境趣相生 融情育智 营造鲜活的数学课堂

汲淼

教学内容：人教版小学数学四年级上册“莫比乌斯带”。

教学目标：

1.在梳理直线、平面关系的基础上，初步感知双侧曲面和单侧曲面的特点，感受单侧曲面的神奇。

2.在动手操作中培养学生的空间观念，在猜测验证中激发学生的创新思维。

3.在有效的数学学习和实践操作中感受数学学科本身的魅力价值。

教具准备：多媒体课件、剪刀等。

学具准备：长方形纸条三根，剪刀、双面胶、彩笔。

教学流程：

一、生活情境导入

师：孩子们，哈尔滨最有特色的季节是——（冬天。）这个季节里最有特色的运动就是滑雪了。滑雪不仅能让人感受到冰雪世界里运动的乐趣，雪痕还能给人们带来无限的遐想……看，这就是一片刚刚滑过的雪面，说说你都发现了些什么。（有好多线。有直直的线。有的线是弯弯曲曲的……）

师：看来我们生活中到处都有各种各样的线，今天老师就和同学们一起走进线与面的世界。（板书：线与面。）

二、验证平行

师：谁说说“两条直线在同一平面内有哪些位置关系”？（平行和相交。）谁来说说平行线的概念是什么？（巩固平行。）老师注意到了，他特意强调了在同一平面内。（板书：平面。）看来同一平面这个特定的范围对于平行线非常重要。看看手中长方形纸条上的两条直线，想一想有什么好方法来验证它们是否平行。

学生汇报：

1.用直尺和三角板，利用平移的方法来验证平行。

2.通过测量两条直线之间的距离，发现它们不相等，从而判定这两条直线不平行。

师：看来他手中长方形纸条上的两条直线不平行，那它们一定会（相交。）可是你们看见它们相交了吗？（延长后就会相交。）看来延长是验证这两条直线是否平行的好方法，可是延长的结果只能靠我们的想象而不能真实地看到，能不能只用手中的长方形纸条，而不借助其他工具来验证这两条直线是否平行呢？想一想，动手试一试……

学生汇报：

1.用折纸的方法看两条直线是否重合。重合就平行。

2.借助灯光看对折后的两条线是否重合。

3.把手中的纸条卷起来，先让一条线首尾相连，看另一条线，如果也首尾相连就是平行。

三、认识曲面

1.认识双侧曲面。

师：看来平面上的两条直线的位置关系，我们也可以把它卷起来，做成一个曲面来帮我们验证。（板书：曲面。）来让我们把这个纸环粘起来，在粘的时候要注意：内对外，外对内。边粘边想一想手中的纸环有几个面、几条边，并说说你是怎么发现的。

（学生动手实践。）

汇报：

（1）我是看出来的，发现它有两个面，一个面是红色的，一个面是白色的。（看）

（2）我是摸出来的，发现它有两个面、两条边。里面一个，外面一个。边也是两条。（摸）

（3）我发现刚才的两条线现在在纸环的外面，里面看不见。所以有两个独立的面。（画）

师：我们把有两个面、两条边的曲面称作：双侧曲面。（板书。）想一想生活中，你在哪些地方见过这样的双侧曲面？（双面胶、手表……）

师：就像双面胶里面有一个面，外面有一个面，它们相互不连接，独立存在。其实自然界也有一些动物是不能生活在一起的，就像丛林之王的狮子和山林之王的老虎，就不能生活在一起。如果它們在一起一定会有一场惨烈的斗争！可是我们的驯兽师们就巧妙地借助双侧曲面让它们同时出现在我们的面前，我们去看一看……（视频：马戏团演出。）

2.认识单侧曲面。

师：让我们把手中的双侧曲面先放下，再拿起一张长方形的纸条，这次我们首尾相连的时候保持一端不动，另一端旋转180度，把纸条原来的内对内相连或外对外相连，就得到了一个新的纸环。你也做一做，看看新得到的纸环还只两个面、两条边吗？

（学生动手实践。）

汇报：

（1）我动手摸发现这个纸环只有一个面。（我们一起摸一摸。）

（2）我从一点看，发现一圈后又回到了这一点，说明只有一个面。

（3）我用画线的方法，发现有一条边。（指导同桌合作，一起来画一画，再请两名学生到前面来在大学具上画一画。）

师：为什么同样是首尾相连，新得到的纸环只有一个面、一条边呢？小组同学研究一下。

汇报：

（1）我发现一旋转里面的面和外面的面就连起来了，所以只有一个面。

（2）我发现上面的边转到下面和下面的边来连起来了，下边的边转到上边和上边的边也连起来了，所以只有一条边。

师：让我们给这个只有一个面、一条边的纸环起个名字吧。（单侧曲面。）你们的想法和数学家一样，你知道吗？这个单侧曲面里还藏着一个数学故事呢。（出示：很久以前有人曾提出，用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果纸条的首尾相粘，做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈呢？ 对于这样一个看似简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。1858年，德国数学家莫比乌斯走在一片玉米地里。微风吹过，玉米叶子随风卷曲，他顺手一捏就发现了单侧曲面，从此这个单侧的曲面就以莫比乌斯的名字命名，称它为莫比乌斯带，也有人称为怪圈。）你想知道这个圈怪在哪里吗？

