我与数列的一次亲密接触

安徽省六安市第一中学 吴 兵

我在学习数列时无意之中发现了一个规律，其实这个规律我在小学时便初有体会：2，4，6，8，…一个典型的等差数列，可那时不懂，只知道相邻两项相减后为一个常数；后来初中做中考试题时经常遇见找规律的题目，如：2，5，10，17，26，…稍加尝试便可得出关系为x2＋1；到了高中，在学习物理时，匀加速直线运动相邻两个等时间间隔的时间内，路程Δx＝aT2，定值！结果运用到数学上，有：发现差值为定值，由于当时自己没有能力证明，故而不敢进一步论断之后的3次方……n次方，如今我们学完了“二项式定理”，我认为自己可以进一步论断了.

对于一个自然数范围内满足一定函数规律的数列而言，均可以将其通项公式写成an＝①，则第n-1项

从中取一个一般情况来进行分析：

如第1项：b［nx-（n-1）x］，分析其内部的nx-（n-1）x，由于x∈N*，且有定理可知：

如an＝n3＋n2-1的前几项：

最终结果为常数6.而反过来想经过3次相减后才得到常数6，故而原数列通项公式方程中最高次项是3次项，则可以令an＝an3＋bn2＋c，再用（1，1），（2，11），（3，35）代入后即可求出a，b，c，进而得到通项公式.

当然，有趣的是有一次我遇见了一个这样的数列：

发现无论如何相减都减不出常数，反而在不断呈现被减数的变化特征，后来用高中正常的方法一求，发现其通项公式为an＝2n＋n-1，这才知道因为2n的存在才导致这样的结果.

对于这种题目，也可以用我的方法进行探究.请看：

解a1＝2，a2＝2（2＋a1）＝8，a3＝22，a4＝52，a5＝114，a6＝240，a7＝494，….

可见经过一次降幂后出现以23，24，25，…变化的“循环数列”，差值不可能减到常数，可知一次降幂后得到的只是以b·2n变化的数列，故而可设原数列an＝b·2n＋c.由于c经过一次降幂便可消去n，则c为一次关系，所以可设an＝b·2n＋pn＋q.

（说明：就算为2n＋1，则b＝2，但循环数列中仅以8，16，32，…即4·2n在变化，则可知b定为常数）

将a1＝2，a2＝8，a3＝22代入得：

之后可用数学归纳法进行严格证明.

①a1＝2，满足an＝23-2-4＝2.②设当n＝k时ak＝2k＋2-2k-4，

则当n＝k＋1时，有ak＋1＝2（k＋1＋ak）＝2（k＋1＋2k＋2-2k-4）＝2（2k＋2-k-3）＝2k＋3-2（k＋1）-4＝2（k＋1）＋2-2（k＋1）-4，成立.

综合①②可知an＝2n＋2-2n-4为其通项公式.

虽然步骤繁锁，但至少对于较难的数列题提供了一个方法.

我曾经和同学交流过这种方法，他认为我这种方法不好，太麻烦，但我不这么认为，虽然我明白这种方法可能价值有限，也没有查过是否已经有人发现了这种规律（编者注：这是一种数学上的“差分法”，吴兵同学独立发现此法，颇不简单，赞！），但我束缚不住自己这颗年轻而又从未放弃对巅峰追求的心，高考过后，或者等到我学习大学里相关知识，我会将这个规律再向前推一步，融入极限的思想，相信还会有另一番收获.