类型，其二为非纯偏移类型。在以往的教学中，非纯偏移的类型出现得比较少，在一定程度上教师会着重的关注纯偏移类型的极值点问题。举例来说，在已知函数f（x）=xe-x这个函数大题中，最后一步往往会出现证明题即：若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），试着证明x1+x2>2。这种问题基本上就是比较明显的纯偏移问题，在解决思路上也比非纯偏移问题要容易的多。

总结来说在极值点偏移的分类问题上，一定要结合实际问题进行相关的分类讲解。假如教师需要进一步讲解极值点偏移的概念，那么应适当的应用左右偏移类型去拓展;换一个角度讲，假如教师需要讲解习题，那么还应该积极的去拓展纯偏移和非纯偏移类型的极值点偏移问题。只有结合实际情况去拓展相关的偏移类型，才能帮助学生解决相关的疑问，提高解决该类问题的能力。

3   解决极值点偏移问题的步骤

一般极值点的偏移问题基本上都会集中在纯偏移类型上，那么在相对而言，纯极值点偏移类型也会进一步成为教师讲解的重点对象。近些年随着教育要求的不断提升，数学习题的难度也在不断提高，以往对于偏移问题仅仅只做七八分的重点要求，现在需要进一步加深关注度，提升学生解决能力。

一般来说，纯极值点偏移类型的问题大概需要五个解决步骤。首先，应该根据实际的问题进一步构造一元差函数即F（x）=f（x）-f（2x0-x）或者是进一步构造F（x）=f（x0+x）-f（x0-x），促使偏移极值点在变化后的函数上能够处于中间位置，便于实施下一步的开展[2]。紧接来说，应该对差函数进行相关的求导，在此基础上判断出导数的单调性，进而解决相关实际问题。然后要结合f（0）=0这个通俗的公式，进一步求出相關的未知数，并判断出函数的符号，从而确定f（x0+x）与f（x0-x）的大小关系，为下一步做准备。然后进一步根据所得到的大小关系，仔细的分析f（x1）=f（x2）和f（2x0-x）之间的数量关系。最后，应该结合f（x）的单调性去判断x1和2x0-x2是否为不等关系，假如是的话，就可以得到（x1+x2）/2与x0之间的关系。

总体来说，在纯极值点偏移的实际问题中，学生要结合实际的数字和图形去进一步观察。以上的五个步骤不一定都能用的上，应该根据题型的不同去应用不同的步骤，力求解决极值点偏移问题。

在函数的学习过程中，随着年级的不断增加，其难度也在增加。尤其是导数和极值偏移问题结合在一起的时候，函数的解决方法就会呈现多样性，不同的实际问题下所应用的解决步骤是不同。以上的阐述中，讲解了五个基本解决步骤，不过学生在应用的时候应该酌情的去分析题目类型，做适当的增加，保证题目的准确性，在不断熟练的过程中，提高解决该类问题的能力。

【参考文献】

[1]邢有宝.极值点偏移问题的处理策略[J].中学数学教学参考（上旬），2014（7）.

[2]王晓.对极值点偏移问题的再探究[J].中学数学教学参考（上旬），2014（12）.

Analysis of the Relevant Problems of Derivative Extremum Shift

Deyong Zhang

（Sixian No. 1 Middle School， Suzhou， Anhui ， 234300）

Abstract：The more grades increase， the more difficulty  students learn knowledge. In the past mathematics teaching， the explanation of function only revolves around the number of unknowns and the trend of related graphics. But the difficulty of function is not limited to this. With the introduction of the derivative， the content and angle of function become more and more abundant. However， the author thinks that some basic concepts of derivatives are relatively simple， and the only problem is in the calculation of extremum from the many years teaching experience [1]. With the learning of the derivatives， the extremum calculation is not only a simple problem of figuresubstitution and graphics combination， but also increasing the shifting problem of the extremum deviation. Difficulties are bound to be problems. According to the teaching situation over the years， students often fail to grasp the focus of extremum deviation， and can not summarize perfect solutions. Therefore， this paper makes a detailed analysis of the relevant problems of the derivativeextremum shift.

Key words：derivative extremum shift; concept; classification; solving