运用数形结合思想方法，培育高中生数学核心素养

颜学海

数形结合的思想方法是中学数学的重要思想方法，将数学中复杂的问题简单化，通过结合抽象语言、位置关系等，达到优化解题的效果，提高学生的数学思维及综合能力，培育学生的良好数学素养。

一、用数学结合的思想方法解决集合问题

例1：已知集合A={（x，y） ，则A∩B的元素的个数为（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3

分析：方法一：解方程组，故选 C

方法二：圆x2+y2=1与抛物线y2=4x有2个交点，故选C。很明显，解法二，直观明了，甚至想一想就可以得出答案。

例2：某校举办校动会，高三（1）班28名学生报名参加比赛，其中15人参加游泳项目，8人田径，14人球类。同时报名参加游泳和田径的有3人，游泳和球类的有3人，无人人同时参加三项比赛。问：同时参加田径和球类比赛的有多少人？

分析：本题涉及到的文字信息比较多，学生初看容易混乱，建议采用韦恩图，可直观分析。

设同时参加田径和球类比赛有x人，则只参加田径比赛的有5-x人，只参加球类比赛的有11-x人。

∴ 9+3+5-x+3+x+11-x=28，∴ x=3。

二、用数形结合的思想方法解决三角函数问题

例3：已知，求f（x）的值域。

分析：求给定区间上的三角函数的最值或值域，是个抽象的问题，数学中的难点。应以画图的形式来进行分析思考。

∵，∴，令画出函数的图象，则易知，

∴f（x）的值域为。

例4 ：求下列函数的最小正周期。

（1） （2）

分析：（1），只需要画出函数与的图象，则可知它们的最小正周期都是π。

三、在几何问题中运用数形结合的思想方法

例5 ：已知x，y∈R且满足x2+y2-4x+3=0求：（1）x-y的范围 ；（2）的值。

分析：方程x2+y2-4x+3=0表示以（2，0）为圆心，r=1为半径的圆。令x-y=t，问题（1）转化为直线x-y=t与圆（x-2）2+y2=1有交点时，t的取值范围，实现“形”与“数”的转化。由得。同理可解得（2）。

例6：求圆x2+y2-4x-4y+5=0的点到直线x+y-9=0的最大距离和最小距离。

分析：按一般思路，在圆上任取一点 P（x，y），则P到直线x+y-9=0的距离，采用一般函数求最值的方法，比较困难。如果画出图形容易看出，只需求圆心C（2，2）到直线x+y-9=0的距离，那么所求最大值为，最小值为。

四、运用数形结合解决数学函数与导数的问题

例7：已知f（x）=lgx-sinx，求函数f（x）的零点个数。

分析：直接解方程很困难。求f（x）的零点，即求方程f（x）=lgx-sinx=0的解。

即lgx=sinx的解，也就是函數y=lgx与y=sinx 的图象交点的个数，因此，只要在同一坐标系中画出这两个函数的图象即可。易知函数f（x）=lgx-sinx有3个零点。

例8：如果函数f（x）=x3-3x+m有3个不同零点，求实数m的取值范围。

分析：先分析函数的单调性，画出函数的简图，根据图象来回答所求问题。

f '（x）=3x3-3=3（x2-1），令f '（x）>0得x<-1，

令f '（x）<0得-1

如图所示， 有3个零点，需满足，-2

根据以上例题可见数形结合的思想方法在数学教学的重要性，教师应着重培养学生的数学思维，不能只是重视“知识点”，开拓学生的思维模式。通过解决各种数学问题，达到培养学生从产生问题到思考问题，继而运用知识点来分析问题，最后解决问题的能力，将数学应用意识和创新精神提到一个高度，以达到培育学生数学核心素养的教学目标。

参考文献：

[1]郑毓信.考试高压下的中国数学教育：现状与对策 [J].数学通报，2007（10）：23—26.

[2]教育部师范教育司.任勇与数学学习指导[M]·北京：北京师范大学出版社，2006，204—207.

[3]波利亚.涂泓，冯承天（译）.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2002，15.

[4]蒋海燕.中学数学核心素养培养方略[M].山东人民出版社，2017.