三角函数与向量交汇题的求解策略探究

穆妍

摘 要：就目前全国各地区的数学高考题目来看，题目的类型愈加多样，出题的方式愈加灵活，一些非常具有时代气息的题型被创造出来，如三角函数与向量的交汇题，这类题目形式新颖，背景鲜明，同时考查学生多个领域的知识点，也考查学生对知识的融会贯通能力。因此，本文就重点探讨三角函数与向量交汇题的解题方式，总结一些比较简练实用的经验，以启发学生的解题思路，帮助学生减少失误。

关键词：高中数学;三角函数;向量;交汇题

三角函数与向量都是高中数学中的重要知识模块，这两个模块的知识相互交汇，相互渗透，能够产生很多形式新颖，结构新奇的题目，这不仅要求学生有较牢固的基础知识，还要求学生对各个领域的知识点具有较强的理解能力和融会贯通的能力。教师在教授这些领域的知识点时，除了将之视为教学重点内容之外，也应时刻关注高考动向，发现新题型，及时对之进行解析讲授。笔者就三角函数与向量交汇题，结合近年来高考考题动向，对这类题的解题方式进行了总结归纳。

以下是具体的解题策略：

一、  三角函数与向量知识点分析

（一） 三角函数知识点分析

在学习三角函数的相关内容时，教师应当重点讲述三角函数的基本性质，函数图像的变换和角的变换等，三角恒等变形也不可忽略，学生需要不断加强对这些基本内容的理解与运用能力。通观往年的数学高考题，会发现关于三角函数的基本性质的考察，题型较小，以填空题较为常见，难度偏于中等。主要考查学生对三角函数的基本性质和概念的理解与灵活运用能力。下面例题1就是典型的填空题。为了更好帮助学生在考试过程中避免出现失误，还需要帮助学生了解和掌握三角函数的命题规律以及每种题型的解题技巧，寻找最适合的解答方式。当试卷中出现了未知度数的角之后，首先要寻求的就是转化方式，从已知条件中找到未知角与已知角之间的联系，找到它们之间的条件关系或者数量关系，尝试着将之转化为已知的角度。若遇到的是三角函数的最值问题或者周期变化的问题，就要马上联想到周期恒等公式，将原来的式子转变为三角函数的解析式，这样有助于求解。三角函数的重要特点之一就是其变化形式的多样性和复杂性，其图像也是千变万化的，极富有灵活性。教师在讲解这类题目时，不仅需要一边讲解，还需大致画出其图像，利用数形结合的思想，化难为易，化复杂为简单，化抽象为具体，启发学生的思路，调动学生的探索数学知识的热情，帮助学生更好地理解抽象的知识体系。

（二） 与向量相关的知识点分析

在做与向量相关的题目时，需注意将之与普通的数量相区分，向量也表示一种数量关系，但它却兼有“大小”和“方向”，由三要素组成，分别是起点、方向和长度，缺一不可。向量的相关运算法则及运算性质，如三角形法则及其不等式，基本的交换律、结合律以及坐标运算等;向量的数乘运算公式、运算律、向量共线定理、平面向量的数量积等，学生应当将这些基本知识熟练掌握。对于一些基本的向量概念，如零向量的单位长度虽然为0，但它的方向是任意地，而且与任一向量平行;而平面向量又与代数、几何、三角函数等板块的知识点相通，厘清这些概念与定理的基本内容之后，就有助于学生搞清楚向量与代数、几何、三角函数等之间的转化关系，加深对各种知识的理解和贯通能力。

二、 三角函数与向量交汇题的解题策略分析

（一） 三角函数平移与向量平移的策略分析

平移是三角函数与平面向量都会遇到的问题，即使这两个领域涉及的平移可能会各有不同，但是其实质则大同小异。这种类型的题目是将三角函数与向量的平移巧妙地结合在一起了，主要考查学生分析题目、寻找正确思路的综合能力，有的也涉及方程的思想与转化的思想。我们在解这类题时可以將之统一于同一个坐标系统中，通过观察其前后变化的两个图像来找到解题的切入口。在分析解答这类题目时重点应当注意的有：一是图像平移的方向;二是平移的距离。这两点体现的就是图像在平移过程中所对应的向量坐标。另外，结合向量的平移问题，也有考查函数解析式的情况，此时需要厘清平移前后的两个等式之间的关系，如将函数y=f（ωx）按向量a=（h，k）进行平移，那么平移后的函数解析式为y=f[ω（x-h）]-k，有了这个公式，学生在求解这类题目时，可以很方便快捷地列出平移之后的公式。

就三角函数与向量平移的问题，我们主要关注的是图像的平移方向与距离，以例题1为例，我们将探讨其具体的解题策略。

例题1：将函数y=sin2x的图像按向量a=（-π/6，-3）平移后，得到函数y=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的图像，则φ和B的值依次为    。

根据题目的具体要求，我们可以找到两种方式：一是根据已知向量a的坐标可以得到等式x=x′+π/6和y=y′+3，将之与题干所给出的已知条件结合即可得到φ和B的具体值;二是由向量的坐标得到图像的两个平移过程，由此可以确定平移后的函数解析方式，再经过对比可以做出选择。

