果实振动响应时的空中运动数学模型

许林云，刘冠华，宣 言，周 杰

果实振动响应时的空中运动数学模型

许林云，刘冠华，宣 言，周 杰

（南京林业大学机械电子工程学院，南京 210037）

现有的高速摄影技术主要用于研究果实运动时以果实表面某一特征点作为果实质心的运动状态，该方法实际上只能反映出果实表面特征点的运动轨迹及瞬时位移、速度及加速度，并不能反映果实质心在空间瞬时的平移、摆动及旋转姿态。该文提出了一种将果实空间运动分解为对应果实空间运动瞬时姿态的平移、摆动及旋转的计算方法。通过制作实体单位连体基坐标系并确定其初始静态位置，建立果实在绝对坐标系中的表面特征点坐标与连体基坐标系的转换关系，确定在运动过程中果实上连体基坐标的动态绝对坐标，基于相邻两时刻点连体基坐标中的位置变化关系计算果实瞬时动态位移、速度及加速度，以及果实摆动与旋转的瞬时角度、角速度及角加速度运动参数。应用ADAMS计算软件，通过设定特定的平移、摆动及旋转的复合运动关系进行运动仿真，应用该文构建的计算公式进行计算，将计算结果与理论仿真值进行对比，确定计算公式的计算精度。位移最大单向平均绝对误差只有5.9´10-8mm，且位移、速度及加速度的绝对误差存在103数量级的逐步放大，位移与速度的相对误差完全一致，加速度相对误差则大于位移与速度，最大加速度平均绝对误差与平均相对误差分别为6.5´10-2mm/s2及4.13´10-2%，摆动与旋转的最大平均绝对误差分别为5.43´10-2与9.51´10-2°/s2。结果表明，该文构建的计算方法应用于求解果实的瞬时运动姿态是可行的。

振动；采收；运动学；果实运动；坐标转换；运动参数；运动姿态；计算精度

0 引 言

中国是重要的林果生产国之一，2017年林果产量高达3万多t[1]。基于振动采收技术的林果机械采收是最高效的采收方法。国内外针对果树振动采收机理进行了大量的相关研究，主要集中在振动参数对振动过程及落果率的影响[2-4]、果树树体各部位的振动响应[5-7]等方面。Lang等[8-10]建立了多种土壤-树根系统的果树模型，通过实测获得果树模型中各弹簧刚度与阻尼系数，对树木模型进行振动响应计算并与实际试验结果对比验证了其模型的准确性。林欢等[11-12]对银杏树频谱特性与振动响应关系进行了深入的研究分析,在使用单偏心块激振电机对树体进行激振试验时，树体在激振频率低于10 Hz时响应不大，当激振频率处在20～25 Hz之间时，容易引起树体整体强烈的响应。在振动果实运动研究方面，Crooke等[13-14]对林果振动与响应系统建立“果实-果柄”三自由度模型，构建系统的运动微分方程，其将果实在进行小振幅振动时简化为一种线性系统，但在大振幅振动时是一种非线性的振动。杜小强等[15-16]采用一种扁球形的电子果实代替真实果实研究果实的振动响应，通过果实内的三向加速度传感器获得果实的振动响应参数，分析了不同振动阶段果实所受的冲击加速度变化。由于果实质量小，接触式传感器会对果实产生附加质量，严重影响果实的真实振动响应；模拟式果实不适合小果实，且很难模拟果实的真实果柄，所以通过常规试验方法研究果实振动响应过程较为困难。

