数学思想方法与物理学科素养的有机结合——由2019年全国Ⅱ卷理科数学试题第4题所想到的

唐沂国

(平邑第一中学,山东 平邑 273300)

1 引言

2019年6月7日《中国考试》发布了今年高考数学试题分析:2019年高考数学命题以全国教育大会精神为指引认真贯彻“五育并举”教育方针,突出数学学科特色,着重考查考生的理性思维能力及综合运用数学思维方法分析问题,解决问题的能力……试题突出学科素养导向合理创设情境,体现教育功能．今年高考理科Ⅱ卷第4题结合“嫦娥四号”实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力,反映我国航天事业取得的成就．这道试题发挥了思想教育功能,体现了对德育的渗透和引导．

《普通高中物理课程标准》要求物理教师的教学“在使学生掌握基础知识的同时,应关注物理学与数学之间的联系,重视培养学生应用数学知识处理物理问题的能力,发挥数学工具在物理学发展过程中的作用”．

2019年全国卷Ⅱ理科数学第4题,恰好诠释了数学思想方法与物理学科素养的有机结合．从牛顿的经典力学到爱因斯坦的相对论,从麦克斯韦方程组的电与磁到量子力学中的波粒二象性的对立统一,数学思维方法无时不在帮助陈述和揭示物理的奥秘．近代物理学的美妙之处,就是它能以精确的数学形式表示出物理规律,开创了科学实验同数学相结合的方法．

2 数学真题展现

例1.(2019年全国卷Ⅱ理科数学第4题)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一次重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”．鹊桥沿着绕地月拉格朗日L2点的轨迹运行．L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:

原式可化为

答案:选项(D)正确．

3 拉格朗日点

(1) 拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点．一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点,在该点处,小物体相对于两大物体基本保持静止．该说法由法国数学家拉格朗日于1772年发表的论文“三体问题”中,为了求得三体问题的通解,他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果,即如果某一时刻,3个运动物体恰恰处于等边三角形的3个顶点,那么给定初速度,它们将始终保持等边三角形队形运动,并且通过几何图形给出了拉格朗日点的位置．

如图1所示，在每个由两大天体构成的系统中,按推论有5个拉格朗日点,但只有两个是稳定的,即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰,仍然有保持在原来位置处的倾向,每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角．

图1

拉格朗日点的首次证明是在1906年,当时天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离,并且同木星几乎在同一轨道上超前60°运动,它们一起构成了运动着的等边三角形．不久后(同一年)发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右,构成第2个拉格朗日正三角形,随着人们对太阳系的了解,以及后来人造卫星等航天器的发射,人们发现了越来越多的拉格朗日点现象．

20世纪80年代,天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形．人们进一步发现,在自然界各种运动系统中,都有拉格朗日(拉格朗治)点．这是因为三角形是最稳定的结构,而等边三角形是三角形结构中最稳定的,所以往往是处于拉格朗日点上的物体最稳定,而不处于拉格朗日点上的物体都是不稳定的．下面用示意图来介绍一下这种奇异点,其在天体运动系统中有5个,用字母L表示．L1、L2和L3在两个天体的联线上,为不稳定点．如一个物体在这些点上稍微挪动一下,就会离去,不再复位．L4、L5是稳定点．一个物体在此点上稍有移动,不会脱离,而是绕这个点作往返摆动,因此又称作拉格朗日平动点．

拉格朗日点在现代宇航领域的应用也很广泛,比如发射太阳同步卫星或地球同步卫星的话,那么日地拉格朗日点和地月拉格朗日点就是最理想的位置．

(2) 理性在太空闪光——L2点的应用.

在两个大天体的连线上,且在较小的天体一侧．例如:相似的影响发生在地球的另一侧．一个物体距太阳的距离越远,它的轨道周期通常就越长．地球引力对其的拉力减小了物体的轨道周期．在L2点,轨道周期变得与地球的相等．

L2通常用于放置空间天文台．因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位,易于保护和校准．威尔金森微波各向异性探测器已经围绕日—地系统的L2点运行．詹姆斯-韦伯太空望远镜将要被放置在日——地系统的L2点上．

嫦娥二号卫星于2011年6月9日16时50分05秒在探月任务结束后飞离月球轨道,飞向第2拉格朗日点继续进行探测,飞行距离1.5×106km．北京时间8月25日23时27分,经过77天的飞行,“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发,受控准确进入距离地球约1.5×106km远的、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道．

如图2所示，嫦娥4号的月球车将着陆于月球背面，但地球上的基站却无法直接“看到”月球背面！

图2

(3) 有趣的用途.

法国空间研究中心的天文学家提出一个新设想,使得拉格朗日点将来可能获得新的用途:用作拦截危险小行星的布防点．法国

科学家提出,捕获一些中等体积的“天体”,把它们“部署”到“太阳——地球”体系的5个拉格朗日点中的一个．发现对地球有危险的小行星以后,人们可以调用这些“天体”去拦截危险小行星．

美妙的理论、美丽的图像、美好的应用,拉格朗日带给我们的兴趣是全方位的:理趣、情趣、志趣．这是我们对科学的全面的美感．

4 物理竞赛题

例2.(第32届全国中学生物理竞赛预赛第8题)2011年8月中国发射的宇宙飞船“嫦娥二号”在完成探月任务后,首次从绕月轨道飞向日地延长线上的拉格朗日点,在该点,“嫦娥二号”和地球一起绕太阳做圆周运动,已知太阳和地球的质量分别为MS和ME,日地距离为R．该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为________________,由此解得x≈________________________．[已知当λ≪1时,(1+λ)n≈(1+nλ)]

解析:根据牛顿第二定律和万有引力定律,有

联立以上两式,解得

即

整理得

解得