自制教具在初中数学课堂中的应用研究

刘健权 孙婧琦 焦宝聪 董黎明

摘  要 初中数学课堂离不开抽象概念与具体事物的融合，在此基础上，使用一定的教具不仅可以调动学生学习数学学科的积极性，更能培养学生的逻辑推理能力。首先分析自制教具在初中数学课堂中的应用现状，然后介绍“拍卖现场”教具的制作过程和使用方法，并以初中博弈数学课堂为例，对该教具的应用原则进行详细分析，最后对自制教具在初中数学课堂中的应用意义进行阐述，以期为相关主题的研究和实践提供借鉴。

关键词 自制教具;初中数学;逻辑思维;博弈思维;拍卖现场;3D One

中图分类号：G633.6    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2019）07-0029-05

1 引言

初中数学课堂仍然是广大学生学习数学知识的主要学习环境之一，而学生对于这些知识的掌握和迁移同样离不开对于实际生活中相关数学概念的理解和应用。2017版数学新课程标准中提到：义务教育阶段的数学课程应当培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。作为数学课堂教学的补充，恰当地选择和使用教具不仅能促进学生理解相关的数学知识，还能够体现新课程标准的要求。

在初中开展博弈思维课程，目的在于培养中学生的逻辑思维，即用有条理的、前后一致的思维方式思考和解决问题，以及在决策中考虑自身的实际需要。所以针对于此的教学活动与教学评价设计，便显得尤为重要。在初中博弈数学课堂中使用相关的教学工具，不仅可以帮助学生深入地理解博弈的相关概念和应用，更能直观地了解学生对于博弈相关知识的掌握情况，利于教学评价的量化处理，以期为优化初中博弈数学课堂的教学效果提供指导。同样，初中阶段的学生正处于活泼好动的年龄段，教师应该充分考虑学生的兴趣，选择的教具既要符合教学要求，也应该激发学生的学习兴趣，从而使教具成为有效的辅助教学工具[1]。

2 自制教具在初中数学课堂中的应用现状

教具是为提高教学质量而采用的教学辅助工具。传统教具在初中数学课堂的使用较为广泛，比如简单的立方体教具、尺规教具等，从而帮助学生直观地了解该教具所蕴含的数学知识。而自制教具则更加注重为某一知识点或某一学习内容而进行设计制作以及使用，如生物学科中的“生态瓶”、数学学科中的“四边形组合”等。

自制教具在初中数学课堂中的研究和使用便不尽如人意。首先，自制教具同传统教具一样具有一定的局限性：教具只能针对某一种数学概念和知识给予从抽象到直观的转化，很难较为全面地涵盖数学知识。其次，一部分初中教师已经逐步忽视使用教具的初衷，只注意课堂学习的多样性，忽视了课堂学习的实效性。所以，自制教具在初中数学课堂中的应用并不够广泛，与其相关的研究也或多或少地停留在起步阶段。

3 “拍卖现场”自制教具的设计与制作

拍卖是一种经济活动，是由买方以公开叫价竞购的方法，将现货出售给出价最高的买主的一种买卖方式。拍卖本身是逻辑思维的一种应用，具体来说是逻辑思维中的博弈思维应用：你的出价应该小于或等于拍卖品对你的价值。当你的出价小于拍卖品对你的价值时，便得到相应的收益，如何使你的收益最大化，就是你的目标。而“拍卖现场”自制教具则通过模拟拍卖的活动，培养学生在竞争博弈中追求个体利益最大化的博弈思维，让学生在学习博弈数学知识中领悟数学学习的乐趣。

“拍卖现场”自制教具的制作灵感和大致构造借鉴桌上游戏“达·芬奇密码”：在游戏中，每个玩家持有一定的数字牌，玩家需隐藏数字密码，猜透对手的密码，推测可能的答案，打败对手[2]。“拍卖现场”自制教具除了借鉴“达·芬奇密码”的主体结构之外，还需要制作“筹码币”，即包括数字的木质圆片，以丰富自制教具的使用方法。

有关于相关软件的安装步骤和熟悉操作，本文不在此赘述。

1）使用3D One相关软件进行“拍卖现场”自制教具的设计。目前，大部分二维以及三维立体自制教具的开发和设计都采用3D One相关软件，而3D One相关软件与其他软件相比，确实具有操作简单、界面直观、功能全面等优点。3D打印机制作的教具也使学习情境更接近于真实情境[3]。据此，“拍卖现场”自制教具采用3D One相关软件进行开发和设计。