随着高速摄影技术的发展，近年来将该技术逐步应用于研究果实的振动与响应，用双目或多目高速摄像机拍摄果实的动态运动过程，可得到果实表面特征点的空间运动轨迹的三维坐标，获得果实表面特征点的运动参数、受力大小及受力方向等特征参数，这已成为果实振动采收理论的主要研究方式[17-21]。Zhou等[22-24]采用高速摄影技术对车厘子的振动采收进行了研究，发现倾斜运动和柱形窜动占据了果实运动形态的70%左右，最不容易损伤果实的运动可能为柱形窜动，在18 Hz时的平均碰撞次数要小于10与14 Hz的平均碰撞次数，但18 Hz时的果实损伤率要高，若要减少果实损伤率需减少高频振动的持续时间。Castillo-Ruiz等[25]对橄榄果在振动采收时的运动进行了研究，发现橄榄果的扭转运动角度一般小于90°，但由扭转运动产生的弯曲和惯性力是橄榄果脱落的主要影响因素。蔡菲等[26]通过高速摄影方式对新疆的小白杏振动过程进行了研究，通过追踪果实上的特征点计算果实的运动位移、速度及加速度，最终获得果实的脱落加速度。彭俊等[27-28]对冬枣在不同频率下的响应进行了研究，通过i-speed软件对冬枣的振动进行运动求解，并对冬枣的运动轨迹进行了追踪，发现冬枣振动脱落所需的惯性力要小于静态下测得的结合力，果实脱落以旋倾型方式为主。散鋆龙等[29-30]从杏果的成熟程度、激振方式和杏果振动动态响应等方面对杏果的振动采收进行了深入的研究，建立了杏果的受迫振动响应模型，并采用高速摄影系统对杏果的振动响应进行了试验研究，验证了其理论模型的准确性。

综上所述，现有的研究主要集中在通过追踪果实表面的单一特征点，获取果实的运动参数及运动轨迹，但果实表面单一特征点不能反应果实整体的运动状态。本文提出了一种在果实与果柄结合点处建立连体基坐标系，构建果实运动姿态参数的计算转换数学关系，通过追踪果实表面特征点的已知信息，即可获得果实在绝对空间的各运动姿态参数的计算方法。

1 理论模型建立

1.1 果实运动假设及运动分解

果枝上的果实，由果柄连接果实与果枝，如图1所示。假设果实为刚体，在任何运动状态下均不发生形变；假设果实为标准回转体，其质心处于果实纵向轴线12上。

图1 果实的运动分解

1.2 坐标系建立

目前研究果实在果树上的空间运动状态，通常应用双目摄像技术，即采用两台成一定角度的高速摄影仪同步拍摄运动的果实，在极短时间内获取大量连续的果实运动过程照片。通过计算相同时刻下两张照片中果实表面特征点的空间绝对坐标，获得各特征点在空间的过程曲线即运动轨迹和位移、速度及加速度等运动参数，此方法的缺陷在于无法了解果实在空间运动过程中如何发生平移、摆动及旋转等运动姿态的变化关系。为通过表面特征点求解上一节对果实进行的运动分解平移、摆动及旋转运动参数，需经过一系列的坐标变化，构建各坐标系的坐标转换关系。

图2 各坐标系的建立

1.3 坐标系转换关系构建

实际上，通过图像采集系统所获取的为任一时刻果实表面特征点的绝对坐标值，要确定果实在空间运动过程中对应的平移、摆动及转动运动姿态参数值，需建立果实表面特征点坐标系222与连体基坐标系111的关系。具体转化过程如下：

1）确定初始静态坐标位置

制作实体单位连体基坐标系111，坐标系原点粘贴在果实1处，且使轴1与果实纵轴12重合。在果实表面标记3个特征点1、2、3，将2台高速摄像仪对3个特征点1、2、3、连体基坐标系的原点1及坐标轴端点1、1、1进行静态拍摄，获取各点初始静态绝对坐标值。

2）构建向量在特征点坐标系与绝对坐标系的转换矩阵

在构建向量在2个空间坐标系之间的转换矩阵时，需先确定2个空间坐标系各坐标轴相互之间的夹角。图3只标出特征点坐标系中2轴与绝对坐标系各轴的夹角(α，β，γ)，同样可定义2轴和2轴与绝对坐标系各轴的夹角分别为(α，β，γ)与(α，β，γ)。

