基于PSO-IGA算法的高性能十字阵列的设计与综合

江 冰，缑 琳，唐 玥

(河海大学物联网工程学院，江苏常州 213022)

作为多输入多输出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)雷达系统研究设计极其重要的部分，阵列天线很大程度上决定了雷达的性能［1］。与线性阵列相比，平面阵列可以实现数字波束在俯仰角和方位角同时扫描目标，以达到更精确、全方位的目标探测性能。然而，平面阵列需使用大量阵元及其他射频器等，增加了雷达系统的复杂性和成本［2-3］。为降低MIMO雷达制造成本和系统复杂度、提高工程应用中的实用性，结合俯仰角和方位角波束的十字阵列MIMO雷达可以极大地满足该需求，能够有效地解决雷达性能与成本之间的矛盾关系。文献［4］在十字阵列中采用并行子阵波束实现三维声呐成像，降低了计算量。文献［5］使用ESPRIT算法降低回波数据维度，使用空间联合技术进行目标角度估计。

其次，阵列天线综合使得阵列天线具有极窄的主瓣宽度和抑制旁瓣等特点的同时能更进一步减少阵元使用数量。早期阵列天线综合方法主要是根据实际需求对方向图进行数值计算、变换代换和分析，如道尔夫-切比雪夫综合法、泰勒综合法等［6］。现代智能优化算法因其综合精度高、使用范围广等特点有效地应用于规模较大、复杂性较高的阵列布阵优化问题。目前较成熟且应用广泛的智能优化算法有神经网络算法、遗传算法、粒子群优化算法、免疫算法等［6］。文献［7］首次将遗传算法应用于阵列天线综合。文献［8］提出使用遗传算法优化阵列天线的阵元激励，获得了带零陷角度的方向图。文献［9］使用改进粒子群算法优化了给定零陷和最高旁瓣电平的稀疏线性阵列天线。

本文设计了一种结合方位角和俯仰角波束的改进十字阵列天线，在保持较高角度分辨率的同时极大地降低了阵元的使用数量，同时使用免疫粒子群算法对该十字阵列进行稀疏优化布阵，该算法具有更高的收敛速率，经过优化布阵后的十字阵列具有优越的相对旁瓣电平以及低廉的制造成本。

1 改进十字阵列天线

1.1 改进十字阵列天线模型

考虑如图1所示的M+N元十字阵列天线，在X轴和Y轴上各自分布着均匀直线阵列，其中，X轴上有M个阵元，阵元间距为dx，产生俯仰角方向上的数字波束；Y轴上有N个阵元，阵元间距为dy，产生方位角方向上的数字波束。假设一个方位角为θ、俯仰角为φ远场窄带平面波穿过该平面阵，结合方位角和俯仰角波束，该十字阵列的方向图函数如式(1)所示。

式中，ωxm为X轴上第m个阵元的加权系数；ωyn为Y轴上第n个阵元的加权系数，且ωmn=ωxm×ωyn，k=2π/λ。

图1 M+N元十字阵列天线

结合MIMO技术，在十字阵列各端添加发射阵元，形成如图2所示的M+N+4元改进十字阵列。方位角方向上可视为一个2发N收的线性阵列，且发射阵元间隔dt与接收阵元间隔dr之间存在倍数关系dt=Ndr，则该线性阵列的方向图函数可由式(2)表示［10］：

式中，ωt为第t个发射阵元的加权系数；ωr为第r个接收阵元的加权系数，且 ωp=ωtr=ωt×ωr，k=2π/λ。由式(2)可看出，方位角方向上的2发N收的MIMO阵列性能等同于1发2N收的单输入多输出(Single Input Multiple Output，SIMO)阵列；同理，俯仰角方向上的2发M收的MIMO阵列性能等同于1发2M收的SIMO阵列。由此可得，该M+N+4元改进十字阵列具有与2M+2N元十字阵列相同的阵列天线性能。

图2 M+N+4元改进十字阵列天线

位于坐标中心的50+50栅格的改进十字阵列，栅格点代表一个阵元，间距为d=λ/2。X轴与Y轴阵列阵元数量均为N，各向同性且相位相同，阵列孔径均为D。为了在优化过程中始终保持阵列孔径的大小，将第1个和第N个阵元固定在第1个和最后1个栅格，因此阵元位置可以表示为 Sx=［-D/2，x1，…，xN-2，D/2］T与 Sy=［-D/2，y1，…，yN-2，D/2］T，且关于 X轴和Y轴对称，即有dx=dy。引入天线标志位Cn来表示第n个天线位置上是否存在天线阵元，即Cn=0表示第n个栅格上不存在阵元，Cn=1表示第n个栅格上存在阵元。由此可将式(1)转化为

改进十字阵列方向图最大相对副瓣电平(Maximum Sidelobe Level，MSLL)可确定亲和力函数为

式中，max(·)为求最大值的函数；AF(θ，φ)为主瓣峰值；A为方向图的旁瓣区域，假设主瓣的宽度为2θω，方向图的可视区域为［-π/2，π/2］，则该区域A可表示为

