水-椭圆柱体相互作用分析的精确和简化模型

王丕光 黄义铭 赵密

摘要： 针对柔性椭圆柱体在水中的振动问题，提出一种代替水-结构动力相互作用的附加质量模型。基于椭圆柱体动水压力的计算公式建立了水中椭圆柱体的自由振动方程，进一步推导了水中椭圆柱体自振频率和振型的解析公式;基于振型叠加法推导了水中椭圆柱体地震动力反应的计算公式;通过附加质量代替水-结构相互作用，提出了水中椭圆柱体自振频率的计算公式;通过曲线拟合给出了附加质量的简化计算公式，该简化公式数学表达简单，适用于工程应用。

关键词： 动水压力; 椭圆柱体; 地震反应; 振型叠加法; 附加质量

中图分类号： TU311.3; U443.1  文献标志码： A  文章编号： 1004-4523（2019）04-0619-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.008

引 言

随着经济的发展和技术的进步，中国已经建成或正致力于建造一大批近海结构物[1-3]。近海结构一般都处于深水环境中，在动力分析时需要考虑水体和结构的动力相互作用，该动力相互作用不仅会改变结构的动力特性，还会对结构产生附加动水压力作用。研究表明地震作用下结构与水体的动力相互作用会对水中结构的动力反应产生较大影响[4-5]。

实际工程中，存在各种截面形式的柱体结构，如圆形、椭圆形和矩形等。国外学者针对水-圆柱结构的动力相互作用问题已经进行了一系列的研究。Liaw和Chopra[6]于1974年基于辐射波浪理论推导了圆柱结构的动水压力公式，研究结果表明，对于细长结构可以忽略水体压缩性的影响;表面波仅在低频时对动水压力的影响比较明显。忽略水体压缩性和表面波时该动水压力可视为部分水体质量与结构加速度的乘积，这部分水体称为“附加质量”。Han和Xu[7]基于梁单元理论，提出了计算水中圆柱结构自振频率的简化公式。Goyal和Chopra[8]提出了取水塔结构动水压力的附加质量简化计算方法。另外，Williams[9]和Tanaka等[10]分别采用边界积分方法和解析法研究了水平地震作用下水中圆柱结构的动力反应。

中国学者也对深水桥墩的地震动水压力进行了研究。赖伟等[11]提出了一种圆形桥墩上地震动水压力的半解析半数值方法;黄信和李忠献[12-13]討论了自由表面波、水体压缩性和水底吸收边界对圆形桥墩地震动水压力的影响;杜修力等[14-15]提出了可压缩水体条件下圆柱结构地震动水压力的时域算法和时域简化公式;李乔等[16]和江辉等[17]提出了圆形桥墩动水压力的简化计算公式。

上述情况表明，目前对于地震作用下水与圆柱结构的动力相互作用问题已经取得了可供实际应用的研究成果，但还鲜见对水与椭圆柱体结构动力相互作用的研究。本文将利用分布参数体系，研究齐水面椭圆柱体结构体系的自由振动和强迫振动，讨论水-结构相互作用对柱体结构动力特性和动力反应的影响。

1 椭圆柱体的动水压力计算公式

椭圆柱体结构与水体相互作用的模型如图1所示，a和b分别表示椭圆半长轴和半短轴，h为水深。直角坐标系下，z轴沿柱体轴线向上，坐标原点位于柱体底部;假定地基为刚性，地面加速度为g=Uge-iωt，ω为荷载频率。水体假定为不可压缩的小扰动流体，并忽略表面重力波的影响。

2.2 结果分析

通过自振频率降低率讨论水-结构相互作用对柔性椭圆柱体结构自振频率的影响，自振频率降低率定义为结构无水频率和有水频率的差值与无水频率的比值。本文算例中，取结构的密度ρs=2450 kg/m3、弹性模量E=30000 MPa、阻尼比为0.05、水深为20 m。

图2为椭圆长短轴比不同情况下结构的一阶频率降低率随宽深比的变化。沿长轴时宽深比为2b/h，沿短轴时宽深比为2a/h。由图2可以看出，水-结构相互作用降低了结构的自振频率;随着宽深比的增大，水体对结构自振频率的影响逐渐减小;沿长轴方向振动时，随着长短轴比的增大，水体对结构自振频率的影响逐渐减小;沿短轴方向振动时，随着长短轴比的增大，水体对结构自振频率的影响逐渐增大;长短轴比一定时，水-结构相互作用对椭圆柱体沿短轴方向结构自振频率的影响更大。水-结构相互作用对长、短轴方向动力特性影响的差异性主要是由于沿长轴和短轴振动时截面刚度的不同引起的。

图3和4分别为椭圆柱体沿长轴和短轴方向振动情况下结构的前3阶振型，图中长短轴比取3。由图中可以看出，水体对结构一阶振型的影响可忽略，对高阶振型的影响较大;水体对沿短轴方向振动时的结构高阶振型影响明显大于对沿长轴方向振动时的结构高阶振型影响。

3 椭圆柱体的地震动力反应

采用振型叠加法来求解地震作用下椭圆柱体的动力反应。

3.1 无水情况

椭圆柱体在水中振动的自振频率，可通过式（15）计算得到，但是该公式需要通过程序来实现，很难应用于工程实际。为了解决这一难题，本文基于附加质量的概念，给出了一个水中椭圆柱体结构自振频率的简化计算公式。

4.1 沿长轴方向

5 结 论

本文推导了椭圆柱体结构在水中自由振动时自振频率和振型的解析公式，并基于振型叠加法建立了椭圆柱体结构地震反应的计算公式。由于自振频率解析公式计算过程复杂，不便于工程应用，本文进一步基于水体附加质量的概念提出了水中椭圆柱体结构自振频率的简化计算公式。

分析结果表明水-结构相互作用降低了结构的自振频率，改变了结构的高阶振型，增大了结构的动力反应。随着宽深比的增大，水体对结构自振频率的影响逐渐减小;随着长短轴比的增大，水体对沿长轴方向结构自振频率的影响逐渐减小、对沿短轴方向结构自振频率的影响逐渐增大;长短轴比一定时，水体对椭圆柱体沿短轴方向结构自振频率和高阶振型的影响更大。

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Abstract： A model of added mass representation for a flexible elliptical cylinder vibrating in water is presented to simulate the fluid-structure dynamic interaction. Based on the formula of the hydrodynamic pressure on elliptical cylinder， the free vibration equation for an elliptical cylinder in water is given. Further， the analytical solutions of the natural frequencies and mode shapes for the elliptical cylinder vibrating in water are derived. The expression for calculating the seismic response of the cylinder surrounded by water is obtained by the mode superposition method. Using the added mass representation， the formula for calculating the fundamental frequency of the elliptical cylinder in water is proposed. A simple formula for evaluating the natural frequency is proposed by curve fitting method. The mathematical expression of the formula is very simple and it is suitable for engineering application.

Key words： hydrodynamic pressure; elliptical cylinder; earthquake response; mode superposition method; added mass

作者簡介： 王丕光（1985-），男，助理研究员。电话：15210945945; E-mail： wangpiguang1985@126.comZ ··y^