师：试想一下，我们用剪刀在不破坏边的情况下沿线剪，会得到什么结果呢？（两个翻开的圈、两个连起来的圈、断开了……）

交流剪的方法：我们这样剪可以吗？（剪刀竖直：不行破坏边了。）那怎样剪？（先把纸对折剪一小口，再把剪刀放进去剪。）

师：我们开始吧，剪的时候要注意安全。

学生操作，汇报结果：有的是一个大环。有的是两个套在一起的环。

师：为什么不一样呢？看看你们所用的材料，再交流一下剪法，看看哪不一样。

生：我发现我的纸条上的线在中间，所以得到的是一个大环，他的线在边上，剪出来就是两个环。

生：我发现线的位置不一样，剪出的结果也不一样。

师：这真是一个神奇的面、一条神奇的线。（补充课题：神奇的。）你想不想得到同桌剪出的纸环？（想。）怎么办？（交换纸条，再剪。）

师：把我们剪出的结果举起来，让大家看看！孩子们，如果这样继续剪下去，我们还会有更多的发现。

三、实践应用

师：莫比乌斯带可不仅仅是好玩，在我们的生活中还有着广泛的应用呢。（介绍：克莱因瓶、三叶纽结，感受过山车。）

讨论：1.单侧曲面的录音带。2.跑步机可不可以用单侧曲面来做。

师：其实生活中有很多时候只要细心观察就会引发思考，从而有所发现。像莫比乌斯就因为看见卷曲的玉米叶子，从而发现了单侧曲面。让我们从今天开始，也留心观察生活，也许有一天你也会有新发现……

（本课在中国教育科学研究院组织的全国第十七届小学数学优质课观摩评议会上荣获一等奖。）

反思：

最初选定这节课是因为我被莫比乌斯带的神奇所吸引，于是便想能不能带着我的学生也一同领略它的神奇。但怎样才能让莫比乌斯带的“神奇”在课堂上展现得淋漓尽致，我陷入了迷茫……

把想法告诉了我的伙伴们，数学团队的教师便坐在一起，研讨就这样开始了……一次次的研磨，一次次的模拟，每一个细节大家都深思熟虑很久很久。有时为了一个环节的设计大家争得面红耳赤，为了一个方法的选定大家又各自选择学生的视角一次又一次的尝试。从教材与学生、教者与学生、数学与学生、生活与学生……多个层面、多个角度来解析。还记得多少次失败后，大家静静地坐在一起，回想着研讨的一个又一个细节寻求着解决的方法。还记得多少次校园中相遇，大家都会欣喜地交换着刚刚产生的新点子、新思路。为了更好地体现神奇，我们想把引导学生动手剪作为平臺，从而发现线在面的位置不同，剪出的结果就会不同。

神奇的感觉好像有了，但总觉得还缺少些什么。是什么呢？一个又一个困惑让研磨又陷入了困境。翻阅相关的材料，查找各种信息，一串文字突然闪现出来：数学就是为学生思维的可持续发展奠基。对呀，这么神奇的带子是怎样产生的呢？为什么会产生呢？学生一定很想知道。应该把这段数学史像故事一样讲给学生听，就是生活中的这样一个细小的现象——玉米叶子的卷曲，就给人们的生活带来了那么多的方便与快捷。其实生活中许许多多的发明创造都源于生活中一个细微的现象，仔细的观察，大胆的尝试。这才是应该教给学生的。这才能更好地扩展学生的思维，让他们发现原来学习这么有价值、有意义，原来生活与学习真的息息相关，原来每一个人都可以成为发明家，只要他关注生活，大胆联想，小心求证。

在教学设计中，我力求从情境出发，关注学生现有的生活经验。教学过程中我力求从学生的兴趣出发，关注学生的参与状态。教学过程中我力求从学生思维出发，关注学生思维的多样性体现创新。（多种方法验证、应用解释不同。）

作为执教者，我努力将教师团队思维碰撞的结晶展现出来。其中，也有一些瑕疵。比如：学生通过动手实践验证得到的结果，在莫比乌斯带的二分之一处剪一圈得到的是一个大圈，在三分之一处得到的是一个大圈套着一个小圈。此时，我收尾过于匆忙了，完全可以在学生兴趣最浓时及时追问：“我们得到的这个大圈是不是一个新的莫比乌斯带呢？”用本节课新学到的知识进行验证，不仅仅是一道最好的课堂练习，更有助于培养学生科学严谨的学习态度。