多一点想少一点算

姜艳红 余小芬 朱勇

【摘要】以2018年高考数学试题为例，分析了“多想少算”的十种策略：极限策略、观察策略、数形结合策略、分离变量策略、猜想策略、设而不求策略、特殊化策略、正难则反策略、换元策略、巧用结论策略.

【关键词】多想少算;高考;数学试题

【基金项目】四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（ZY16001）.余小芬系本文通讯作者.

2018年《普通高等学校招生全国统一考试大纲》指出：“数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查.”其中，在能力要求方面强调：“能发现问题、提出问题，综合与灵活地應用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.”“能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.”由此可见，2018年高考数学命题依然坚持“以能力立意”，坚持“多一点想，少一点算”的命题理念，侧重考查学生对知识的综合、灵活应用，检测学生将知识迁移到不同情境中去的能力，检测考生的个性思维及学习潜能.因此，把握“多想少算”的解题策略是制胜高考的重要途径，而所谓“多想少算”是指多做有价值的多向、多面、多次之想，少做盲目、繁杂、低效之算.[1]本文以2018年高考数学试题为例，分析“多想少算”的十种思维策略.

一、极限策略

极限策略是重要的数学解题策略之一，是“极限逼近”思想在解题中的渗透.通过有限化无限（或无限化有限）的方式，可以从宏观上把握数或形的变化趋势，避免细节讨论的烦琐.

例1（2018年全国Ⅱ卷理科3题）函数f（x）=ex-e-xx2的图像大致为（）.

A

B

C

D

点评本题考查“由式识图”，该题型是近年高考热点题型，旨在考查学生对函数图像、性质的把握，考查学生对问题解决方法的灵活选择.由极限思想分析：当x→∞时，ex→+∞，e-x→0，x2→+∞，故 limx→+∞f（x）=limx→+∞exx2=+∞.同理， limx→-∞f（x）=-∞.因此，排除A，C，D选项，该策略避免了取值验证、求导分析等烦琐计算.

二、观察策略

通过选项支的特征，选取特殊值代入验证，是解答选择题的一种常用策略途径——否定3支.即只要能否定3支便自动肯定第4支（而无须证明其正确），否则4个全是误诱导，题目是错题.[2]

例2（2018年北京卷理科8题）设集合A={（x，y）|x-y≥1，ax+y>4，x-ay≤2}，则（）.

A.对任意实数a，（2，1）∈A

B.对任意实数a，（2，1）A

C.当且仅当a<0，（2，1）A

D.当且仅当a≤32，（2，1）A

点评本题考查对含参平面线性区域的理解.通过观察四个选项支的结构形式，取a=0，得（2，1）A，故A，C错误.再观察B，D选项，取a=2，得（2，1）∈A，排除B.故选D.由此可见，通过观察条件，选取特殊的a值代入验证，巧妙地回避了分类讨论，简化了运算.

三、数形结合策略

数学家华罗庚曾说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微.”可见，数形结合策略的实质就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合.[3]

例3（2018年上海卷12题）已知实数x1，x2，y1，y2满足：x21+y21=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值为.

点评解决问题的关键是将条件、结论中的代数结构转化为几何特征：如图1所示，A，B位于圆上，半径OA与OB夹角为60°，所求问题为A，B两点到定直线l的距离之和的最大值.由于A，B为圆上的动点，若直接利用点到直线的距离公式求解含参太多，计算复杂.故利用梯形几何特征将两垂线段（梯形上、下底）的和转化为弦AB中点到直线l的距离（梯形中位线），再利用圆的性质判断出满足条件的弦AB中点位置，进而求得最大值.

四、分离变量策略

分离变量是处理含参函数、方程、不等式问题的常见方法.通过分离变量，往往可避免对参数的讨论，而把原问题转化为求常见初等函数值域（或最值）问题.

例4（2018年天津卷理科14题）已知a>0，函数f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，x>0， 若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.

点评本题以分段函数为载体，考查一元二次含参方程根的个数问题.通过分离变量得：a=f（x）x=x+ax+2a，x<0，-x-2ax+2a，x>0.

进一步转化为曲线g（x）=x+ax，x<0，-x-2ax，x>0 与直线y=-a有两个不同交点（如图2所示），

再利用“双勾函数”图像性质求解.避免了讨论参数a、表示判别式Δ、求解不等式等烦琐过程.

五、猜想策略

牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就不会做出伟大的发现.”而在传统数学教学中，往往重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成的结论.学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程[4]，这不利于培养学生的合情推理能力及创新意识.而猜想策略是解题者根据自身知识储备、解题经验、思维方式，结合问题条件或实验现象、数据等，对研究对象的性质或可能存在的结果进行大胆、合理的猜想.科学合理地猜想能有效培养学生的推理能力，引导学生探索有趣的数学规律和现象.

例5（2018年全国Ⅰ卷理科12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）.

