数学活动应从“经历”过程走向“经验”积累

薛世东

摘要：“基本数学活动经验”是学生通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。数学活动经验的积累是学生数学素养提高的重要标志，也是数学教学的重要目标，更是学生不断经历、体验和感悟各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在活动中产生，设计一个好的数学活动是学生积累数学活动经验的核心，學生只有经历一个完整的“数学化”过程，才能获得良好的感性认知、情感体验和数学素养。

关键词：数学 活动 经历 经验 积累

“纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行。”数学活动是数学经验的源泉，不亲身经历数学实践活动就根本谈不上经验的积累。因此，让学生积累数学活动经验，就是要让学生在活动中去体验，去感悟，并通过动手实践、自主探究、合作交流等不同的学习方式去认识新知，发展思维，提升能力。

一、让学生经历动手实践的过程，积累操作活动经验

数学的学习过程应该是生动的、有趣的、富有个性的。数学活动经验需要在“做数学”活动中积累，在这一过程中需要学生动手实践、动口表达和动脑思考。

在学习“正方形的认识”时，为学生提供正方形纸片，让他们猜猜正方形有哪些特征，再设法来验证正方形边的特征。同学们可以通过测量四条边的长度，沿对角线折叠两次使四条边重合，将四条边同一个定长加以比较等方法来加以验证。接着请他们思考：只剪一次，如何将正方形的纸剪成四个同样大小的小正方形？再把这四个小正方形拼成不同的图案，试着给它们取个好听的名字。经过适当提示（沿对角线对折两次成直角三角形，再沿斜边上的高剪开即可），同学们不仅能剪出四个小正方形，而且还拼出了许多形态各异的图案，可谓精彩纷呈，美妙至极，让人在赏心悦目之时，赞叹之情油然而生。

二、让学生经历自主学习的过程，积累探究活动经验

学生探究经验的获得是一个需要不断猜想、验证和思辨的过程，是一个需要在自主学习的过程中积极主动地去探究和发现的过程。在这一过程中，教师要为学生创设多样化的、开放性的学习情境，引领学生在具体的数学背景下探寻知识的生成和发展，多方位、多角度、多层面地思考数学问题，寻求解决问题的有效策略，帮助学生积累更加丰富的探究经验。

在学习“三角形三条边的关系”时，可以提供几根定长（3厘米、5厘米、6厘米、10厘米）的小棒，让学生自主选择任意搭建成一个三角形。当同学们通过一次次操作实验得出“三角形的任意两边之和大于第三边”这一结论后，再给定三根小棒（4厘米、7厘米、9厘米），让学生进行判断：看看是否能够搭建成一个三角形？此时同学们就不会再选择用小棒搭拼的方式来探究了，他们已经积累了操作的经验，对三角形三边关系也将由感性认知过渡到理性认知，于是会选择用计算的方法来加以判断：4+7>9，4+9>7，7+9>4。因为任意两边之和大于第三边，所以一定能围成一个三角形。接着追问：能不能只通过一次计算就得出结论呢？这是一个有价值的问题，能提升学生的数学思考能力。通过充分的思考，同学们不难发现：只需要选择两条较短的边相加一下，看看是否大于最长的边就行了，4+7大于9，那么4+9一定大于7，7+9也一定大于4。（加数越大和越大）

至此，数学活动还需要深入进行下去。教师可以继续创设问题情境：现有两根长度分别为5厘米、8厘米的小棒，请你添上一根小棒，使它能围成一个三角形。新添的这根小棒究竟应该有多长呢？学生若有困难，教师可以追问：14厘米行吗？13厘米呢？引导得出结论：这根小棒的长度必须小于两边之和13厘米。教师继续追问：2厘米行吗？3厘米呢？引导得出结论：这根小棒的长度必须大于两边之差，即长度大于3厘米，小于13厘米的小棒都可与之围成一个三角形。

三、让学生经历数学思考的过程，积累思维活动经验

学习数学的过程应该是一个动态的，以问题为主导、以思维为核心的过程。在平时的数学学习过程中，教师要引导学生学会用数学思维进行思考，用数学的眼光发现问题，从数学的视角提出问题，借数学思维分析问题，凭数学的头脑解决问题。