1.2 改进十字阵列天线的性能仿真

考虑如表1所示的三种配置参数的阵列天线。为了更好地对比分析改进十字阵列的性能，其中矩形阵列和十字阵列分别采用单向和双向波束形成。设置信噪比为-10 dB，所形成方向图为旁瓣电平为-20 dB的道尔夫-切比雪夫分布。

表1 矩形阵列、十字阵列、改进十字阵列的参数配置

三种阵列天线产生的方位角方向的方向图如图3所示，可以看出24元改进十字阵列主瓣宽度均比其他阵列天线的主瓣宽度窄，为20元十字阵列天线单向波束形成时主瓣宽度的0.5倍；其旁瓣高度几乎与其他阵列天线单向波束形成时的方向图相同，约等于其他阵列天线双向波束形成的0.5倍。由此可以表明，由此可以表明，与M×N元平面阵列相比，M+N+4元改进十字阵列中阵元使用数量从M×N个减少到M+N+4个，使得该十字阵列在保持着较高的角度分辨率的同时有效地降低了系统成本；与M+N元十字阵列相比，M+N+4元改进十字阵列通过添加4个发射阵元提高了系统的角度分辨率。

图3 改进十字阵列与矩形阵列、十字阵列方位角方向图对比

2 免疫粒子群算法

2.1 改进的粒子群算法

为进一步提高改进十字阵列的性能，降低系统的复杂性，采用现代智能优化算法对该阵列进行优化布阵，其中粒子群(Particle Swarm Optimization，PSO)算法能充分利用种群间个体信息共享机制进行全局随机搜索［6］任意次迭代过程中，粒子根据两个极值调整速度和飞行方向：个体最优解 pBest和全局最优解gBest［11-12］。在迭代过程中，粒子受 gBest的影响较大，当gBest仅在局部为最优值时，以gBest为中心的区域内收敛速度很快，容易造成迭代过程停滞。

为减小种群对gBest的依赖，首先引入模糊全局最优值fBest作为粒子速度和位置更新的参数；其次，根据粒子之间的相似度大小将粒子群分类，分别为最优子群、次优子群和最差子群。使用不同准则更新不同子群的中粒子的速度和位置，降低gBest对整个种群的影响，提高粒子的全局搜索能力。其中，fBest为正态分布的随机变量，其定义如式(6)。

式(6)中，σ为一个递减函数，用来描述gBest的作为最优解的不确定程度，其意义是，随着搜索的进行，gBest作为最优解的可能性越大。式(7)中，gmax为迭代次数，σmax、σmin和 α 分别取0.15、0.0001 和 0.4。

假设粒子群体的个数为M，粒子维度为N，则第i(i=1，2，…，M)个粒子第a代的种群位置为X=(xai1，置之间的亲和度，进行排序分组，可得粒子i第a代飞行过程中个体最优位置fBesti和种群最优位置gBesti。所有粒子第a代飞行结束后得到的最优种群位置为Aa=(gbest1a，gbest2a，…，gbestam1)，根据式(6)可得模糊全局最优值为 Fbesta=(fbest1a，fbest2a，…，fbestam1)，则最优子群中粒子的更新速度和位置计算公式如下：

式中，rand1和 rand2为［0，1］之间的随机数；惯性权重值ω和学习因子c1、c2的计算公式如下：

式中，di代表i粒子与其他粒子的平均距离；dmax和dmin分别为最大值和最小值。di由式(14)所得。

式中，M1代表最优子群中粒子个数；N代表每个粒子的维数。

次优子群随机选择最优子群中的gBestj作为更新参数，位置更新如式(9)所示，速度更新公式如式(15)所示。

最差子群随机选择模糊全局最优值作为更新参数，子群中粒子速度更新公式如式(16)所示，位置更新公式同式(9)。

2.2 算法步骤

使用改进的粒子群算法优化免疫遗传算法且将其应用于阵列天线综合，算法步骤如下：

步骤1，初始参数：种群大小M，进化代数gmax，抗体相似性系数η，变异率pm，粒子每一维最大最小速度Vmax、Vmin，最大最小坐标 Xmax、Xmin。

步骤2，输入目标函数作为抗原，即设置亲和力函数如公式(4)所示。同时，初始化阵元位置种群X1={x1，x2，…，xM}和速度 V1={v1，v2，…，vM}。

步骤3，计算每个抗体 xi(i=1，2，…，M)和抗原MSLL函数的亲和度，同时可以计算出全局极值gBest和个体极值pBest。

步骤4，在进化代数小于gmax且未达到算法精度要求时，进行以下操作：

① 计算阵元 y2i(i=1，2，…，M)和阵元 xj(j=1，2，…，M)之间的亲和度 xi，j；

② 计算阵元xi(i=1，2，…，M)的抗体浓度 Ci和生存期望值E(xi)，并对生存期望值E={E(x1)，E(x2)，…，E(xM)}进行排序；

③取出抗体生存期望值较高的前M1(M1≥M)个阵元得到新的阵元位置Y1，对新的阵元位置Y1进行交叉和变异操作得到子代阵元位置Y2={y21，y22，…，y2M1}；