注：αx为X2轴与X轴的夹角，rad；βx为X2轴与Y轴的夹角，rad；γx为X2轴与Z轴的夹角，rad。

则向量在特征点坐标系与绝对坐标系的转换矩阵为

3）构建连体基坐标系中各点坐标向特征点坐标系中的转换关系

设某一点在绝对坐标系和特征点坐标系中的坐标分别表示为(，，)'P和("，"，")'P。

式中分别代表1、1、1、1各点。

2 基于表面特征点的果实空间运动参数算法

实际上，应用双目视觉测试装置拍摄果实空间运动过程时，果实上不能固结实体坐标系作为连体基坐标系，否则会形成负载效应，影响果实的实际运动姿态。为确定果实在运动过程中对应变化的连体基坐标系，需通过捕捉动态的果实表面特征点的绝对坐标进行变换计算动态的连体基坐标系。

2.1 动态的连体基坐标系建立

通过获取果实表面特征点1、2、3（图2）在各帧图片（对应每一时刻点）上的绝对坐标值，从而反推连体基坐标系1、1、1、1各点的对应变化关系。则1时刻连体基坐标系各点在绝对坐标系中的坐标

式中分别代表1、1、1、1各点。

2.2 果实平移运动参数计算方法

设相邻两帧图片分别对应果实运动位置处于1与2时刻，以这相邻2帧图片中的连体基坐标系的点1的空间运动作为果实的空间平移运动，其在绝对坐标系3个方向上1时刻的瞬时动态位移分别为

则合位移为

点1在1时刻的瞬时速度为

点1在1时刻的瞬时加速度

合加速度为

2.3 果实摆动运动参数计算方法

连体基坐标系1轴从1时刻运动到2时刻对应的空间微小摆动角位移，定义为1时刻的瞬时摆动角位移。计算公式为

2.4 果实旋转运动参数计算方法

果实从1时刻运动到2时刻，产生的旋转运动对应的旋转角度，可将1时刻和2时刻的连体基坐标系的1轴均转至与绝对坐标系的轴方向一致（图4a、4b），再通过计算1轴或1轴绕1轴转动的角度即可得到（图4c）。将连体基坐标系的1轴转至与绝对坐标系的轴方向一致的转换方法，本文采用欧拉角坐标变换的逆变换，即将连体基坐标系通过2次坐标旋转。具体计算方法如下。

注：Dφ为t1时刻到t2时刻的旋转角度，rad。

如图5所示，计算1轴与轴夹角

注：ω为Z1轴与Z轴的夹角，rad；ψ为Z1轴在XY平面的投影与X轴的夹角，rad。

3 仿真与分析

3.1 仿真条件

本文应用ADAMS软件建立一个仿真球体，在球体表面上设定特征点，并对球体施加一定运动。ADAMS软件可按照设定的平移、摆动及旋转组成的复合运动，通过仿真计算获得各特征点在对应时刻的绝对坐标值。将各时刻特征点的绝对坐标值应用本文所构建的数学公式进行计算并得到球体平移、摆动及旋转的各运动参数，将计算所得值与对应参数的理论值相比较，可验算本文构建的这些计算公式的正确性与计算精度。

本文在ADAMS软件中建立半径为15 mm的球体（图6），在球体表面选取3个特征点1、2、3，在绝对坐标系中的坐标分别为(9.19,-9.19,7.50)、(9.19,9.19,7.50)、(12.99,0,-7.50)。建立连体基坐标系111,在绝对坐标系中的坐标分别为：原点1(0,0,0)，各坐标轴的端点1(1,0,0)、1(0,1,0)、1(0,0,1)。通过式（1）与（2）计算得到1、1、1、1在特征点坐标系222中的坐标分别为

