叶轮转子碰摩响应的分岔与稳定性

张华彪 李欣业 梁艳书

摘要： 针对叶轮转子碰摩响应以及周期解的分岔和稳定性开展研究。基于线性接触力和库伦摩擦力组成的叶尖碰摩力模型，建立了叶轮转子碰摩的动力学方程，通过数值计算给出了系统响应随转速变化的分岔图，发现在碰摩时系统出现了多种周期运动和混沌等响应形式，并有倍周期分岔、跳跃以及混沌吸引子的转换等现象发生。将同伦延拓理论和打靶法相结合，在庞加莱截面上通过切向预估和法向校正，形成了一种新的延续打靶法，将其应用于叶轮转子碰摩周期解计算和稳定性分析中，给出了碰摩周期响应的分岔图，发现随转速的变化，系统出现了大量局部稳定的周期解。基于周期解分岔图研究了系统进入和退出混沌的路径，发现系统进入混沌的路径主要是鞍结分岔和倍周期分岔，退出混沌的路径有倍周期分岔、Hopf分岔以及边界激变。

关键词： 分岔; 稳定性; 叶轮转子; 碰摩; 延续打靶法

中图分类号： O322; TH113.1  文獻标志码： A  文章编号： 1004-4523（2019）04-0635-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.010

引 言

碰摩是叶轮机械常见的故障之一，严重的碰摩可能造成叶片折断、转子失稳，最终导致重大运行事故。转子和密封的碰摩通常在研究中被简化为两个圆柱面之间的碰摩问题，进而确定转子和密封之间的接触力和摩擦力表达式，基于该模型国内外学者对转子碰摩的动力学特性进行了深入的研究[1-3]。叶轮转子振动过大时，在叶尖密封处也会发生碰摩，由于每一时刻叶片接触的数量和每个叶片处的变形量都不同，更容易导致复杂动力学响应的出现。考虑到叶尖碰摩和传统圆柱面模型的碰摩在接触形式上存在较大的差异，基于传统碰摩模型的研究成果不能很好地适用于叶尖碰摩。

针对叶轮转子叶片和机匣之间的碰摩，Padovan等[4]将叶片假设为悬臂梁，推导了法向接触力和叶片径向变形之间的关系，分析了在单叶片和多叶片与刚性机匣碰摩情况下，不平衡量、叶片/转子刚度、系统阻尼和摩擦对系统非线性动力学特性的影响。Lesaffre等[5]将叶片简化成具有两自由度的集中质量块模型，机匣简化成柔性环，两者碰摩同样采用附加刚度矩阵和阻尼矩阵来实现，研究了叶片-机匣碰摩稳定性。Padova等[6]对发动机工作转速下转静子碰摩问题进行了实验研究，针对不同的碰摩侵入量情况进行了测试，对比分析了转静子的相互影响作用。Ahrens等[7]、Young[8]和Ferguson[9]通过测量机匣的变形，间接获得了碰摩载荷的实际大小和变化规律。实验研究的结论表明叶轮转子叶尖和机匣的碰摩响应近似于系统受到周期性脉冲力作用的响应。Jiang等[10]结合实验研究的结论，提出了周期性脉冲力形式的碰摩接触力模型，并通过理论计算推导了最大接触力的表达式。基于周期性脉冲力模型，Turner[11]研究了碰摩时叶片的刚度效应;Legrand等[12]研究了叶轮转子的碰摩响应;Kim等[13]研究了非对称转子与各向异性机匣的碰摩;刘书国等[14]对叶片-机匣碰摩的瞬态过程进行数值模拟，分析碰摩激起的部件的动力学响应;Sinha[15]分析了叶片丢失情况下发生转静子碰摩时转子的稳定性及非线性动力学行为。王国丽等[16]采用叶片-机匣实体接触有限元计算得到碰摩力，建立了航空发动机双转子-支承系统实体模型，利用Ansys计算了高压涡轮-机匣碰摩时轴承支反力的变化。近年来，叶尖碰摩逐渐引起了人们的关注。陈果等[17-18]对叶尖碰摩转子动力学进行了数值仿真和实验研究，其中叶片和机匣的碰摩力采用线性碰摩模型。马辉等[19-20]对叶片与机匣碰摩进行了深入的研究，并出版了专著《旋转叶片-机匣系统碰摩动力学》，其中对于转子-叶片耦合系统动力学建模、碰摩对叶片振动响应的影响进行了详细的介绍。刘昕等[21]采用悬臂梁模型，考虑离心刚化作用，选取高次形函数来描述叶片的变形，重点从频域上研究了叶尖碰摩时转子的响应特性，发现响应频率和转子的工频以及叶片的个数线性相关。上述文献对叶轮转子叶尖碰摩进行了比较深入的研究，然而其研究方法主要是实验或者是简单的数值模拟，研究叶轮转子碰摩周期解及其稳定性和分岔显然更具价值，目前这方面的研究文献尚未见报道。