④ 计算子代阵元 y2i(i=1，2，…，M1)与抗原MSLL函数的亲和度；

⑤将父代阵元位置Y2和子代阵元位置Y1合并，得到一个包含2×M1阵元的种群Y3={y31，y32，…，y3*2M1}；

⑥计算Y3与抗原的亲和度，选择亲和度较高的前M个抗体作为新的阵元位置种群X2={x21，x22，…，x2M}；

⑦ 根据x2i(i=1，2，…，M)之间的亲和度更新阵元的pBest与gBest，若更优，则更新，否则不变；

⑧ 计算惯性加权值ω和学习因子c1、c2，根据x2i=(i=1，2，…，M)之间的亲和度对X2进行粒子群优化算法更新，使用模糊全局最优值更新分组后子群中的抗体的速度和位置。

步骤5，输出全局最优解gBest，更新阵元位置。

3 仿真实验与分析

3.1 基于免疫粒子群的改进十字阵列的性能分析

设定栅格50+50改进十字阵列天线，X轴与Y轴上阵元个数均为20，阵元各向同性且幅值相位相等，栅格间距为d=λ/2。初始设置如下：种群大小N=100，进化代数gmax=500，抗体相似性系数η=0.8，变异率 pm=0.7，加权系数 ω=0.9，学习因子 C=1.49445，粒子最大速度Vmax=0.5λ，各坐标轴上阵元最大、最小位置为Xmax=12.5λ、Xmin=-12.5λ及Ymax=12.5λ、Ymin=-12.5λ，且 Xi=Yi(i=-10，…，10)。

采用免疫粒子群算法进行改进十字阵列综合得到方向图如图4所示。优化结束时，算法进化到361代，优化后 X轴正半轴阵元位置分布为1001000101110000100001101，阵 列 天 线 MSLL为-17.56087 dB，运行耗时2'13.6740″。为了更加明确地对比分析，图4同时给出了采用免疫遗传算法得到的阵列方向图，图5给出了两种算法最优值与进化代数之间的关系。

图4 免疫粒子群算法与免疫遗传算法方向图对比

图5 算法迭代过程中的性能优化曲线

由图4和图5可知，采用免疫粒子群算法综合后得到的十字阵列天线的MSLL为-17.56087 dB，免疫遗传算法的结果为-16.08135 dB，使用免疫粒子群算法优化后得到了更优的目标值MSLL。两种算法均可在给定的迭代次数内得到MSLL，免疫粒子群算法的解可在较少的进化代数内无限接近于MSLL，而免疫遗传算法寻找MSLL的过程经过较多的步数，充分显示了免疫粒子群算法具有更好的收敛能力。

仿真分析阵列稀疏度与改进十字阵列性能之间的关系。设置栅格数50+50，使用免疫粒子群算法对改进十字阵列在稀疏度分别为80%、60%、40%和12%时进行阵列天线的稀疏布阵，仿真结果如表2所示，由于改进十字阵列阵元关于X轴与Y轴对称，所以表中仅列出X轴正半轴阵元位置分布。从仿真结果可知，在相同孔径不同稀疏度时，使用免疫粒子群算法优化出的稀疏阵列的性能不同。随着稀疏度的上升，阵列天线的MSLL逐渐变大，即呈现出逐渐递增的趋势。仿真实验中固定了阵列孔径，因此随着稀疏度的不同，半波束宽度几乎没有变化趋势。

表2 不同稀疏度下改进十字阵列天线主要参数

3.2 目标探测性能仿真

仿真实验1：等距不等角双目标探测。设两个等距离目标的方位角 -俯仰角分别为(90°，90°)和(122°，101°)。脉冲信号频率 f0为24 ×109Hz，信号带宽为200×106Hz，扫描角范围为［0° 180°］，扫描角范围内采样点数为10000，栅格等间距放置，间距d=λ/2。使用稀疏度为44%的改进十字阵列天线进行目标探测，所得的扫描结果如图6所示。仿真结果表明稀疏度为44%的改进十字阵列天线在对等距双目标探测中出现多个假目标，无法准确识别目标的角度信息。

图6 等距不等角双目标探测结果

仿真实验2：距离角度均不同双目标探测。设目标1的距离为200 m，方位角 -俯仰角为(90°，90°)；目标2的距离为220 m，方位角 -俯仰角为(100°，98°)。使用稀疏度为44%的改进十字阵列天线进行目标探测，所得的扫描结果如图7所示。仿真结果表明稀疏度为44%的改进十字阵列天线可以准确探测距离和角度均不同的两个目标。

图7 距离角度均不同的双目标探测结果

4 结束语

基于保证阵列天线性能的同时减少使用阵元数量的需求，设计了一种改进十字阵列天线，使用MIMO技术在方位角和俯仰角方向上同时进行空域滤波，有效地提高了阵列的角度分辨率，极大地降低了系统的成本。同时，使用免疫粒子群算法进行阵列综合，相关仿真结果表明，基于免疫粒子群算法的改进十字阵列具有更少的阵元数量、更低的副瓣电平，以及更快速的迭代效率。最后，优化布阵的改进十字阵列使用数字波束形成技术进行目标探测，实验结果表明，该阵列天线具有较好的距离、角度探测性能。