对球施加5种单一的空间运动构成球体的复合运动，运行时长为1 s，进行仿真分析。设定各单一运动形式为：3种平移运动：X向为20-20cos(2pt)，mm；Y向为20sin(2pt)，mm；Z向为10t，mm。摆动运动：绕Y1轴以角速度π/12 (rad/s)匀速摆动。旋转运动：绕Z1轴以角速度4π (rad/s)的匀速旋转。

仿真设置为1 000步/s，果实运行1 s后，表面上各点形成的运动轨迹如图7所示。根据设定的位移及转角，由ADAMS软件仿真球体的运动轨迹，获得每一步3个特征点的绝对坐标值，应用本文构建的运动参数计算式（3）～（20）计算仿真球体的平移、摆动及旋转运动参数。因每一步所获得各点的绝对坐标值均是精准值，每一步的误差绝对不会累积到下一步，即不会形成整个运动轨迹的累积误差，这与应用双目摄像系统采集实际果树上果实在振动过程中所获取的每一帧图片上果实表面特征点的空间坐标的精准值（精准度与采集装置及软件处理有关）一致，因此所计算的绝对误差及相对误差均为1 000步中每相邻2步（或两帧）引起的误差进行整体平均处理的结果。

图7 果实仿真轨迹图

3.2 模拟结果与评价分析

应用本文构建的计算公式计算的每一步数值与每一步理论值进行对比分析，可得平移、摆动及旋转各参数的计算绝对误差与相对误差，处理结果列于表1与表2中。

表1 平移运动参数设定值与计算值

从平移、摆动及旋转3种运动的计算结果来看，应用本文构建的计算方式对应的计算精度均较高。因每一步长移动的位移量非常微小，对应的位移绝对误差只为10-8mm数量级，相当微小，即使考虑步长量计算的位移相对误差也只有10-3mm数量级,且不会形成累积误差，因此这样的计算精度相当高，是可行的。

表2 摆动和旋转运动参数设定值与计算值

对应平移时的位移、速度、加速度的绝对误差逐级相差103数量级，而相对误差几乎一致，虽然具体有效数值略有差异，这是由每一步平移时各参数的绝对误差和相对误差的计算公式而确定的。以第步及+1步的向平移为例，具体计算公式见表3。

总体来说，通过ADAMS仿真结果计算的平移、摆动、旋转3种运动参数的计算精度基本相当，对应各种运动姿态的同类运动的平均绝对误差与平均相对误差在同一数量级。平移、摆动和旋转3种运动的位移与速度精度基本一致，加速度计算精度要略低于位移和速度的计算精度。在3种平移运动中，方向的计算精度整体略低于向与向，方向的加速度平均绝对误差与平均相对误差分别为6.5×10-2mm/s2和4.13×10-2%，该计算精度能满足一般果实振动响应的分析要求。旋转计算精度略低于摆动计算精度，摆动与旋转运动计算的最大误差为摆动运动的角加速度平均绝对误差9.51×10-2°/s2，计算精度同样满足要求。总体来说，本文构建的果实空间运动计算方法，在满足一定精确要求基础上，可计算确定果实在空间运动时的各瞬时运动姿态参数。

表3 X向平移的相对误差与绝对误差计算公式

4 结论与讨论

1）本文提出了一种果实空间运动计算方法，建立了由果实表面特征点的绝对坐标值，获取果实在空间运动过程中对应的平移、摆动及旋转的各运动姿态参数瞬时值。

2）构建了绝对坐标系、连体基坐标系及特征点坐标系的单位向量制，以及在不同坐标系中的相互转换关系。

3）基于ADAMS的计算仿真数据，确定了本文构建的计算公式用于计算果实空间运动姿态参数的计算精度是满足一般果实的空间运动姿态的参数计算要求。

本文提出的果实计算方法适合于银杏果、冬枣等相似体型及大型果实，而对于枸杞、蓝莓等特别小型的林果，可放大取景窗口应用本文计算方法，也可直接将果实整体作为一个质点，确定果实的瞬时位移、速度、加速度及空间运动轨迹，但无法确定果实在空间的瞬时摆动与旋转的运动姿态。

