三阶微分方程组特解的待定矩阵法

吴幼明，林晓莹

（佛山科学技术学院 数学与大数据学院，广东 佛山 528000）

求微分方程组特解[1-8]的方法是微分方程理论的重要内容之一，国内外许多学者已做过大量的研究，得到了很多简捷实用的研究成果.文献[5-7]分别给出了方程组Af″-Bf=t(x),Af″-aAf′-Bf=t(x)和Af″-Bf′-Af=t(x)在t(x)=(acosβx+bsinβx)·eαx的形式时的特解公式.文献[8]以算子法为基础，穷举法为辅助，对三阶方程Af‴-Bf=0在8种情况下的通解形式进行了详尽的推导和归纳，但未对特解进行讨论.本文在文献[5-8]的基础上，采用待定矩阵法，给出了方程组Af‴-aAf′-Bf=t(x)当t(x)=(acosβx+bsinβx)·eαx的形式时的特解公式.本文方程比文献[5-7]的方程阶数更高，是文献[5-7]的推广.此外，本文的方程比文献[8]的方程多了一阶导数项且为非齐次方程，是文献[8]的补充，因此更具有普遍性.

1 符号

给出矩阵微分方程

其中，fi=fi(x)(i=1,2)是关于x的函数，ti(x)(i=1,2)是关于x的三角函数与指数函数的乘积，a,aij,bij(i,j=1,2)是常数.

因此，方程（1）整理后为

2 方程组的特解

对于矩阵微分方程（2），设

其中，ai,bi,αi,βi(i=1,2)是常数.

根据待定矩阵法，可设方程（2）的1个特解为

将式（4）代入方程（2）中，整理并比较同类三角函数的系数得

由式（5）取第i(i=1,2)列比较得

由式（6）取第i(i=1,2)列比较得

将式（7）代入式（8）中整理得

所以，矩阵微分方程（1）的1个特解为

3 算例

采用本文所示方法解矩阵微分方程的特解，有

所以

从而，矩阵微分方程（12）的1个特解为

经检验，式（13）确是矩阵微分方程（12）的1个特解.

4 结束语

本文在二阶微分方程组研究的基础上，根据待定矩阵法和按列比较法，得出了一类不含二阶导数项的三阶微分方程组的特解公式，并根据算例验证了公式的正确性.本文结果也可通过编写计算机程序进行计算.