基于法则自然生成深入落实三个理解

摘 要：章建跃教授在对于数学教学的实效中提出，课堂教学要关注理解学生、理解教材、理解教学.本文结合法则的自然生成，促进运算法则的精准教学，并在此基础上进行教学分析反思.

关键词：法则教学;自然生成;三个理解;精准教学

1 引言

最近我校对于运算教学开展了“基于法则自然生成，深入落实三个理解”的精准教学的研教模式.笔者开设了研教课“§3.1同底数幂的乘法（1）”.这节课结合人民教育出版社中数社的章建跃教授在2011年5月20日提出的“一个沉入、三个理解”中的理解学生、理解教材、理解教学（以下简称三个理解）为理论指导，结合运算教学中运算法则的自然生成为高效课堂的教学理念，进行了创新性理念的设计，以期深入落实“三个理解”.本文对于这节课的数学价值、教学设计及教学反思进行梳理，与大家交流.

2 基于数学价值基础上的教学分析

浙教版教材把“同底数幂的乘法（1）”安排在七年级下册第三章第一课，是在小学学习的乘法法则与乘方法则之后，又在学生学习完七年级上册第二章有理数的运算、第三章实数概念以及第四章字母表示数中的整式的加减的基础上，进入整式乘法含有幂运算的开篇.本节课的重点是理清“同底数幂的乘法”的概念及运算法則，明确同底数幂的乘法运算是实数的加、减、乘、除、乘方的运算数到代数式的幂的乘法运算的基础上的一种变式运算形式.本节课的学习意义是体会运算法则的产生是数学运算简洁美的价值与运算多样性思维的理解和应用的需要.本节课的知识逻辑关系是继整式含有乘方的混合运算的一般法则：先乘方再乘除到底数相同幂的运算的特殊性——底数不变，指数相加的转化形式，体会数学作为一门科学，追求运算“完美”的智慧的结晶.本节课的延伸意义是它开启了整式运算从加减到乘除运算模式的大门.它是后续幂的乘方、积的幂的奠基石;是关于字母运算从合并同类项到字母相乘的飞跃;是所有字母幂的有关运算的核心;更是代数式运算关于幂运算的关键点.

“同底数幂的乘法”属于运算法则教学，也是整式乘除运算这一章的起始课，这节课的教学设计将会为后面研究幂的乘方运算及幂的除法运算的教学探究提供研究模板.因此，“同底数幂的乘法（1）”的教学也是可以称为本学期运算教学模式的“播种课”.本节课的教学设计应该发挥运算教学的引领示范作用，体现法则的自然生成，促进师生教与学的和谐发展.后面相继学习的幂的乘法，如：幂的乘方、积的乘方，甚至是整式的乘法（单项式的乘法，多项式的乘法）等等的学习都可以类比本节课的法则的产生过程，对于不同的字母幂的运算形式可借鉴本节课的法则落实过程进行数学本质化的研究和拓展，形成一致性的研究方式.

鉴于此，“同底数幂的乘法（1）”的教学价值可解析为四个方面：一是让学生沿着数学的科学本质经历观察—实验—猜测—计算—推理—验证等活动过程这条主线去发现法则、理解法则、掌握法则、运用法则解决简单的相应问题;二是让学生深入体会对于运算法则的研究要从法则的一般性和特殊性入手，法则的产生是运算多样性的表现，本节课的法则的特殊性和运算的“妙处”，体现数学家发现法则的“科学历程”，特殊到一般，个别到整体的数学法则研究思想;三是形成研究运算法则的基本模式，举一返三，对比法则，体会新法则与旧法则（前面学习的法则）的联系与区别，揭示本节课法则的学习意义.让学生形成后续研究有关含有幂运算法则的基本模式，在后续的学习中能前后一致，逻辑连贯，体现新课程的知识是螺旋上升的关系，凸显知识的整体性和连续性;四是让学生在章节起始课的学习过程中不断积累法则自然生成的成功经验，揭示数学是一门科学的本质特征，通过一系列科学性的探究活动实现法则知识的自然生长，培养学生辩证看问题，实现法则的精准教学.上述教学分析的要素本身也是教学活动的关键，应该成为本节课教学活动的价值追求.