本文提出的果实姿态参数计算方法基于表面特征点可见的前提，在实际运用时要提前去除研究对象周围的遮挡树叶，以保持特征点持续可见。对不可避免出现遮挡的情况，可采用曲线拟合的方式对缺失点补偿。在果实产生大振幅或大旋转的运动情况时，只固定3个特征点，很容易出现特征点消失在取景窗口内，可在果实整个表面布置不同形状或颜色的大量特征点，以确保果实处于任何方位均能获取所需的至少3个特征点。

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Mathematical model of fruit’s aerial movement in vibration response

Xu Linyun, Liu Guanhua, Xuan Yan, Zhou Jie

(210037,)

High-speed photography which can take a lot of pictures catching the movement state of the fruit in rapid motionin during a very short time has become the mainstream method to study fruit motion. The mean limitation of the existing researchs is that tracking movement of one feature point on fruit surface can not reflect the exact movement of the fruit,especially swing and rotation. In this paper, We divided the spatial motion of the fruit into the translation, swing and rotation of the instantaneous attitude corresponding fruit spatial motion and proposed a method to calculate 3 kinds of spatial motion of fruit by 3 feature points on fruit surface. First, we constructed a coordinate system called characteristic point coordinates with 2 space vectors from 3 surface feature points. Second, we assumed that the fruit was a rotating body. Then, the coordinate system which we called the conjoined base coordinate system was established with the origin of the joint of the fruit stalk ,in which the-axis coincides with the rotation axis of the fruit. The movement of the fruit was represented by the movement of the conjoined base coordinate origin. The swing of the fruit was represented by the swing of the-axis of the conjoined base coordinate system. The rotation of the fruit was represented by the rotating around-axis of the-axis or-axis in the conjoined base coordinate system. The third, we got the transformation relationship between 2 coordinate systems through the space vector relationship. Final, we used the spatial coordinates of the feature points and coordinate relationship gotten above to calculate the position and attitude of conjoined base coordinate frame by frame. Conjoined base coordinate of 2 adjacent time could calculate the instantaneous dynamic displacement, speed and acceleration of the fruit, as well as the motion parameters such as instantaneous angle, angular speed and angular acceleration for fruit swing and rotation.The ADAMS computing software was used to simulate the motion by setting a specific complex motion relationship of translation, swing and rotation. The calculation formula constructed in this paper was used for calculation and the calculation results were compared with the theoretical simulation values to determine the calculation accuracy of the calculation formula. The maximum one-way average absolute error of displacement was only 5.9×10-8mm, and the absolute errors of displacement, speed and acceleration were enlarged gradually by the order of magnitude of 103. The relative errors of displacement and speed were identical, while the relative error of acceleration was larger than that of displacement and speed. The average absolute error and average relative error of maximum acceleration were 6.5×10-2mm/s2and 4.13×10-2%, respectively. The maximum average absolute errors of swing and rotation were 5.43×10-2and 9.51×10-2°/s2, respectively. The results show that the method constructed in this paper is feasible to solve the instantaneous motion attitude of the fruit.

vibration; harvesting; kinematics; fruit movement; coordinate transformation; motion parameters; motion attitude; calculation accuracy

2019-05-20

2019-07-15

十三五国家重点研发计划“农特产品收获技术与装备研发”之子课题“农特产品智能化收获机理研究与新结构研发”（2016YFD0701501）

许林云，博士，教授，博士生导师，主要从事林果收获机械相关研究。 Email：lyxu@njfu.com.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.16.023

S225.93

A

1002-6819(2019)-16-0206-08

许林云，刘冠华，宣 言，周 杰.果实振动响应时的空中运动数学模型[J]. 农业工程学报，2019，35(16)：206－213. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.16.023 http://www.tcsae.org

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