“直线的参数方程”(第一课时)教学设计

王进

一、教材分析

本课是普通高中课程标准教科书数学（选修4-4）人教A版第二讲第三节第一课时.参数方程相对普通方程，是曲线的另一种表达形式，它弥补了普通方程表示曲线方程的不足，是“数”与“形”的又一次完美结合.本节是在认识了曲线的参数方程的基础上，进一步探究直线的参数方程.

本节课所学内容是前面学习内容的延续，符合数学逻辑，所涉及的研究方法可类比之前研究圆和圆锥曲线的参数方程的方法，具有延续性.从本节课的内容特点分析，学习过程中历经发现问题、提出问题，在讨论和比较中充分体会直线的参数方程在解决直线上两点间距离时的优越性，体会直线的参数方程的应用价值.通过上述过程，学生完善了知识结构，体会到直线的参数方程式参数方程内容的延续、方法的再现，并从中培养学生的探究习惯和使用类比的方法来研究问题，提高应用意识.

二、学情分析

在必修2已学习了直线的5种方程和圆的两种方程，在选修2-1也已学习了圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程，这些都是在直角坐标系中建立的普通方程;在本册第二讲的前两节刚刚学习圆锥曲线的参数方程，会普通方程和参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题（如最值问题、定值问题）中的一些应用，对参数方程在求轨迹与解题方面的优越性有了一定的体验.

从方法上看，关于参数方程中参数的选择，圆的参数方程中参数是从物理意义引入，再阐明其几何意义，抛物线的参数选择有两个方向，首先在参数方程的引例中物理意义引入，在后面抛物线的参数方程中，又得到了两种几何意义上的参数.直线的参数方程中参数的选定对学生相当困难，虽然可以根据确定直线的几何条件联想到向量，但是，如何建立联系是难点，特别是学生对单位向量不了解.授课对象为山东省聊城第三中学高二下学期学生，学生对平面向量（高一必修四学习过）的知识有所遗忘，但学生的学习习惯较好，课堂所设计的问题基本解决.

三、教学目标设计

根据内容解析与学情分析，参照《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，作为第一课时，确定这节课的教学目标如下.

（1）通过确定直线的几何条件，引导学生利用向量工具建立直线的参数方程，培养数学建模的素养;会求解直线上两点间的距离，直线上某些特殊点对应的参数，体会参数方程相对普通方程的优越性，提升数学运算素养;在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模的核心素养;

（2）体会从特殊到一般，数形结合等数学思想在参数方程中的应用;

（3）体会参数在应用的过程中要经历引参、用参、消参，体会参数的“无私奉献的精神”，对学生适当地进行情感態度价值观培养.

根据以上背景分析与目标分析，确定本节课的教学重点与教学难点如下.

教学重点：直线的参数方程中对参数几何意义的理解以及参数方程的简单应用.

教学难点：直线的参数方程中参数的选择、直线的单位方向向量的确定.

四、教学设计思路与教法分析

按照提出问题—独立思考—探究合作—小组展示—应用回顾的顺序，学习的过程中，体验从特殊到一般，一般到特殊探索、解决问题的途径.在数形结合、转化与化归的过程中，在提出问题、解决问题的过程中，提升学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升数学素养，提高应用意识.

教学方法：根据新课程理念，坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，结合学生特点，本节主要采用启发学生自主探究和引导小组讨论的教学方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率.

五、教学过程设计

（一）问题引入

教师引语：同学们，我们在必修2已经学习了直线的五种方程，在选修2-1也已学习了圆锥曲线的普通方程，在本册前面两节，我们刚刚学过圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，体会到了参数方程在解决最值、距离等问题时的优越性，那么直线的参数方程是什么呢？它又会给我们带来哪些惊喜呢？下面我们进入今天的学习.

设计意图：联系前面的知识，回忆有关内容，激发学生兴趣，面对解析几何部分学生有些望而生畏，本节又激发了学生学好解析几何的信心.

展示本节课的学习目标.

问题1

（1）在平面直角坐标系中，确定一条直线需要哪几个条件？

（2）当已知直线上一个定点（x0，y0），倾斜角为α时说出直线的方程.

（3） ①数乘向量λa的长度与方向是怎样规定的？

② 共线向量定理

师生活动：教师提出问题，学生思考后回答，引导学生对本源性的知识回顾.第（1）个问题中，学生说两个点，或是一个点和斜率，在此就暴露了学习中的不严谨.紧接着第（2）个问题，学生使用了点斜式方程，但又忽略了斜率不存在的情况，在此纠正错误，并为参数方程中不需讨论倾斜角等不等于90度埋下伏笔;另外，从向量的角度，倾斜角体现了方向，一个点，为直线参数方程的推导中向量这个工具的引入打下基础.第（3）个问题，学生可能不知道和本节课的联系，但在接下来借助向量的运算中推导参数的几何意义提供理论依据，让学生体会基础知识的重要性.

设计意图：通过对直线和向量知识的回顾，回归本源，启发知识联想，为利用向量解决参数方程问题做好铺垫.在此体会解析几何研究问题的视角，数与形的结合.

（二）新知探究

问题2

（1）如何利用倾斜角α写出直线l的单位方向向量e？并说明e的方向;

（2）如何用e和M0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？

师生活动：学生阅读教材后思考，然后小组讨论，并将讨论结果展示.第（1）个问题中表示单位方向向量e时用到了任意角三角函数的定义，这里体现学生的学习基础，并体会知识的联系（本身向量和三角函数就有很紧密的联系），说明e的方向需要数形结合来看;第（2）个问题是难点，在此需要引入参数，怎么想到设t，学生在已经阅读完教材后再回答，难度降低，在此用到了共线向量基本定理，又是基础知识的应用，学生进一步体会到基础的重要性.