第一种解题方式：由平移向量知向量平移公式x=x′+π/6和y=y′+3，代入原解析式y=sin2x得到y′+3=sin2（x′+π/6）即得到y=sin（2x+π/3）-3，由此知道φ=π3，B=-3。

第二种解题方式：由向量a=（-π/6，-3），可以得到图像平移的两个过程，第一次平移，试讲图像向左平移π/6个单位;第二次平移是在第一次平移的基础上向下平移3个单位，由此可得函数的图像为y=sin2（x+π/6）-3，即y=sin（2x+π/3）-3，解答，得出φ=π3，B=-3。

像平移这类题目，在历年高考真题中，非常容易出现填空题，此类题目切入口小，考查的知识点却全面而深入，解答的关键也是学生特别容易出错的地方，就是确定平移的方向与平移的多少。这类题目能够综合考查学生对知识点的理解能力和贯通能力。

（二） 三角函数与向量平行（共线）的解题策略分析

三角函数与向量平行（或者共线）的情况下，就需要从向量平行（或者共线）的条件入手。向量与三角函数是可以互相转化的，这类题的解题思路就是将向量问题转化为三角函数的问题，然后从三角函数的相关知识出发，试着对三角函数解析式进行化简;或者也可以通过观察坐标，结合三角函数的图像变化与其性质进行分析求解。这类题目的转化思想比较明显，有利于考查学生对基础知识的熟悉程度和运用能力，因此在高考中常有考查。以例题2为例，对这类题进行分析：

例题2：三个锐角A、B、C的和为π，向量p=（2-2sinA，cosA+sinA）与向量q=（cosA-sinA，1+sinA）是共线向量;请解答：（1）求角A;（2）求函数y=2sin2B+cos（C-3B）/2的最大值。

根据题目分析：根据向量共线的充要条件，我们可以建立一个三角函数等式，由题目可以求得A角的正弦值，从此再从角的范围出发即可解决第1小题，其具体解答步骤如下：因为向量p与向量q是共线关系，所以（2-2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（cosA-sinA），则sin2A=3/4，又因为A小于60度，所以sinA=3/2，那么A=π/3。而第2小题根据第1小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角函数恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围即可以求得最值，其最大值为2。

总的来说，这种共线问题的三角函数与向量交汇题，主要就是从向量平行（或者共线）的充要条件和三角函数的恒等变化条件出发，再紧密结合三角函数的有界性，就能找到正确的解题方案。具体而言，解答这类题目有两点最为关键，一是灵活利用向量共线的充要条件，将向量问题转化为熟悉的三角函数问题，再进行解题。二是根据条件确定B角的范围，因为在三角函数中角一般都充当自变量的角色，因此，确定角的取值范围就是解答题目的重要环节了。

（三） 三角函数与向量的模的解题策略分析

三角函数与向量的模的综合类题型，主要是利用向量的模的性质来解答（其性质是向量|a|2=a2），概括一下，可以归纳如下：根据已知条件做基础的向量运算，再结合坐标系，寻求解答方式。以例题3为例进行分析。

例题3：已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），向量|a-b|=2/55，求（1）求cos（α-β）的值;（2）若-π/2<β<0<α<π/2，且sinβ=-5/13，求sinα的值。

根據题意，首先可以运用向量的模的计算方式，结合数量积的坐标运算，我们可以很方便地解决第一个小题，得到最终结果是cos（α-β）=-3/5;对于第二小题，我们可以把α换一下形式，将之变为（α-β）+β，然后就再求sin（α-β）与cosβ就可以，最终得到sinα=33/65。

（四） 三角函数与向量垂直的解题策略分析

向量的垂直是一种特殊的向量积情况，此时向量a和b的内积为0，说明这两个向量之间的夹角θ为90°。在三角函数的知识体系中，90°角也是一个特殊角，这便是沟通三角函数与向量这两个不同知识体系的重要交汇点，学生可以多加关注此类夹角的特殊性，再根据其定义和基本性质，结合三角函数的性质和特点，可以巧妙进行解答。

以上便是三角函数与向量交汇题的常见题型，除此之外，也会有其他的情况，如斜三角形与向量的综合、结合三角函数的有界性考查三角函数的最值与向量运算、结合向量的坐标运算考查其与三角不等式相关的问题等，但只要熟练掌握前面五种题型的解答技巧，紧密结合三角函数的图像及其主要性质，对于解答这些比较少见的题型，也具有重要的启发作用。涉及三角函数的最值运算问题时，应先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如y=Asin（ωx+φ）+k，然后根据三角函数的有界性，解决问题。关于向量与三角不等式之间的问题，主要的解决方法是结合向量的坐标运算法则，先求出函数f（x）的三角函数关系式，再根据三角公式对函数f（x）的三角恒等关系，有时还可以结合三角函数的基本特性之一——单调性求出三角不等式的解集。

三、 结语

教师在教授三角函数知识点和解题技巧时，可以结合前面所讲过的向量的知识，一方面，为学生建立一种知识相互贯通的体系和思维方式;另一方面，也可以通过回顾旧的知识启发学生对新知识的思考，探索其内在的联系，能够有效帮助学生提高对新授知识的理解力，巩固以往学过的知识，促进他们逐渐学会自己概括三角函数与向量交汇题的命题规律，总结其正确的解答技巧。

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