高考题怎样改编（一）——集合篇

苏 玖

一、真题展现

（2019年全国Ⅰ卷第1题）已知集合M＝｛x|-4＜x＜2｝，N＝｛x|x2-x-6＜0｝，则M ∩N ＝（ ）

A.｛x|-4＜x ＜3｝ B.｛x|-4＜x ＜-2｝

C.｛x|-2＜x ＜2｝ D.｛x|2＜x ＜3｝

二、思维延伸

其实本题中集合M 中的元素也是一元二次不等式x2＋2x-8＜0的解集，如果集合M中的元素是离散型的，如元素为整数、自然数、正整数等，于是可以改编为：

注意0也是自然数.本题求两个集合交集，两个集合之间的关系有相等、包含于或包含，如果题目条件改为包含于或包含，集合中元素可以是含有参数的方程的解，由两个集合的关系确定参数的取值.于是又可以改编为：

本题是研究集合相等的，但集合之间的关系还有子集或真子集的关系，如果题目条件改为包含于或包含，于是又可以改编为：

值得注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.本题中两个集合一个是单元素集合，另一个是两元素集合，研究其子集关系，如果两个集合中元素都是以不等式形式呈现，再来研究集合的交集、并集、补集等基本运算，于是改编为：

（1）若A ∩B ≠Ø，求a的取值范围；

（2）若A ∪B＝B，求a的取值范围；

（3）若（∁UA）∩B＝B，求a的取值范围.

利用数轴确定参数a的取值范围，方法简洁明了.如果改为三个集合的交集、并集、补集的运算，于是有：

前面集合中的元素都是x，但也可以改变集合中代表元素的含义，于是改编为：

上述都是研究数的集合，也可以改编为点集，再来求集合的交集、并集等基本运算，于是有：

值得注意的是，有一部分学生将A ∩B 又错误理解为两个函数的值域的交集，他们得出错误答案.还有同学回答为（-1，1），（4，6），这仅仅是几何中的两个元素.本题两条曲线（包括直线）是确定的，如果含有参数，那么又可以改编为：

本题的关键就是理解“集合A∩B有4个子集”所提供的信息是什么？然后将此信息再转化为几何直观想象问题，于是问题很容易求解.但也可以改编为给出两个集合运算的韦恩图，通过直观想象转化为两个集合的相关运算，于是有：

（改编9）已知全集U＝｛（x，y）|x∈R，y∈R｝，如图1所示的韦恩图表示集合M ＝｛（x，y）|x2＋y2＞4｝，N ＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2＞1｝的关系，那么阴影部分所表示的集合为 .

图1

三、点拨解析

原题解析：利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出.

因为M＝｛x|-4＜x ＜2｝，N＝｛x|x2-x-6＜0｝＝｛x|-2＜x ＜3｝，所以M ∩N＝｛x|-2＜x ＜2｝.故选C.

改编1解析：A＝｛x|-2＜x＜3｝，而集合B 中元素为自然数，于是A∩B＝｛0，1，2｝.注意0也是自然数.集合中元素可以是含有参数的方程的解，由两个集合的关系确定参数的取值.

改编2解析：因为A＝B，所以0∈A，2∈A，于是n＝0，因此，集合A 中的方程为x3-4x＝0，解之得x＝-2，x＝0，x＝2，所以，B＝｛-2，0，2｝，故m＝-2.

改编3解析：由于A⊆B，因此-1∈A，或1∈A，即log2（2m-1）＝-1，或log2（2m-1）＝1，于是或2m-1＝2，解之得或但注意A＝Ø 也合适，于是2m-1≤0，即故m 的取值集合为

改编4解析：集合A＝（-2，4），

（1）因为A ∩B ≠Ø，所以，由数轴可得，a＜4.

（2）因为A ∪B＝B，因此，A ⊆B，所以，由数轴可得，a≤-2.

（3）因为（∁UA）∩B＝B，因此，B⊆∁UA，而∁UA＝（-∞，-2］∪［4，＋∞），所以a≥4.