此外转子碰摩是典型的非光滑动力学问题，采用传统的非线性动力学解析方法求解困难。打靶法在庞加莱截面上利用牛顿迭代，实现周期解的求解，不需要进行复杂的解析计算，并且在求解过程中可顺带进行稳定性的分析，非常适合于转子碰摩周期解的求解。但是传统的局部延拓的打靶法只适用于参数小范围变化的情况，对于非线性系统中常见的转折点问题无能为力，无法实现周期解在参数大范围变化时的追踪。因此发展一种能够适用于参数大范围变化的周期解求解方法具有很高的实用意义。

基于上述问题，本文对叶轮转子碰摩周期解的稳定性和分岔行为开展研究，文中第1部分建立了叶轮转子叶尖碰摩的动力学模型，并进行了初步的数值模拟;第2部分将同伦延拓方法与打靶法结合，形成了延续打靶法，将其应用于碰摩周期解的求解与分岔和稳定性分析中，对叶轮转子响应形式随转速的变化，特别是进入和退出混沌的路径进行了讨论。

1 叶轮转子碰摩动力学方程与仿真

基于上面的数据，可求得叶轮转子的1阶临界转速约为3050 r/min。本文主要针对叶轮转子升降速过程中通过1阶临界转速时叶尖和机匣密封发生碰摩的动力学行为开展研究。图3给出了叶轮转子升速和降速过程的分岔图，可以看到系统随转速变化在多处发生了跳跃和分岔，出现了复杂的周期运动和混沌等响应形式。图4给出了几种典型的周期运动的轴心轨迹和庞加莱映射，当没有碰摩发生时，系统为线性，响应为周期1运动，轴心轨迹是圆。发生接触后系统先是周期1运动，然后随转速的变化出现了周期2、周期3、周期4运动和混沌。图4（e）和（f）虽然都是周期2运动，但前者的接触以碰撞为主，后者的接触相对平滑，作用以摩擦为主。图5给出了叶轮转子碰摩过程中典型混沌响应的庞加莱映射，可以看到对应着不同的转速和升降速状态，混沌响应吸引子的形态也不同，在升降速过程中不仅有周期运动与混沌之间的状态转换，也有不同形态的混沌响应之间的切换。总体来看系统的响应以周期1、周期2和混沌响应为主，因此更关注这3种运动之间相互转化的规律和分岔行为。本文的下一部分将针对周期解的稳定性和分岔进行研究。

2 叶轮转子碰摩的稳定性和分岔

2.1 参数延续的打靶法  为了使打靶法能够通过转折点，实现全参数范围的周期解曲线的追踪，本节将同伦延拓法和打靶法相结合，形成了一种新的延续打靶法，并将其应用于叶轮转子碰摩周期解的求解和稳定性分析中。延续打靶法的基本原理如图6所示。将微分方程组写成代数方程形式，利用同伦延拓的思想，在庞加莱截面上从一个正则点出发，沿解曲线的切线方向进行预估，然后在和切线方向正交的超平面上进行校正，从而得到解曲线上的下一个正则点。

2.2 叶轮转子碰摩的稳定性和分岔

利用参数延续的打靶法对叶轮转子碰摩的周期运动进行求解和稳定性计算。图7给出了叶轮转子碰摩周期解的分岔图，由于叶轮转子碰摩的周期解太过复杂，此处只给出了周期1解和更为关注的升降速过程中出现的周期2解。此外考虑到图7（a）图例占用面积很大，本文中如无特殊说明，下面所有周期解分岔图的图例均参照此图例。从图中可以看到利用参数延续的打靶法进行求解，成功了绕过了转折点，求得了系统周期解在整个转速范围内的变化。图7（b），（c）和（d）为图7（a）的局部放大，可以看到系统随转速的变化出现了大量的稳定和不稳定的周期解和分岔点，除升降速过程中出现的周期解外，系统出现了多处局部稳定的周期解，在转折点附近不稳定周期解通过倍周期分岔转变为稳定解，然后通过转折点处的鞍结分岔失稳，如图7（c）和（d）所示。这些稳定周期解在正常升降速过程中不会出现，但在系统受到扰动时有可能发生。

