光滑圆柱与粗糙板的弹塑性接触的有限元分析

高飞翔

(福州大学 机械工程及自动化学院，福州 350116)

0 引言

滚动轴承由于表面存在微凸体以及润滑状况不佳，而处于边界润滑，滚子与滚道的一部分区域可能发生直接接触，导致局部的接触应力很大，可能造成塑性变形或者损伤。彭朝林等[1]在采用脂润滑的滚动轴承失效分析中发现滚道表面磨损、剥落和塑性变形失效形式占比超过80%。张永振等[2]在滚动轴承失效分析中发现摩擦条件和润滑状态与密封技术是主要的影响因素。因此探究无润滑状况下粗糙表面的接触有实际意义。

在接触过程中，物体可能发生弹性变形、弹塑性变形和完全塑性变形中的一种或几种[3-5]。Hertz[6-7]基于接触物体的表面至少是二阶连续、非共形的小变形的无表面摩擦接触的假设，分析接触的应力和变形，在[8]中提到Hertz接触常见的例子是刚性球和弹性光滑表面的接触。1966年,Greenwood和Williamson[9]提出了分析光滑表面和粗糙表面的弹性和弹塑性接触的统计模型，探究了载荷与接触面积、真实平均接触压力的关系，并提出用塑性指数作为接触的物体发生塑性变形程度的判断方法，但其假设微凸体顶端半径均相等过于理想。Chang W R等[10]基于双粗糙面可以简化为单粗糙面和光滑刚性平面的接触,第一次提出弹塑性变形接触的CEB模型，在塑性变形期间基于微凸体的体积守恒计算。对于粗糙面间的接触，可以简化为等效的弹塑性粗糙面和刚性表面接触[10-16],文献[15-16]研究弹塑性的滚动体与刚性光滑表面的接触，文献[17-19]研究双粗糙面的弹塑性接触。对粗糙面间的弹塑性接触，简化为弹塑性的粗糙面与弹塑性的光滑表面的接触，虽和通常做法有偏差，但简化了模型，亦不作为等效粗糙面的探究，对于探究的问题只是定性研究，这种简化有一定意义。大多数文献探究了载荷和接触面积的关系，但很少探究滚动体在粗糙面接触过程中是否存在接触不均的现象。

文献[5,14,20]建立了二维的弹塑性接触模型。本文基于修正的两变量的分形函数建立三维弹塑性接触有限元模型，考虑微凸体相互作用，探究算术平均高度对接触过程中的产生的最大Mises应力及接触面积的影响。

1 建立弹塑性接触的有限元模型

1.1 建立三维分形表面

机加工表面具有分形特征[6,21]。修正的两变量三维W-M分形函数的表达式[22]如下：

(1)

(2)

其中，C是尺度系数，L是模拟表面的尺寸大小；G是高度比例系数；D是分形维数(2

本文中分形维数D=2.4，获得表面的算术平均高度Sa分别是0.445μm、2.6088μm、4.3476μm、5.55696μm的点坐标。把所有的z坐标除以1000，使得它从μm转化为mm，并把数据导出到文件中，在Pro/e wildfire 5.0生成粗糙表面，生成实体并装配，最后导入到ABAQUS软件中进行建模。

1.2 建立接触的有限元模型

假设：材料各向同性；圆柱都是光滑的；接触是无摩擦的；粗糙板上只有接触表面是粗糙的。

为了节省计算资源，以及在宽度方向有更多采样点，圆柱体直径2mm,宽0.4mm,板的尺寸为1.16mm×0.5mm×0.4mm。圆柱和粗糙板的材料都是GCr15,文献[23] 中材料的应力和应变分别是工程应力和工程应变，需要转化成真实应力与真实应变[24-25], 材料数据见表1。采用接触对，参与接触的两表面单元数量差距悬殊，为确保数值准确性，接触中采用惩罚接触算法。约束下方的板状物体，在初始条件及之后使其不能移动和转动，而对于上方的圆柱体，约束5个自由度，不对施加力的方向施加位移约束，使圆柱体在力的作用下与粗糙面接触，如图1a所示。

考虑到在力的作用下探究应力场的分布，本文采用施加恒力载荷。在圆柱两底面的一部分圆形区域使用了分布耦合约束，它的参考点在圆柱几何中心，并施加名义接触面的法向力。至于网格划分，圆柱体分成三块，接触区域的种子大小为0.01，圆柱厚度方向边种子大小为0.01，单元总数量约295512；板的接触区域尺寸大小为0.01,约53280个单元。单元采用线性缩减积分六面体单元C3D8R，并在接触区域采用精细的网格，模型网格如图1b所示。经过验证，接触区域的单元尺寸0.01可以满足计算要求，误差在10%以内。

表1 GCr15的材料参数

(a) 边界条件 (b) 网格划分 图1 模型的边界条件和网格划分

1.3 弹性极限

由于微凸体的存在，表面并不光滑，接触只发生在部分凸峰区域，由此产生的应力分布和应力大小千差万别。由于接触区域面积小并且受力不均，可能很小的载荷就导致了Mises应力超过屈服强度使得材料发生了塑性流动。由于接触的存在和材料的非线性，使得接触力学的数值计算很复杂，甚至是没法得到解析解[7]。数值方法为解决这类问题开辟了一条新道路。有限元方法具有求解精度高，能较好解决非线性问题并获取满意的数值解。根据塑性变形应用Tresca准则和 Mises准则的对比实验[26]，使用Mises准则更接近实际结果。von-Mises准则公式[6]如下：

