卡尔达诺与《赌博之书》

陈亦宇

摘要：卡尔达诺是文艺复兴时期人文主义的代表，也是那个时代伟大的科学家之一。他虽然嗜赌成性，但对赌博游戏中的概率问题进行了深入思考和研究，他的著作《赌博之书》，就是欧洲最早对概率论这一学科作出系统研究的著作，给后世留下了许多值得探讨的问题。

关键词：卡尔达诺 《赌博之书》 概率

中图分类号：I546  文献标识码：A  文章编号：1009-5349（2019）16-0237-03

一、卡尔达诺的生平

吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501.—1576）是意大利文艺复兴时期一位百科全书式的人物，他享有数学家、物理学家、占星家、哲学家等多种称号，同时也是古典概率论重要的奠基者之一。卡尔达诺一生嗜赌成性，性情孤僻;但他智力超群，著述混杂，一生共写了200多种不同主题的文章、书籍，内容涵盖古典文学、数学、物理、化学、生物学、医学、哲学、占星学和音乐，其最主要的成就集中在数学、医学、物理学和哲学领域，是个不折不扣的“科学怪人”。莱布尼兹曾如此评价他：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人，没有这些缺点，他将举世无双。”

卡尔达诺于1501年9月24日出生于帕维亚，他是一位律师的私生子，从小体弱多病，受尽歧视和虐待，慢慢养成了孤僻古怪的性格。他自幼学习古典文学、数学和占星学，他对所有的领域都抱有浓厚的求知欲望，尤其对占星学具有强烈的兴趣，终生都沉迷于占星术。

1518年卡尔达诺进入帕维亚大学，他不顾父亲的反对，选择了学医，他认为自己具有医学方面的天赋，再加上懂得占星术，将来必定会有一番作为;因为医疗占星在他生活的年代大行其道，人们普遍认为医生需要掌握占星术，当时甚至还出现了一种专供医生使用的星盘。

除了学习医术和占星术，卡尔达诺还迷恋赌博，这是他一生从未间断的又一项主要活动，他凭借高超的赌技，经常在赌桌上大获全胜，然而他也在自传里对此表示过忏悔：“也许我根本就不值得拥有赞美，我过度沉溺于轮盘赌和掷骰子，应该受到最严厉的谴责……我不仅每年都赌，而且，我羞愧地承认，是每天都赌。”

帕维亚大学于1523年暂时关闭后，卡尔达诺转学到帕多瓦大学。1526年他又回到帕维亚大学，获得了医学博士学位，毕业后他申请加入米兰医学协会，却因其私生子身分而遭到拒绝。后来，他去了帕多瓦附近一个名叫萨科隆戈的小镇，在那里开了一家私人诊所，期间结识了他的妻子，两人于1531 年结婚，共育有两子一女。然而，开诊所的微薄收入难以支撑一家人的庞大开销，卡尔达诺的婚后生活十分窘迫。于是，他在父亲的一个贵族朋友的举荐下，于1534年成为米兰专科学校的一名数学教师，讲授几何学课程。卡尔达诺在教学和看病之余，还陆续出版了几部医学专著，他的《时钟与镜子：文艺复兴时期的医学》一书，在总结自己行医经验的同时，还揭露当时医院的那些不为人知的秘密，诸如各种愚昧的医生、恐怖的治疗手段等。

1543年，卡尔达诺受聘于帕维亚大学担任医学教授。1552年，成为英国国王爱德华六世的宫廷医生。最终卡尔达诺一生的命运转折点就发生在了萨科隆戈小镇，他先治愈了一位身患急病的著名修道院院长;随后，苏格兰大主教在经过小镇时突然旧疾复发，他又即时施以援手……从此，他凭借高超的医术开始在欧洲的上流社会声名鹊起，米兰医学协会也盛情邀请他加入。1539 年，卡尔达诺转入米兰医学院任教。作为医生，卡尔达诺既精于诊断开方，也长于外科手术，同时也对生理学和心理学的问题提出了自己的见解，他还是历史上第一个对斑疹伤寒做出临床描述的人。

当时欧洲数学界面临的最大难题就是一元高次方程的求解，卡尔达诺在得知数学家塔尔塔利亚（Tartaglia）已经解出多种三次方程后，便向其求教一元三次方程的解法，并庄严地立下予以保密的誓言，最终得到了一首隐藏着一元三次方程解法的诗。卡尔达诺与学生费里拉 （Ferrari）多年潜心研究，不仅得出了一元三次方程的解法，还探索到了一元四次方程的一般解法;但他并没有遵守诺言，在1545年出版的《大术》 （Ars Magna）一书中，他第一个发表了三次代数方程的一般解法、相关证明以及一元四次方程的一般解法。因此，三次方程求根公式被命名为“卡尔达诺公式”，也有人将这种解法称为“卡尔达诺法”。从卡尔达诺出版《大术》的那天起，到1560年左右，他拥有了他所希望的一切——名誉、地位、金钱和尊重，这是他人生中的黄金岁月。

