立体几何中线段长度的最值问题（教学设计）

陶军

一、指导思想与理论依据

《2017年普通高中数学学科教学与评价指导意见》中对于课程的理念第三条指出，“把握数学本质，启发思考，改进教学”.启发思考是数学教学的基本特征之一，在数学教学中，恰当的启发思考是引导学生学习数学的一项基本要求”.

线段长度的最值问题是立体几何中的难点，且解决的方法灵活多样，因此在高三备考过程中，对于这类问题的教学，重视对学生进行启发思考就显得尤为重要.三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，运算求解能力是高中阶段数学的基本要求.线段长度的最值问题是实现这一要求的很好载体，其中代数法和几何法可以从不同的角度解决这类问题.代数法，即向量法侧重代数推理，其特点是要依赖向量关系，它的好处是好懂，不足是不好算，几何法侧重几何推理，其特点是依赖几何关系，它的优点是好算，不足是不好想.虽然二种解法都是解决几何问题的基本方法，但它们明显反映了不同人们对同一问题本质的不同认识，因此在课堂上，教师能否引导学生恰当的思考，启发引导学生认识问题的本质就成为教学的一大重点问题.

二、教学内容

高三第一轮复习立体几何中的综合问题.

三、學生情况

高三理科生，成绩较好.已经复习过用几何法、向量法求解简单的空间问题，

会求直线的方向向量、平面的法向量，知道向量法求解空间角的公式，能够进行向量的运算.

四、教学方式

启发引导 讲练结合.

五、教学目标

1.知识目标：通过对例题的研究，使学生理解和掌握如何用代数或几何方法解决线段长度的最值问题；

2.能力目标：通过本课的学习，提高学生用不同方法求线段长度最值的能力，包括解题思路、计算、书写规范等；

3.情感、态度、价值观目标：通过本课的学习，提高学生学习立体几何的兴趣，增强他们学习的自信心.

六、教学重难点

1.教学重点：几何法与向量法的合理使用；

2.教学难点：如何把求动线段长度的最值问题适当的转化为求定线段的长度问题.

七、教学过程

立体几何中的最值问题是高中数学的难点，也是高考的热点.这类问题包括长度、角度、面积和体积的最值问题，有关线段长度的最值问题是最基本的问题，这节课我们就研究立体几何中线段长度的最值问题.

例1.如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 是侧面 上一点， 平面 ，则线段 长度的最小值是__________

分析1（几何法）：为求 长度的最小值需要找出点 的轨迹.

问题1.你能在侧面 找到一个满足题意的一个这样点 吗？说说你是怎么找的.

问题2.你能找到点 在侧面 上的轨迹吗？说明理由.

问题3.如何求 长度的最小值？

设计意图：几何法求解线段 长度的最小值，其关键在于在侧面 上找到点 的轨迹，问题1引发学生的思考，找到思维的起点；问题2教师引导学生充分利用点满 足的两个条件，抓住线面平行的本质线线平行逐步探索研究，确定点 的轨迹，问题3最终把问题转化为平面上点到线段距离的最小值问题.

分析2（向量法）：为求 长度的最小值需要找出点 的轨迹，可引入坐标确定点 的轨迹.

问题1.怎样建立适当的空间直角坐标系？

问题2.写出点 的坐标，设出动点 的坐标？列出 长度的表达式.

问题3. 怎样把 长度的表达式转化为一元函数？利用什么条件找到 和 的关系？

问题4. 求出平面 的法向量 ，利用 ，找出 的关系；

问题5. 长度表达式是一个什么函数？定义域是什么？用什么方法求最小值.

设计意图：让学生体会几何法与向量法的思想，能够选择合理的方法解决立体几何线段长度的最值问题，提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力和数学运算能力.

八、课堂小结

1研究的问题：立体几何中线段长度的最值问题

2研究的方法：

（1） 几何法：求线段长度的最值要点是先用立体几何知识确定动点的轨迹，再用平面

几何知识求最值；

（2） 向量法：求线段长度的最值要点是建立适当的坐标系，设出动点坐标，建立线段

长度的表达式，借助向量知识把题目中的几何条件合理的转化为代数条件，找到动点坐标的关系，把线段长度的表达式转化为一元函数，用函数的思想求最值.