“九宫图”巧解PISA题

王睿洁

摘要：PISA是学生能力国际评价的简称。PISA测试义务阶段完成以后，学生在阅读、数学和学科方面便具备了应用知识、技能和解决问题的能力，为各国和地区政策分析和研究提供有价值的参考。PISA测试已得到世界大多数国家和地区的认可，加强对PISA试题的认识与研究，势在必行。本文从认识与研究PISA试题的必要性，PISA试题的一般解法，“九宫图”巧解PISA试题的经验总结等，做以下论述。

关键词：数学   PISA    九宫图

一、从认识与研究PISA试题的必要性

PISA是“国际学生评估项目”的简称，是国际经济合作与发展组织发起的学生能力国际比较研究，测评大约15岁的学生是否掌握了全面参与社会所需要的问题解决能力和终身学习能力，聚焦在阅读素养、数学素养和科学素养上。PISA自2000年首次开始评价，之后每3年进行一次，包含书面测试和问卷调查两种评测方法。其评价理念具有前瞻性，评价技术先进，评价过程严密，评价结果有效，得到了世界上越来越多的国家和地区的认同和参与，现已发展成为国际上最具影响力的学业评价。

数学素养测试是PISA的一个主要方面。数学是现代文化的重要组成部分，对人的可持续发展具有重要意义。在思考数学对个人的意义时，必须考虑到他们对数学知识掌握和理解的程度，以及他们激活数学能力以解决生活问题的可能程度。PISA对数学的这种看法与传统的学校中的数学有所不同，对学生的评价主要指向学生的学科素养，或者说是考查学生使用学科语言的能力。PISA主要向学生呈现发生在现实情境中的问题，其问题设计的方式就是要表明数学的各个方面对于解决问题都具有真实的效用。从PISA产生的背景、基本情况，及数学素养测试的框架可以看出，PISA具有先进的评价理念、科学的理论框架、灵活的题目设计、规范的操作程序、可比的评价结果。PISA数学素养测试及其结果，尤其是我国从2009年开始参与其中之后，对于教育相关领域具有重大的意义和价值。

PISA认为学生不仅需要知道如何去阅读或理解特定的数学公式或概念，而且还要知道如何利用这些知识和技能在未来面临的不同的生活实际中加以应用。因此，PISA试题突破以往考试模式，表现出新颖、灵活的特点，测试中往往把测试内容巧妙地融合到真实的问题情境中，从而在学生解决问题的过程中考查学生知识和技能的水平。

由于PISA测试的是在义务阶段完成后进行的，即考查初中毕业生的学业完成情况，就如我们的初中学业考试——中考，因此，浙江省宁波市于2009年便开始在中考试题中加入PISA试题。要想学生在阅读、数学和学科方面具备应用知识、技能和解决问题的能力;要想提高学生的数学素养;要想学生会利用阅读或理解特定的数学公式或概念等知识和技能在未来面临的不同的生活实际中加以应用，认识与研究PISA试题具有重要意义。

二、PISA试题的一般解法

为了使学生在阅读、数学和学科方面具备应用知识、技能和解决问题的能力，为了使学生会利用阅读或理解特定的数学公式或概念等知识和技能在未来面临的不同的生活实际中加以应用，为了使学生提高数学素养，PISA试题表现出新颖、灵活的特点。PISA试题一般情况下有两种解法：一、设元法;二、创新思维法。

例：（2016宁波中考）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形紙片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张正方形纸片的面积为，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（    ）

本题主要考查平行四边形的性质和整式的运算。

解法一：设元法。设等腰直角三角形的直角边长为、正方形的边长为，则根据直角三角形的面积公式，得，。根据正方形的面积公式，得。平行四边形的面积为，则本题正确答案为。

解法二：创新思维法。利用几何知识，通过观察发现平行四边形中心对称这一重要性质以及两平行线间三角形同底等高面积相等这一特点来解题。如图：

连接中间正方形对角线并延长，即可得，

所以，则本题正确答案为。

三、“九宫图”巧解PISA试题模型

“九宫图”起源于洛书，河图与洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，河图是伏羲时代，黄河里有龙马跃出，身上有图案，伏羲根据这个图案画出八卦，后称此图为河图;而洛书相传是大禹治水时代，洛水中浮出一只神龟，龟背上有星星点点组成的图案，大禹得到启发而治水成功，后称此图为洛书。后来为了直观，就把星星点点转化成了数字和九宫格的形式。而我发现对于PISA试题中的一类，我们可以借用“九宫图”来帮助我们解题。通过上面我们了解到，PISA试题一般情况下有两种解法，作为我们教师与学生，解PISA题的常规解法是我们必须要去探究并掌握的。