随着转速进一步增大，系统在h点（如图9（b）所示）附近通过倍周期分岔脱离混沌，变为周期2运动，进而在i点处发生鞍结分岔，响应出现跳跃。j点处通过倍周期分岔变为周期1运动，在k点又重新回到周期2运动，周期2运动在l点再次发生跳跃，在m点通过倍周期分岔进入混沌。转速继续增大，在n点处系统的响应通过倍周期分岔脱离混沌，o点处变为周期1运动，p点为鞍结分岔点，系统响应在该处通过切分岔阵发性进入混沌。

系统响应在q点（如图10（b）所示）附近通过倍周期分岔退出混沌，然后在r点处通过鞍结分岔进入混沌。随着转速的增大，系统发生边界激变，混沌吸引子消失，响应回到周期2运动，然后在t点处经过倍周期分岔变为周期1运动。图11中周期1运动在u点处发生倍周期分岔，由于该分岔点为亚临界分岔点，系统的响应在该处发生跳跃，变为周期2运动，进而在v点通过倍周期分岔变为周期4运动，然后在w点退出，回到周期2运动，在x点通过鞍结分岔阵发性进入混沌。在y点附近系统响应通过倍周期分岔退出混沌，然后在z点处变为周期1运动。系统响应在a1处通过鞍结分岔发生跳跃，变为振幅较小的周期1运动，b1为又一个亚临界倍周期分岔点，系统响应发生跳跃变为周期2运动，进而在c1点通过倍周期分岔回到周期1运动，d1点处发生鞍结分岔，响应出现跳跃，转子脱离碰摩。

图12是叶轮转子降速的情况分析，可以看到转子在e1点处通过切分岔阵发性进入混沌，碰摩开始，在f1点处通过Hopf分岔脱离混沌，随着转速的下降，系统在g1点和h1点发生鞍结分岔，出现跳跃，在周期1和周期2运动之间相互转换，進而在i1点处通过鞍结分岔再次进入混沌。图8-12的数值分岔图很好地验证了周期解求解和稳定性计算的结果。

3 结 论

叶轮转子碰摩时，不同时刻发生接触的叶片数量以及每个叶片的侵入深度都不同，使得系统的响应异常复杂。本文针对叶轮转子叶尖碰摩的动力学响应以及周期解的分岔和稳定性开展研究，取得了如下成果：

建立了叶轮转子碰摩的动力学方程，利用数值计算研究了系统响应随转速的变化，发现系统出现了多种复杂周期运动和混沌等响应形式，并有倍周期分岔和跳跃等现象发生。将同伦延拓法和打靶法相结合，在庞加莱截面上通过切向预估和法向校正，形成了一种新的延续的打靶法，将其应用于叶轮转子碰摩周期解和稳定性计算中，给出了周期1和周期2运动的分岔图，发现系统随转速的变化，出现了大量稳定和不稳定的周期解，系统在受扰动后可能发生复杂的周期响应。研究了系统进入和退出混沌的道路，发现系统进入混沌的路径主要是鞍结分岔和倍周期分岔，退出混沌的路径包括倍周期分岔、Hopf分岔以及边界激变。

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Abstract： The rubbing response of the blade rotor and the bifurcation and stability of the periodic solutions are studied. Based on the model of tip impact force composed of linear contact force and Coulomb friction force， the dynamic equation of the blade rotor rubbing system is established. The bifurcation diagram of the system response with the rotation velocity as the bifurcation parameter is given by numerical calculation. It is found that during the rubbing， the system exhibits various response forms such as periodic motion and chaos， and the phenomena of period-doubling bifurcation， jump and conversion between chaotic attractors occur. The homotopy continuation method and the shooting method are combined to form a new continuous shooting method by tangential prediction and normal correction on Poincare section. Applying it to the periodic solutions′ calculation and stability analysis of blade rotor rubbing， the bifurcation diagram of periodic rubbing response is given. It is found that a large number of locally stable periodic solutions appear in the system as the rotation velocity changes. Based on the bifurcation diagram of periodic solutions， the path of the system entering and exiting chaos is studied. The path that the system enters into chaos is mainly saddle-node bifurcation and double-cycle bifurcation， while the response exits chaos through period-doubling bifurcation， Hopf bifurcation and boundary crises.

Key words： bifurcation; stability; blade rotor; rubbing; continuous shooting method

作者簡介： 张华彪（1984-），男，讲师。电话：13821927750;E-mail：hbzhang5220@qq.com