①使用3D One软件设计教具主体——“数字牌”。首先双击打开3D One软件，单击草图绘制“矩形”，制作一个边长为50 mm*30 mm的长方形;然后以该长方形的中心为参考点，再画一个较小的长方形;单击特征造型“拉伸”，对大的长方形进行加运算拉伸，然后选中较小的长方形进行减运算拉伸，完成四角环的设计。

然后以四角环的中心为参考点，制作一个与小长方形底面相同的立方体，将其移动至四角环中心，并通过旋转倾斜一定的角度。在四角环的侧边画一个三角形，进行减运算拉伸，以保证“数字牌”在制作出来后能够立在水平面上。而后在平面的中心位置输入数字，并进行拉伸操作。制作完成的“数字牌”软件模型如图1所示。

有关于“拍卖现场”自制教具中“拍卖品”的设计步骤不再进行赘述。

②使用3D One Cut软件设计“筹码币”。首先双击打开3D One Cut软件，单击草图绘制“圆形”，制作一个直径为10 mm的圆;然后在该圆形的中心输入不同的数字即

可。為了方便操作，可以通过单击基本编辑“阵列”，采用阵列的方式依次更改所需要的数字即可。制作完成的“筹码币”软件模型如图2所示。

2）使用电脑软件和相关硬件进行“拍卖现场”自制教具的制作。而后便是将设计好的自制教具制作成实物。该教具分别利用3D打印机和激光切割机来完成“数字牌”和“筹码币”的制作。

①使用3D打印机制作“数字牌”。将刚才在3D One软件中设计好的“数字牌”以“.stl”的文件名后缀形式保存。本文采用的三维成品打印软件为UP Studio。打开该软件，将刚才保存好的文件拖入UP Studio的主界面，然后进行适当调整，如图3所示。

初始化打印机完成后，单击打印，等待成品制作成功。取出后上色即可。

②使用激光切割机制作“筹码币”。将刚才在3D One Cut软件中设计好的“筹码币”以“.dwg”的文件名后缀形式保存。本文采用的激光切割软件为Laser CAD。打开该软件，将刚才保存好的文件拖入主界面，然后对其参数进行适当调整，如图4所示。

单击打印，在激光切割机上进行相关操作，待切割完成后取出成品即可。

“拍卖现场”自制教具的实物模型如图5～图7所示。

4 “拍卖现场”自制教具在初中博弈数学课堂中的应用

“拍卖现场”自制教具已在北京某所初中进行过实践，以三人进行游戏最佳：一人作为裁判，两人作为游戏中的博弈双方。游戏的总体思路是：两人通过竞价的方式获取游戏中的“拍卖品”，竞价成功的一方获得“拍卖品”，并向“银行”支付相应的费用;当“拍卖品”全部被拍卖成功后，赢得最多价值拍卖品金额的一方获胜。

“拍卖现场”自制教具的游戏方法

1）游戏准备阶段。

①裁判向博弈双方分配数量相等的“数字牌”，之后取出标有“7”和“5”的“数字牌”，摆出“75”的组合作为初始资金，以用于购买其中的“拍卖品”;当一方成功购买“拍卖品”时，在支付相应的拍卖品价格的同时，需重新摆放初始资金的数额。现有资金=初始资金-购买资金，现有资金需要一直明示给另一方。

②由裁判选取六个数字接近15的“筹码币”倒置在“拍卖品”旁，作为这六个“拍卖品”各自的起拍价格;再分别在博弈双方的面前依照“拍卖品”的顺序倒置六个大于15的“筹码币”，此筹码币即为所对应“拍卖品”对于自身的价值，如图8所示。

2）游戏开始阶段。裁判翻开第一个“拍卖品”对应的“筹码币”，两人依次竞价，涨幅为1，由年龄大的一方开始竞价。竞价过程中当一方宣布弃权时，另一方获得“拍卖品”，并向“银行”支付相应的费用，并在己方的余额上进行调整。一方对“拍卖品”的购买资金不能超过自身当前的现有资金。重复上述步骤，竞价开始顺序相互替换，直至全部“拍卖品”拍卖完毕。