改编5解析：由题意得，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集C＝［-2，3］，于是，ax2＋bx＋c＝0的两个解为-2和3，且a＞0，因此，由根与系数关系得，b＝-a，c＝-6a，所以，D 中的不等式可以化为-6ax2＋ax＋a＜0，即6x2-x-1＞0，解之得故集合

也可以利用零点法表示集合C，即a（x＋2）（x-3）≤0，展开比较系数，得b＝-a，c＝-6a.这也是常用的方法.

改编6解析：很多学生将A∩B错误理解为两个方程所组成的方程组的解，于是就得出错误答案｛0，3｝.错误原因是，他们没有理解集合A，B 中代表元素的含义.事实上，集合A，B 中的元素是两个函数的值域，因此，集合A 中的元素满足y＝（x-1）2-3≥-3，所以，A ∩B＝［-3，＋∞）.

改编7解析：而本题A∩B可以理解为方程组解的集合，也可理解为两个函数图象的交点构成的集合.因此，联立方程，解之得所以，A ∩B＝｛（-1，1），（4，6）｝.

改编8解析：因为集合A ∩B 有4个子集，因此，A ∩B 中必有两个元素，其几何特征是直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2相交.利用圆心到直线距离建立不等式d＜r，于是＜，所以-2＜a＜2.故a的取值范围为（-2，2）.

改编9解析：阴影部分所表示的集合是M 与N 的并集的补集，即∁U（M ∪N），根据集合运算性质，可以转化为∁U（M ∪N）＝（∁UM）∩（∁UN）.因为∁UM＝｛（x，y）|x2＋y2≤4｝，∁UN＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2≤1｝，因此，问题转化为两个圆面（包括圆周）上的点集的交集，由几何直观图形可知，两个圆外切，只有一个元素，所以所求集合为｛（2，0）｝.

四、回顾悟道

集合的基础知识蕴含于代数、三角、几何等诸多学科的学习过程之中，是研究问题的基础.在A ⊆B 的关系中，应注意A＝Ø的讨论.常用的等价形式有：A ⊆B⇔A ∩B＝A⇔A∪B＝B.求A∩B或A∪B时，要注意与其他知识的联系，如数轴的几何直观以形助数，或者函数值域，曲线的交点等相结合.注意运用补集的思想方法来解决问题，体会“正难则反”的思维策略.

五、小试牛刀

（2019年天津卷第3题）设x ∈R，则“x2-5x ＜0”是“|x-1|＜1”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

请根据上题改编2道题试试.

（改编1）______________________________________________________.

（改编2）______________________________________________________.

改编提示：已知p是q的充分不必要条件（或者非p是q的充分不必要条件），且两个不等式中有一个含有参数，求参数取值范围.

小试年刀参考答案

（改编1）设x∈R，命题p：x2＋2x-8＜0，命题q：a＜x＜a＋2，若q是p的充分而不必要条件，求a的取值范围.

（改编2）设x ∈R，命题p：-2＜x＜3，命题q：x2-2x＋2a-a2＞0，若非p是q的充分而不必要条件，求a的取值范围.

解析

原题解析：本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题.如果从集合角度考虑，研究两个不等式解集的关系.

因为x2-5x ＜0，即0＜x ＜5，因此不等式的解集为A＝（0，5）.

改编1解析：设p对应的解集为A，q对应的解集为B.因为q是p的充分而不必要条件，所以，即B 是A 的非空真子集.因为A＝（-4，2），B＝（a，a＋2），于是有即-4≤a≤0，所以a的取值范围为［-4，0］.

改编2解析：设非p对应的集合为A＝（-∞，-2］∪［3，＋∞），q对应的解集为B＝｛x|（x-a）（x＋a-2）＞0｝.因为A 是B 的充分不必要条件，因此

当a＝1时，B＝（-∞，1）∪（1，＋∞），符合题意；

综上所述，a的取值范围为（-1，3）.

解题回顾：本小题第一种解法是利用分类讨论思想方法求解的，但运用补集的思想方法求解简洁明了.因此，我们在算法选择上要尤为重要，一定要三思而后行，加强解题回顾，不断总结提升！