锥度量空间中c-距离的公共不动点定理

刘艳艳，杨理平

（广东工业大学 应用数学学院，广东 广州 510520）

在度量空间中，有很多满足各种压缩型条件的不动点定理和公共不动点定理. 2007年，Huang和Zhang[1]推广了度量空间的概念，用Banach空间来代替实数空间，引入了锥度量空间这一概念，并证明了锥度量空间中的Banach压缩映射定理，以及一些压缩型不动点定理. 接着，很多学者在此基础上做了进一步的推广[2-5]. 例如史晓棠和谷峰[2]在锥度量空间中推广了扩张映射的公共不动点定理. 陈盼和孔伟铭等[3]在锥度量空间中讨论了4个自映射的公共不动点定理. Abbas和Jungck[4]证明了锥度量空间中非交换非连续映射下的公共不动点定理. 在2011年，Cho和Saadati等[6]在半序锥度量空间中引入了c-距离的定义，并获得了一些新的不动点定理. 随后，有关锥度量空间中c-距离下的不动点定理也出现了很多. 例如Aydi和Felhi等[7]证明了c-距离下锥度量空间中强耦合不动点的存在性和唯一性. Sintunavarat和Cho等[8]在有序的锥度量空间中证明了c-距离下的公共不动点定理. 韩艳和张建元[9]讨论了锥度量空间中c-距离下非连续映射的不动点定理的存在性. Yang和Hong[10]通过使用c-距离证明了在一个部分有序的锥度量空间中满足某种收缩条件的非递减和连续映射的一个新的不动点定理. 本文受文献[3, 11-12]的启发，在锥度量空间中c-距离下获得了新的公共不动点定理，并证明了公共不动点的存在性和唯一性，所得结果改进和推广了已有文献中的相关结论.

1 预备知识

定义1[2]设E是实Banach 空间， θ 是E中的零元，P是E中某非空闭凸子集.P�{θ} . 若满足：

(2)x∈P, −x∈P⇒x=θ ，

则称P是E中的一个锥. 如果 intP�∅ ，则称P为体锥. 这里 intP表示P的全体内点所组成的集合.

定义2[2]设X是一个非空集，若映射d:X×X→E满足

(2)d(x,y)=d(y,x) , ∀x,y∈X；

则称d是X的一个锥度量， (X,d) 称为锥度量空间.

(3) 若对X中的每个柯西列都收敛，称 (X,d) 为完备的锥度量空间.

定义4[13]设映射f,g:X→X，对 ∀x∈X，如果f(x)=g(x) ，那么称点x为映射f,g的重合点.

定义5[6]设 (X,d) 为锥度量空间，映射q:X×X→E满足下列条件：

引理1[4]设X为非空集，f,g:X→X为两个映射，f,g是弱相容的，若f和g在X中有唯一的耦合点y，则y是f和g在X中唯一的公共不动点.

引理2[12]设 (X,d) 是锥度量空间，q是X上的c-距离， {xn} ， {yn} 是X中的序列. 设x,y,z∈X， {un}是锥P中收敛到 θ 的一个序列，则下列结论成立：

引理3[12]锥度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

引理4[14]设(X,d)是锥度量空间，q是X上的c-距离，如果x,y∈X，使得q(x,y)=θ并且q(y,x)=θ，则x=y.

注：由文献[6]中例2.8和例2.10可知，在c-距离下q(x,y)=q(y,x)不一定成立；且q(x,y)=θ也不等价于x=y.

2 主要结果

定理1 设(X,d)是完备的锥度量空间，q是X上的c-距离，连续自映射f,g:X→X，对∀x,y∈X有

证明 任取x0∈X，存在x1∈X，使得x1=fx0，x2=gx1，依此类推，则存在序列{xn}∈X，使得x2n+1=fx2n,x2n+2=gx2n+1,n=1,2,···. 则由式(1)得

所以

类似地，由式(2)得

所以

令v2n=q(x2n,x2n+1)+q(x2n+1,x2n) ，将式(3)和(4)相加得

由上式得

同理可证

由上述可得

对 ∀m>n>1 ，有

所以

令v=gv=fv，则

故q(v,v)=θ .