A.334

B.233

C.324

D.32

点评猜想并非凭空想象，而是依据题设条件，进行合乎情理的猜想.如图3所示，根据正方体的对称性，将问题转化为想象面A1BC1平移至面ACD1的运动过程，再根据对称性及截面面积大小的增减变化，猜想出截面的最大位置为图3中正六边形MNEFGH，从而解决问题.

六、设而不求策略

“设而不求”是指在解题时根据需要增设一些辅助元（参数）作为媒介以利于思考和解题，但在解题过程中并不求这些辅助元，而是巧妙地将其消去.采用设而不求的策略往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果.[5]

例6（2018年全国Ⅲ卷理科16题）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB=90°，则k=.

点评求解AB斜率，往往是求出A，B两点坐标，再根据斜率公式计算.但直接计算较为烦琐，因此，可根据M在抛物线准线上，且∠AMB=90°，得到MA，MB为抛物线切线（如图4所示）.再利用导数与斜率关系、两点斜率公式分别建立关于yA，yB的方程，从而利用韦达定理、整体代入思想求解直线AB的斜率.

七、特殊化策略

特殊化策略是根据题设条件或选项支，选取满足条件的特殊数值、特殊函数式或特殊方程进行验证，从而排除选项的解答策略.[6]

例7（2018年浙江卷8题）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱均相等，E是线段AB上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则（）.

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

点评如图5所示，本题可通过特殊化四棱锥的边长（例如，假设SA=SB=SC=SD=AB=4）、特殊化动点E的位置（当动点E与AB中点Q重合，或当动点E为BQ中点M），简化运算，降低思维难度，节约求解时间，提高解题效率.

八、正难则反策略

若从问题的正面、顺向出发，难以解决，将问题转化为反面，进行逆向思考，即“正难则反”的解题策略.该解题策略实质反映的是一种逆向思维.[3]

例8（2018年浙江卷16题）从1，3，5，7，9从中任取2个数，从0，2，4，6中任取2个数，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数.（用数字作答）.

点评本题若正面求解，需讨论选0与不选0的情况，其中选0又要注意不能放首位，因此，讨论情形较为复杂，易重复或算漏.故本题从反面进行考虑，先算出不重复的四位数（包括首位为0）的总数C24·C25·A44，再减去首项为0的总数C13·C25·A33，从而求得符合要求的四位数个数.该策略减少了分类，降低难度.

九、换元策略

换元策略是变换思想的重要体现，它在解决方程、函数、数列、圆锥曲线等知识中有着广泛的应用.所谓换元策略是在解决问题的过程中用一个“新变量”替换原问题中的变量，以此减少变量个数、降低变量次数等，从而将原问题中的复杂结构简单化、明朗化.常见的换元方法有三角换元、整体换元、对称还原、均值换元等.

例9（2018年浙江卷17题）已知P（0，1），椭圆x24+y2=m（m>1）上两点A，B，满足AP=2PB，则m=时，点B的横坐标的绝对值最大.

点评本题可采用三角换元表示椭圆上动点B（2mcosθ，msinθ），进而利用向量共线的坐标表示求得A（-4mcosθ，3-2msinθ），再利用点A与椭圆的位置关系建立方程，将问题转化为求一元二次函数最值.避免了联立直线方程与椭圆方程求解的烦琐过程.

十、巧用结论策略

高考试题中常有一些重要结论的背景，利用重要结论解题是非常有效的策略.

例10（2018年全国Ⅱ卷理科11题）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）.

A.1-32B.2-3

C.3-12D.3-1

解析已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=θ，则离心率e=1sinθ+cosθ.由此结论，易求e=sin90°sin30°+sin60°=3-1，故选D.

点评由解析可见，灵活运用结论，就可避免“小题大做”，节约解题时间，提高解题效率.特别指出，上述结论并非“繁难偏怪”，只需在焦点△PF1F2中，利用椭圆定义及正弦、余弦函数即可证明.事实上，若将上述“结论”中的条件更一般化，还可获得结论：已知F1，F2是椭圆上的两个焦点，P是椭圆上的一点，其中∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠PF2F1=λ，则离心率为e=sinαsinβ+sinλ.（有兴趣的读者可自行证明，此处略）

数学解题并没有完全的模式化，解题的策略也往往不止一个，需要解题者根据已知信息进行策略的决策，使得更加高效、优化地解决问题.[6]

【参考文献】

[1]李雪梅，赵思林.基于多想少算的数学解题策略[J].中学数学研究，2010（4）：19-21.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西：陕西师范大学出版社，2001.

[3]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]李曉峰，周赛君.解析几何问题中的“设而不求”与“设而求之”[J].中学数学月刊，2015（10）：44-45.

[6]余小芬.函数客观题“多想少算”的解题策略[J].高中数学教与学，2018（7）：29-31.