尽管卡尔达诺取得了非凡的成就，但他的家庭生活非常不幸。他最疼爱的长子因为投毒杀死妻子于1560年被审判并斩首，此事是卡尔达诺人生的一个转折点，他从悲痛中恢复过来后，放弃了在米兰赚钱的医生职业，搬到了帕维亚。1562年，卡尔达诺因为被指控骚扰学生而被迫辞去在帕维亚的职位，在颇有影响力的博洛梅欧（Borromeo）家族的帮助下，卡尔达诺被调到博洛尼亚担任医学教授职位。卡尔达诺从帕维亚搬至博洛尼亚，还有部分原因是他认为其子被判死刑的决定受到了学术机构之间相互斗争的影响以及他同事对其科学成就的嫉妒。

晚年的卡尔达诺沉迷于占星术和占卜，由此得到了教皇皮乌斯五世的赏识，付给他终身年薪，让他留在宫廷供职。然而，卡尔达诺因为耶稣基督占卜而被指控，于1570年被宗教法庭判处9个月监禁。卡尔达诺出狱后移居罗马，获得了教皇格里高利十三世的年金资助。其间，他写成了他的自传《我的一生》，还加入了皇家医学院，除了行医之外，继续他的哲学研究直到1576年去世。

吉罗拉莫·卡尔达诺的人生经历最为传奇之处在于：作为占星学大师，他曾经推算出自己的死亡日期——1576年9月21日，不过当这个日子来临之际，他却毫无死亡征兆，为了不让自己的预言落空，他选择自杀。

二、卡尔达诺的著述

卡尔达诺被誉为百科全书式的学者，他一生著述颇丰，大约有7000多页的材料现存于世。以下几本著作较为集中地体现了其在数学方面的成就：《算术实践与个体测量》（1539），显示出在计算方法与代数变换方面较高的技巧;《大术》（1545）首次公布了一元三、四次代數方程的一般解法，其中关于一般二次代数方程的求根公式今天被称为“卡当公式”或“卡尔达诺公式”。卡尔达诺的另外两部著作《事物之精妙》（1550）与《世间万物》（1553）包含了大量力学、机械学、天文学、化学、生物学等自然科学与技术的知识，还涉及密码学、炼金术、占星术等领域的内容，被誉为当时最好的百科全书。

在概率论方面，在16世纪20年代，卡尔达诺写了一本关于赌博游戏的著作《赌博之书》（Liber de ludo aleae），这本书以手稿的形式存在了一百多年，直到1663年才在卡尔达诺的作品集中出版。卡尔达诺计算两个或三个骰子会出现的数字总和的概率，并将其结果应用于一些骰子游戏中。在该书中，还出现了类似于后来所称的幂定理（在一个随机事件中，某事件重复n次发生的概率）和大数定律（随着试验次数的增加，某事件发生的频率趋于一个稳定值）等概率论中的一些基本概念和定理的论述。

《赌博之书》是欧洲历史上第一部讨论众多概率问题的著作，第一次尝试将可能性进行量化研究;他用数字来描述随机事件发生的似然度，这种思想对后来的概率论、统计学的产生与发展等都具有深远的影响。不过，除了概率演算之外，该书主要对玩牌和掷骰子等赌博游戏中的作弊方法进行了丰富和详细的讨论，目的是告知赌博参与者谨防被骗以及在赌博中获胜的技巧，就此而言，卡尔达诺的《赌博之书》不能被当作一本纯粹的数学著作，而只是一本赌博指导手册而已。