游戏获胜条件：当六个“拍卖品”全部完成拍卖后，分别计算每个玩家所购买的拍卖物对应自身“筹码币”的金额总和，总和金额大的一方获胜，如图9所示。若金额相等，则宣布平局。

“拍卖现场”自制教具的规则分析  “拍卖现场”自制教具的游戏规则遵循拍卖规则中的英式拍卖和荷兰式拍卖：英格兰式拍卖，也叫“增价拍卖”或“低估价拍卖”，是指在拍卖过程中，拍卖人宣布拍卖标的起叫价及最低增幅，竞买人以起叫价为起点，由低至高竞相应价，最后最高竞买者获得拍卖品[4]，简单来说就是价高者得;荷兰式拍卖则与英式拍卖相反，拍卖人宣布起叫价及最低降幅，价低者得。

在一般情况下，玩家的初始资金会低于“拍卖品”对于自身的价值的总和，也就是说会用较高的价格买到自己想要的“拍卖品”，从而对于其他的“拍卖品”在竞价时有所保留，这也与生活常识相一致。当然也存在大于或等于的情况，比如低价买到自己想要得到的“拍卖品”时。同样，在拍卖过程中，博弈双方也可以根据对手出价的方式推测出该“拍卖品”对于对方的重要程度。“拍卖现场”游戏所蕴含的一个简单的拍卖思想是：拍卖品对你的价值是多高，你就出多高的价格。这也是博弈思维在实际生活中的精髓所在。

当然，“拍卖现场”自制教具也可以通过改变其中的一些规则从而更改玩法，如更改初始金额，更改“拍卖物”的数量，明示双方面前的“筹码币”，等等，或是用来模拟诸如骑虎难下博弈、懦夫博弈等场景。

5 自制教具在初中数学课堂中的应用意义

要使传统的数学教具在课堂教学中真正发挥作用，必须结合教学实际，准确把握学生的学习情况，合理选择，适时运用[5]。以“拍卖现场”为例，“博弈”属于数学的一个分支，旨在研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法，所以学习博弈数学可以通过创设相关的具有竞争局势的情境，在游戏中领悟相关的博弈知识。而拍卖又是博弈中的经典应用之一，按照一定的章程和规则公开叫价竞购，最后出价最高的买主获得被拍卖品。使用自制教具最重要的目的便是让每一个学生都能够学习到该教具背后相关的数学原理，在学习相关数学知识的同时培养学生对于数学学习的兴趣。

提高课堂教学的实效性  借助教学工具，教师可以将抽象的概念转化为直观的模型呈现给学生，学生也可以通过具体的教学工具理解抽象的概念。这就意味着教师要善于引导学生借助教具進行动手操作，在数学动手操作的过程中进行自主化的数学学习[6]。对于“拍卖现场”游戏的规则讲解，其实就是讲述博弈论中“拍卖”基本概念的过程，而规则的运用便是对拍卖中博弈方法的应用。学生参与使用教具的过程，本身就是课堂教学的一种策略，而这样的教学策略从学生对知识的理解和迁移来看，远比讲授更具有实效性。

“拍卖现场”自制教具也可以通过改变相应的规则，深入讲解相关的拍卖知识。如“第一密封拍卖”，用教具来呈现就是游戏双方需同时明示出价金额，出价高的即获得拍卖品。同时，学生也可以对该游戏的规则进行创新，在创新中可能会发现拍卖博弈中的共性。教师也可以根据这些共性作为之后博弈数学课堂中的课前导入环节，促进课堂教学中知识迭代的形成。

培养学生的逻辑思维  逻辑思维是指借助于概念、判断和推理认识事物的思维形式，包括分析、综合、比较、抽象、概括和具体化等过程[7]。自制教具中的逻辑思维，主要体现在其规则设计和实际操作上。一方面，教师通过规则设计创设相关的情境，引导学生使用逻辑思维解决问题;另一方面，学生通过实际操作掌握教具的使用方法，并理解逻辑思维如何解决与其相关以及相似的问题。逻辑思维的应用还体现在学生能将所学知识迁移到解决实际生活中。