(3)

其中，σ1 、σ2和σ3是主应力，k是纯剪切的屈服应力，Y是简单拉伸(或压缩)的屈服应力。

2 结果分析与讨论

2.1 不同粗糙度的板与光滑圆柱的接触

基于三维分形函数生成粗糙表面的板，与光滑的圆柱组成一个单粗糙面接触模型,并与光滑表面间接触模型相对比。对圆柱施加恒定的接触表面名义上的法向载荷3N，在每个模型中都赋予了材料的弹塑性力学性能。在光滑接触模型中，光滑圆柱与光滑板的接触均是发生弹性变形，由于Mises应力远低于屈服强度，材料的塑性参数并未使用。然而单粗糙面接触模型，由于表面凹凸不平，初始接触面积比较小，在载荷的作用下，初始接触区域的Mises应力不断增大，如果接触过程中最大Mises应力超过了屈服应力，材料会发生塑性流动，因而接触面积还会增大。变形增大，增加接触面积，直到光滑圆柱与粗糙板的接触系统达到平衡。由于微凸体的存在，在圆柱宽度(高度)方向上仍存在着局部区域不参与承载。单粗糙面接触模型中光滑圆柱的Mises应力均已超过了屈服强度，甚至达到了最大屈服强度。从图2和图3中可知，对圆柱施加3N的力，光滑圆柱与光滑板均发生弹性变形；在相同载荷下，与粗糙表面相接触的光滑圆柱都发生了塑性变形，除了算术平均高度Sa为0.445μm的粗糙板未发生塑性变形外，其它粗糙板都发生了塑性变形；随着算术平均高度的增加，光滑圆柱的最大Mises的最大应力大致呈现出先增加后稳定的趋势，粗糙板的最大Mises应力也呈现出先增加后稳定的趋势，接触面积呈现出先增加再减小又增加的不稳定变化规律。对比表面算术平均高度Sa分别是0和0.445μm的两接触模型，粗糙接触模型的接触面积大于光滑接触模型的接触面积，但粗糙模型中两接触物体的最大Mises应力却更大，只有粗糙面接触模型中的光滑圆柱发生了塑性变形，可知接触面积不是主因，而是因为微凸体的存在造成表面凹凸不平导致接触不均，接触面积虽然增加，但是接触不均造成局部的最大Mises应力很大。在表面算术平均高度Sa分别是 2.6088μm与4.3476μm的两接触模型对比中，可知后者的接触面积虽然增加了，但后者中粗糙板的最大Mises应力略有增加，因此后者接触模型存在局部接触不均。对比表面Sa为2.6088μm与Sa为5.55696μm两接触模型的接触面积，后者的接触面积接近于前者接触面积的两倍，但是两模型的圆柱和粗糙板的最大Mises应力很接近，因此后者在局部也存在着接触不均。随着表面算术平均高度的增加，表面凹凸不平的趋势增加，接触的两物体发生接触不均的机率也在增加。

图2 最大Mises应力与算术平均高度Sa的变化关系曲线

图3 接触面积与算术平均高度Sa的变化关系曲线

2.2 光滑圆柱在算术平均高度Sa 为2.6088μm的粗糙面上不同位置的弹塑性接触

为进一步探究，在表面算术平均高度Sa为2.6088μm的接触模型中发现了类似的现象。对粗糙板重新划分网格，接触表面上的网格大小都是0.01,并且数据都是重新计算的，如图4所示。

图4 光滑圆柱与表面Sa为2.6088的粗糙板的接触模型

位置光滑圆柱最大Mises应力(MPa)粗糙板最大Mises应力(MPa)接触面积(mm2)原位置187816940.0151665左移0.2187815040.0261248右移0.1187815110.0266217

在表2中，随着接触面积增大，最大Mises应力呈现减小的趋势，但接触面积增加到1.755倍，而最大Mises应力减少到原来的89.2%；在接触面积相近的情况下，两模型中相对应的接触物体的Mises应力都非常接近；在接触面积最大和第二大的模型中，粗糙板与光滑圆柱之间的接触存在接触不均。由于微凸体的存在，表面凹凸不平，圆柱与曲面在有一定曲率的凹处相接触，刚接触时由于接触面积小，应力增大；当应力超过了弹性极限后，使得材料向周围发生塑性流动，由于曲率中心在接触面的同一侧，发生塑性变形的材料可能与圆柱接触，这既能使部分边缘的接触区域参与承载，也能增加接触面积，但接触应力不大，承载偏小，因而在接触的核心区域应力仍然很大。因此，微凸体的存在、弧形曲面以及材料的塑性变形使得接触更加不均。

3 结论

(1)施加相同的小载荷，光滑圆柱和光滑板的接触发生弹性变形，但光滑圆柱与粗糙板的接触中，光滑圆柱都发生了塑性变形，多数粗糙板也发生了塑性变形。

(2)随着表面算术平均高度的增加，光滑圆柱和粗糙板的最大Mises应力呈现出先增加后稳定的趋势，接触面积有不稳定的变化，接触不均的机率增加。

(3)在光滑圆柱与表面Sa为2.6088μm的粗糙板的接触模型中，改变接触位置，发现接触不均。微凸体的存在、弧形曲面的接触以及材料的弹塑性变形，可能发生接触不均。