三、卡尔达诺的概率统计思想

在《赌博之书》书中，卡尔达诺对许多赌博游戏进行了概率计算，其中一些关于赌博实例的讨论已包含了某些有关概率论的基本思想和规则，相关的具体内容如下：

一是卡尔达诺思考了掷距骨（踝骨）和骰子的机遇问题，通过理论上的论据提出了明确的概率计算思想。他说：踝骨有四个面并有四个点数，但骰子有六个面。抛掷六次，每个点数会出现一次，但由于会发生有的点数不止出现一次的情况，因而有的点数就不会出现。踝骨呈现扁平面的形状，它的每一面都位于背面之上;……它和骰子的形式不尽相同。各面总数的一半总是会出现相等次数;因而在给定某个点数的情况下，抛掷三次的机会是完全均等的，因为总的变化是根据六面顺序来决定的。此外，在一次抛掷中，必定会出现三个给定点数中的其中一个。如果一个骰子是诚实的，它的不同面出现的概率是相等的。他还计算了用多少种方法可以在掷两颗和三颗骰子时得到某一总点数。但这对于踝骨来说并不适用，因为踝骨只有四个面，每个面都不完全相同，因此每个面出现的概率是不相等的。对此，卡尔达诺曾经说过，“我掷出1、3、5的能力和掷出2、4、6的能力是一样的”，卡尔达诺由此推论，一个六面完全相等的骰子，每一面出现的机会是可以通过数学抽象作出概率计算的。

二是卡尔达诺找到了用骰子下注的合理几率，准确地列举各种可能的抛掷情形，即一个骰子有6种可能，两个骰子是6×6，三个骰子则是6×6×6，等等。当掷出两到三个骰子时，他就能确定所有36种或216种排列的集合。他用“巡回”（circuit）这个词来表示这种集合，“巡回”是可能出现的所有结果的数量，即样本空间的大小。当一个试验的“巡回”确定之后，一个事件发生的概率由整个巡回中对它有利的“部分”来表示。卡尔达诺给出的规则是：为了获得胜算，我们必须考虑“有利的结果能以多少种方式出现，并将这个数字与巡回进行比较”，即将优势量化为有利结果与所有可能情况的比率。

三是卡尔达诺在互斥事件中正确地使用了概率的加法定理（有限个互不相容事件的和的概率等于这些事件的概率的和）。比如：在掷两个骰子时，共有36种等可能情形，其中有11种对事件“至少有一个1点”有利，还有另外9种对事件“至少有一个1点或3点”有利，等等。如果有人说，我想要一个1点，2点或者3点，则共有27个有利的投掷情形，由于“巡回”是36，其余的9种投掷情形中不会出现这些点数，因此概率是3比1。这里的有利结果就是至少一个面显示1点、2点或3点。

四是在许多古代文献中也都讨论过机会游戏和抽签，一些神秘主义者和数学家列举了各种游戏的可能结果。问题是，这些枚举中大多数都不是等可能情况下的枚举，因此很难用它们来系统地计算概率。卡尔达诺则更谨慎，他从公平的概念开始，或者用他自己的话说，是在“平等条件”下来进行计算。在赌博中最基本的原则就是平等的条件，例如：对手的条件，旁观者的条件，金钱的条件，处境的条件，骰子的条件。在你偏离公平的程度上，如果对你的对手有利，你就是一个傻瓜;如果对你自己有利，你就是不公正的。在最简单的情况下，如果两个玩家拥有相等的赌注，如果每个玩家的有利结果和不利结果数目相同，那么游戏就是公平的。卡尔达诺认为，更普遍的情况是，公平要求公平博弈的赌注应与每个参与者获胜的方式成比例。所以这就是平等竞争的基本原理，这意味着准确的规则，即不确定的回报的期望或现值等于机会和数量的乘积，如果两个玩家的预期回报相同，则游戏是公平的，即赌注就是赔率的比例。

五是随机试验中事件发生的可能性代表着其长期相对频率。因此，在讨论了用两个骰子确定的试验中事件发生的可能性之后，卡尔达诺说，“这个论点是基于这样一个事实，即这种连续的事件与一系列的试验相一致，如果没有这样一系列的试验，那么它将是不准确的”。在另一个地方，频率可能会在少量的试验中与概率有很大偏差，但如果试验次数很多，则偏差将变得微不足道。他意识到当一个事件的概率是p时，那么通过大量n次重复事件发生的次数就离p（n）不远了。尽管他声称预见到了大数定律是难以证明的，但很明显，他的直觉正引导他走向正确的方向。《赌博之书》最引人注目的部分是卡尔达诺对重复扔骰子的概率的讨论，这使他在几次失败的尝试之后，最终找到了正确的公式。

概而言之，卡尔达诺的著作在许多方面唤起了后世的数学家们对赌博这种人类实践活动的认知热情，概率论在17世纪的产生与赌博问题有着直接的渊源关系。从卡尔达诺对掷骰子等赌博游戏的一些問题的思考和研究中，人们看到了关于赌博的问题由经验向理论的概率思想转变。从这一角度看，卡尔达诺当之无愧地应该被看作概率论的最重要的先驱者。

参考文献：

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责任编辑：杨国栋