如从“拍卖现场”自制教具来看，无论是简单的猜数字，或是稍微有些难度的拍卖，抑或复杂的懦夫博弈，都可以算作博弈思维的一种训练。博弈的核心在于根据对方的策略选择自己的最优策略，而为了能够实现自己的最优策略，则需要在博弈过程中善用逻辑思维。社会实践是逻辑思维形成和发展的基础，而通过游戏实践领悟到“拍卖”这一实际问题的思考方法和经验，进而应用到实际生活中，本身就是一种逻辑思维的培养。

如在面对骑虎难下博弈时，由于谁也不愿意自己支付成本而让对方得到好处，而尽早摆脱这样的博弈对局可以让自己可能的损失尽可能小，因此，最好的策略便是尽早退出该博弈。

再如懦夫博弈，假定博弈一方是鲁莽者，另一方是理性者，那么鲁莽者将会是该博弈的胜出者。如果多次进行懦夫博弈，则鲁莽者将更有信心在未来采取这样的策略，他也很可能会通过这种鲁莽的形象使得对手在未来的对局中选择妥协，从而获得好处。

关注师生与社会发展的对话  在数学课堂中，“教”与“学”是不可分割的整体，教师需要与学生进行沟通与合作，学生也需要对教师提供反馈和认同。教师与学生虽然不是知识平等的主体，却是人格平等的主体，这就要求学生与教师间能够明确自身对于社会发展的需求与展望。随着学生成长伴随着的生活环境的扩大，他们对于社会交往能力的需要，也是适应未来生活的需要。数学课堂教学的任务之一，便是让学生在步入社会环境时能更好地进行适应。

通过“拍卖现场”游戏，学生可以了解到除课堂环境以外，在面对实际生活会用到的一些基本经济规律，例如：在游戏中引入对“拍卖”这一经济术语的深入讲解，强调理财对于自身经济需求的重要性;尝试在网络平台完成一次拍卖活动，分享网络拍卖与使用教具的不同之处;相互探讨拍卖中“知己知彼，百战不殆”的博弈思想在实际生活中的相关应用。教师也可以了解到学生对于现实世界的理解程度，在教学活动过程中共同加深对拍卖知识以及与生活相关经济概念的理解。数学是面向现实的，学生与教师通过具体情境学习数学知识，然后把所学知识应用到现实中去，体现了教具在数学课堂中的现实意义。所以，师生间的对话与交流必不可少，师生共同面对社会环境的交流同样必不可少。

6 结语

应该注意到，在整个初中数学教学过程中应始终秉持传统教具的辅助性原则，将其作为传授数学教学内容的辅助手段，而不是课堂教学的本身[8]。当然，自制教具也会让学生对数学知识的学习产生亲近感，学生在游戏过程中也可以锻炼合作能力，等等。一部分中学生在面对全新的数学知识时，很难理解抽象的定义及概念。而通过教学工具，可以将抽象的知识具体化、形象化，为学生记忆、理解以及迁移知识创造了条件，促进学生具体感知与抽象思维的结合，帮助其形成明确的概念，发展其逻辑推理能力和观察能力等。

不可否认，数学类教具在一定程度上能够让课堂教学更具实效，可以有效地培养学生的动手操作技巧，在增强学生好奇心的同时激发学习兴趣，培养学生的创新意识、创新能力。所以，在初中数学课堂运用具体模型和直观教具仍然是十分重要的，对于中学生的课堂教学大有裨益。■

参考文献

[1]赖坤兰.浅谈教具、学具在数学课堂的应用[J].数学学习与研究，2018（20）：20.

[2]達·芬奇密码[DB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E8%BE%BE%C2%B7%E8%8A%AC%E5%A5%87%E5%AF%86%E7%A0%81/3522752.

[3]白伟伟，方海光，杨志亚，等.3D打印技术在创新实验教学中的学习活动设计框架研究[J].中国信息技术教育，2016（23）：66-70.

[4]焦宝聪，陈兰平.博弈论[M].北京：首都师范大学出版社，2013：178.

[5]陈莎，耿国政.运用传统教具推动初中数学教学改革[J].中国教育技术装备，2017（19）：35-36.

[6]刘媛.自制教具在数学教学中的应用[J].中国现代教育装备，2018（2）：36-38.

[7]车文博.当代西方心理学新词典[M].长春：吉林人民出版社.

[8]李方方.传统教具在初中数学课堂教学中的创新性使用[J].中国教育技术装备，2017（17）：95-96.