陈孟臻
摘 要:在四旋翼无人机飞行控制环路中,欧拉角便于终端输出,适合人的直观观察和理解,方便人为调整姿态控制参数,进而调整四旋翼飞行姿态,但是占用内存较大。而四元数占用内存少,且方便在环路控制中实现插值操作,因此可提高机器运算速度,实现快速参数设定,因此研究四元数与欧拉角之间的转换方式具有一定的研究意义。
关键词:无人机;姿态;四元数;欧拉角
1 四元数
四元数(Quaternions)是简单的超复数,由爱尔兰数学家哈密顿在1843年提出的数学概念,总所周知复数是由实数加上虚数单位i组成,其中。相似地,四元数都是由实数加上三个虚数单位i、j、k 组成,而且它们有如下的关系:
四元数一般可表示为a+bi+cj+dk,其中a、b、c、d是实数,称为四元数的模。为了说明是a+bi+cj+dk怎么和三维旋转结合在一起的,使用如下式子来表示一个四元数:
q =(x,y,z),w)=(v,w),其中:其中v是向量,w是实数。使用一个四元数:,来执行一个旋转,即把空间中一个P点绕着单位向量轴u=(x,y,z)表示旋转轴旋转角度θ,当把P点扩展到四元数空间,即p=(P,0),旋转后新的点对应的新坐标为:。
2.从欧拉角到四元数
歐拉旋转是最接近自然理解的一种旋转方式,日常生活中常这些轴称为前、后、左、右、上、下、这意味着在旋转之前需要指明一个顺序。其按照一定的坐标轴顺序(例如先x、再y、最后z)、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量,它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。给定一个旋转顺序(例如z、x、y),以及它们对应的旋转角度(φ,θ,ψ),不同的坐标选择结果不一样。欧拉旋转的数学实现常见使用3×3矩阵:
在四旋翼无人机飞行控制中,规定航空次序欧拉角为:Z轴(yaw,ψ),Y轴(pitch,θ),X轴(roll,φ),其中,pitch是围绕X轴旋转,也叫做俯仰角;yaw是围绕Y轴旋转,也叫偏航角;roll是围绕Z轴旋转,也叫翻滚角。导航坐标系(N系)X轴指向正东方向,机头也朝向正东方向;导航坐标系Y轴指向正北方向,机左翼指向正北方向;导航坐标系Z轴垂直地表指向天空,垂直机体指向天空。每个轴都以逆时针旋转的角度为正角度。
3.结束语
欧拉角容易理解,也有利于将旋转分解为单个自由度,但按欧拉角旋转时,必须做三次旋转并将它们相乘,内存消耗大。在实践中使用四元数更高效,因为四元数只是一个旋转,同时计算机已经编码了正弦值和余弦值,因此它更便于计算机进行运算,解决了欧拉角运算速度的问题,所以从四元数到矩阵的转换是非常有效的。
参考文献
[1] 廉文昊,李波,葛国庆,张海涛.基于STM32的四轴飞行器运动控制系统设计[J].科技风,2019(22):7.
[2] 柴双武,杨晓琴,郭旭炜.对偶四元数绝对定向迭代解法[J/OL].测绘科学:1-10[2019-11-12].http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.4415.P.20190523.1005.004.html.
[3] 刘公绪,蔚保国,史凌峰,刘洪,何瑞,董亚军.一种压缩型全姿态角四元数的表示方法[J].西安电子科技大学学报,2019,46(04):115-121.
[4] 时琦.基于MPU6050的四轴飞行器姿态角解算[J].科学技术创新,2019(04):38-39.
基金项目:1.广西壮族自治区教育厅项目:高校中青年教师基础能力提升项目(KY2016LX339)2.广西壮族自治区教育厅项目:广西本科高校特色专业及实验实训教学基地(中心)建设——电子信息工程。