下证x∗是f,g的唯一的公共不动点，令y∗∈X是f,g的另一个公共不动点，即y∗=fy∗=gy∗. 则有

同理可得，

由于当v=gv=fv时，q(v,v)=θ . 则q(x∗,x∗)=θ ，q(y∗,y∗)=θ .

将式(5)和(6)相加得

所以q(x∗,y∗)=θ ，q(y∗,x∗)=θ ，由引理4即得x∗=y∗. 唯一性得证.

注1 在定理1中，去掉了文献[6]中映射的非减性，并且由单个映射的不动点定理推广了两个映射的公共不动点定理且证明了公共不动点的存在性和唯一性. 令g=f，a4=a5=0 ，可得文献[7]中的定理3.3. 若令a1=A，a2=a3=B，a4=a5=D，即得文献[15]中的定理3.

推论1 设 (X,d) 是完备的半序锥度量空间，P是正规常数为K的正规锥.q是X上的c-距离，自映射f,g:X→X，对 ∀x,y∈X，有

当y∈X,y�fy，有

当y∈X,y�gy，有

证明 由定理1知，任取x0∈X，存在x1∈X，使得x1=fx0，x2=gx1，依此类推，则存在序列 {xn}∈X，使得x2n+1=fx2n，x2n+2=gx2n+1，n=1,2,···.

对m>n≥1，有

又因为P是正规常数为K的正规锥，有

若y�fy，则有

得出矛盾，因此有y=fy.

同理，可证得y=gy.

类似定理1可证得唯一性和存在v∈X，当v=gv=fv，使得q(v,v)=θ .

注2 在推论1中，去掉了文献[6]中映射的非减性和连续性，并且由单个映射的不动点定理推广了两个映射的公共不动点定理. 当a4=a5=0 时，所得的定理是对文献[8]中定理3.5的推广.

定理2 设 (X,d) 是完备的锥度量空间，q是X上的c-距离. 令连续递减函数a(t):E+→(0,1) . 假设映射f,g:X→X，对 ∀x,y∈X有

若f(X)⊂g(X) 且g(X) 是X中的完备子集，f,g是弱相容，则f,g有唯一的公共不动点.

证明 任取x0∈X，由于f(X)⊂g(X) ，则存在一点x1∈X，使得fx0=gx1，依此类推,存在一个序列 {xn} ，使得fxn=gxn+1(n=0,1,2,3,···.) . 由式(7)得

则有

所以q(y,y)=θ. 由q(y,fxn)=θ ，q(y,y)=θ，由引理2可知fxn=y，因此，可得y=fxn=gxn，则y是f,g的一个重合点.

若gxn�gxm,其中m,n∈{0,1,2,3,···},m�n，则有

即u=fx∗，所以u=gx∗=fx∗，可得u是f,g的重合点.

下证重合点的唯一性.

假设w∈X是f,g的另一个重合点，并且w�u，存在一点y∗，使得w=gy∗=fy∗.

则有

所以q(u,w)=θ,q(u,u)=θ，即得w=u.

唯一性得证. 由引理1可知f,g有唯一的公共不动点.

注3 在定理2中，推广了文献[2]定理1的结果，将锥度量的公共不动点推广到了c-距离中的公共不动点，并采用不同的方法证明了公共不动点的存在性和唯一性.

推论2 设(X,d)是完备的锥度量空间，q是X上的c-距离. 令连续递减函数a(t):E+→(0,1). 假设映射f:X→X，对∀x,y∈X有

则f有唯一的不动点.

注4 在推论2中，推广了文献[2]中推论1的结果，将锥度量中的不动点定理推广到了c-距离中. 并且当q=d时，可得锥度量空间中的不动点定理. 若令定理中E=R，我们可以得到度量空间中一系列的不动点定理，对文献[16]中的第3页第(2)类压缩型映像不动点定理进行了推广.