在执教数学活动课“圆的风采”时，我设计了这样一个教学内容“百线穿圆”，教学过程如下：

问题呈现：在一个圆上画100条直线最多能把圆分割成几等份？

我用问题引领学生学习：想一想应该怎样画出这100条直线。你有困难吗？你认为困难在哪里呢？如果是因为要画的条数太多了，那么你打算画几条呢？接着让学生在自己的能力范围内尝试用直线对圆进行分割。

探究画法：怎样才能进行最佳分割？同学们在小组内进行交流讨论并得出结论：直线在圆内要相交，交点不能重复，也就是要两两相交。教师再进行必要的分析：如果画三条直线，情况有以下四种：

由此看见，图4因为三条直线是两两相交，所以分割的份数是最多的，一共有7份。如果按照这种方法来画，要画出100条直线是非常困难的，我们应该往后退一步想一想，那么我们就从1条直线开始研究吧：

当研究到第4条时，可以让学生进行必要的猜想：像这样画5条、6条直线会有几个交点？它们又能把圆分割成几个部分呢？

归纳推理：1条直线最多能分割成2份，2条直线最多能分割成4份，3条直线最多能分割成7份，4条直线最多能分割成11份，由2、4、7、11……可知，1条直线分割1个平面形成2份，增加1条就会把已有的2个平面再次分割形成4份，即1条直线会使平面增加1份，2条会使平面增加2份，3条又会在已有基础之上增加3份，依次类推就出现了2、4、7、11……所以5条直线最多能把圆分割成16份，6条直线最多能把圆分割成22份。

如果这样推算下去，100条直线也要经过99次计算才能得出结论，这是十分麻烦的事。那么，我们能不能寻求一种更为简便的方法来计算呢？请看：2可以分成1+1，4可以分成1+1+2，7可以分成1+1+2+3，11可以分成1+1+2+3+4。由此我们可以发现，画几条直线就从1+1一直加到几。如画5条，我们就从1+1一直加到5，即1+1+2+3+4+5。那么画100条我们应该从1+1一直几加到几呢？学生回答：1+1+2+3+4+……+99+100。现在谁能计算出这一算式的得数呢？学生得出：1+1+2+3+4+……+99+100=5051（条）接着向学生介绍：要求连续几个自然数的和可以采用这样的公式计算：（首项+末项）×项数÷2=和。

自我实践：利用这个公式可以求出任意几条直线分割圆的份数，大家就来试试自己想要画的几条直线，看看最多能把圆分割成几个部分？（提示：在利用公式时别忘了前面还有一个1）

一个好的数学问题就是一个好的“数学活动”。“百线穿圆”就是以一个带有思考性、挑战性的问题展开数学活动的。在这一过程中，既有猜想，又有验证;既有归纳，又有推理;既有感性操作，又有理性分析;既有独立思考，又有合作交流;既有策略研究，又有技巧应用。学生只有经历了一个完整的“数学化”的过程，数学模型才能得以充分地建立，数学思想方法才能以到有效地渗透，数学思维活动经验才能得到丰富的积累。

总之，数学活动经验的积累需要学生亲身经历数学活动的过程，并在此过程中充分体验数学知识的生成与发展，体验数学问题的独特与精辟，体验数学策略的巧妙与神奇，体验数学思维的广阔与深邃，体验数学探究的快乐与美好。有了这样的经历、体验和感悟，学生在数学活动中才能更好地从“经历”过程走向“经验”积累。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张奠宙.竺仕芬.林永伟.基本数学经验的界定与分类[J].数学通报，2008（5）.

[3]王林.小学我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法，2011（6）.

[4]张苾菁.如何帮助学生积累数学基本活动经验[J].人民教育，2010（11）.

[5]贲友林.关于获得数学活动经验的三点认识[J].江苏教育，2011（12）.

[6]李丹丹.小学数学基本活动经验的探究[D].华中师范大学，2014.

责任编辑：赵潇晗