模型：

如图，当我们发现该PISA题是以九宫图为图形背景的时候，我们就可以利用该模型解题。

我们可以通过设元法，在图形中设这6个未知数，我们就可以将图形中的所有线段表示出来，那我们就可以求出图中所有矩形的周长以及面积，然后根据题目要求进行解题。

例、（2017宁波中考）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形.在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个在大矩形的面积，则n的最小值是（   ）

A.3            B.4             C.5              D.6

解题思路：按照九宫图模型，由于①和②是正方形，本题只需设这4个未知数即可。则，因为①和②是正方形，所以单独的或可以确定图形①和②的周长。

因此思路一：确定单独的，则将、看成一个整体，、、分别可以确定下图中2，4，9这3个矩形的周长;思路二：确定单独的，则将、看成一个整体，、、分别可以确定下图中3，5，7这3个矩形的周长，因此只需知道这3个小矩形的周长就能求出大矩形的面积，则本题正确答案为。

四、“九宫图”巧解PISA试题应用

应用一：如图所示，矩形ABCD被分割成五个矩形，且MH=PF，则下列等式中：

①②可以判断甲、乙两个矩形面积相等的是（）

A。①②都不可以       B。仅①可以

C。仅②可以           D。①②都可以

思路：该题虽然没有分为9个矩形，不是九宫图，但是我们通过辅助线，同样可以将图形转化为“九宫图”模型进行解题。

解：将该图形变为九宫图，如图所示，由于MH=PF，因此设这5个未知数。

则由①可得，，，

由②可得，，

而，，

则本题正确答案为。

应用二：如图，大长方形是由一张周长为正方形纸片①和四张周长为、、、长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长是定值，则下列各式中为定值的是（    ）

A.         B.        C.        D.

思路：该题虽然没有分为9个矩形，不是九宫图，但是我们通过辅助线，同样可以将图形转化为“九宫图”模型进行解题。

解：将该图形变为九宫图，如图所示，由于正方形纸片①，设这5个未知数。大长方形周长是定值可得是定值，而，，

，则本题正确答案为。

应用三：如图，一个大平行四边形被分割成5个小平行四边形，其中⑤为菱形，若知道其中两个小图形的周长，可以不通过度量就能知道大平行四边形周长，这两个图形可以是（    ）

A.①②        B.①③        C.②③        D.④⑤

思路：該题与前几题不一样，不是我们熟悉的矩形，但是我们通过辅助线，将这个图形就行转换，同样可以将图形理解为倾斜的“九宫图”模型进行解题。

解：将该图形变为九宫图，如图所示，由于⑤为菱形，设这5个未知数。则，，，，

，而，则已知①③可以求出大平行四边形周长，则本题正确答案为。

五、点滴感悟

随着PISA研究进入国内后，我们通过各种相关介绍了解到PISA数学素养的测试主要考查学生为了“适应未来社会而需具备的数学能力”。PISA试题所要测评的数学素养不仅包含对数学基本知识和技能等方面的理解，还包括在不同情境下正确、合理地使用数学的能力。本文旨在使学生能够理解并掌握PISA题的一般解法，尤其是能够发现并运用“九宫图”模型巧解PISA试题。

总之，为了减轻学生课业负担，提高了学习效率，找到通向解决学生学习问题的桥梁是我们作为一名教师的本职工作。要成为一个有激情、有真情、有才情的教师，就要成为一名学习型教师，不断学习，不断反思，不断总结;要成为一名研究型教师，研究教育，研究教学，研究学生，就要成为一名创新型教师，不断创新思想，创新理念，创新方法;要成为一名担当型教师，面对远离本真的教育现状，就要时刻提醒自己必须从学生的发展出发，不人云亦云，敢于挑战与突破现实，做一个有良心负责任的敢于担当的教师。对于PISA试题，我将会继续进行探索、研究、总结、反思。

参考文献：

[1]刘达，徐炜蓉，陈吉.基于PISA2012数学素养测评框架的试题设计一例[M].上海教育出版社，2014

[2]周鸿.初中毕业生数学学业水平考试命题初探——来自PISA测试的启示.

[3]黄华.从PISA数学素养测试对国内数学教学的启示，PISA数学素养测试与上海市初中毕业统一学业考试数学测试之比较[J].上海教育科研，2010

[4]高凤萍.PISA数学素养测试对中国基础数学教育的启示[M].数学教育学报，2015