设计意图 回顾学生已经储备的乘方的运算认识，理清学生对于本节课的课题的运算结构特征的确认和辨析.让学生对于幂的运算知识结构有一个系统性和整体化的认识.即本章将在上册的整式含有幂（同类项）的加减运算（也称为整式的加减）基础上开始学习含有幂的乘法运算.幂的运算总共分为同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方三部分，其本质也是将幂作为乘积结构的组成细胞实现从一个具体实数作为因式到一个含有字母特征的幂作为因数的知识螺旋上升的特征.运用幂的乘法本质来认识理解含有幂的运算，通过幂的一般运算与运算法则的特殊性的比较，体会运算法则产生的自然性，这也符合学生对于法则“顿悟”的最近发展区的认知规律.实数的乘法法则以及幂的认识是在小学阶段及七年级上册第二章有理数运算以及第三章实数概念时已经学过，是学生本节课学习同底数幂的乘法的最近的联想基础，并且符合学生思维发展的内在逻辑准则.通过各种含有底数运算的回顾比较以及含有幂的运算的结果与幂的结构的比较，回顾幂的研究方法，剖析幂与乘积的“亲缘”关系，可以为本节课自然生成运算法则的研究方法埋下伏笔.因此，幂的乘积本质是含有幂的运算认识的“种子”.

3.2 活动引导，搭建生长路径

活动1 问题：上述计算式中哪些归结为含有幂相乘的结构？

追问1：从乘方的结构上看，哪些计算式的书写及运算结果有相同的规律？

追问2：你有何发现，它们的共同特征是什么？（提示：从幂的结构中底数、指数去考虑）

追问3：这些计算式的运算方式有哪些？步骤是怎样的？依据是什么？

追问4：你认为这样的算式有哪些不同的算法？根据幂的结构认识，从底数、指数上看，你觉得这样的算式底数不变、指数相加有何优点？适用的范围是怎样的？

设计意图 这里对于教材做了一些调整，将同底数幂的乘法运算放在都是含有幂的加法和乘法中，让学生在经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等科学活动中发现法则的特征及学习必要性的“发现型”和“顿悟型”.改变了直接给出都是同底数幂的计算式，然后进行模仿训练的“讲授型”和“接受型”，培养了学生全面看待同底数幂的运算法则的学习价值.它是幂的乘法运算的一种特殊方法，而不是运算的唯一方法.培养学生在一系列的科学活动中发现法则的存在和特征，有利于学生科学素养的形成和数学思维品质的培养.让学生在自主学习中去感受法则的“好处”，凸显“做中学”的实效，并为下面归纳法则的特征，形成法则的描述作准备，揭示数学运算法则的教学是过程教学.

（2）同底数幂的乘法中蕴含的数学思想方法是转化思想：将先乘方再乘法的运算转化为先指数相加再乘方的运算.从运算的结构上来看，分别的乘方再乘法变成降级的指数的加法运算再进行乘方运算，运算级别降低了，达到了简便运算的效能;

（3）当同底数幂的乘法改为其他形式均不成立.如：同底数的加法或者是同指数的幂的乘法都不适用;

（4）同底数幂的乘法是改变了运算形式和运算顺序，所以同底数幂的乘法也是简便运算的一种形式.但是它并不排斥原先的运算（先乘方再乘法），而是更快捷，更方便.

设计意图 基于“同底数幂的乘法”的预设，学生存在以下困惑：（1）这个法则是如何发现的.其实每个法则的产生都实属不易，我们应该在预设中为学生提供像数学家一样的探究过程，给学生足够的时间和空间经历法则的科学性的历程.如果教师直接告诉学生，学生总感觉到教师总是这么聪明，自己总是这么愚钝，不能发现法则特征，增加了学习心理负担;（2）同底数幂的运算其本质是关于幂的运算的一种特殊化形式，如果教师没有让学生经历法则的探索过程，势必造成法则的过程短暂或者缺失.学生还在质疑中，教师就给出了结果，势必造成学生在思维上衣来伸手饭来张口的机械性学习模式，长期以往学生产生依赖心理，只等教师给出答案.延续下去，学生成为知识的容器，学生的创造性思维就会被扼杀;（3）“做中学”理论指出，学生只有自己親自经历过的学习过程才是真实有效的.学生在自我探索中经历过法则比较和发现的过程，也是学生在思维中不断进行新知与旧知的思维更新，同时也是知识纠错和巩固的过程.

学习金子塔（如图1）结构中指出，教师在上面说，学生在下面听，这种我们最熟悉最常用的学习方式和学习活动，学习效果却是最低的，两周以后学习的内容只能留下5%.学习效果在50%以上的，都是团队学习、主动学习和参与式学习.

3.4 法则辨析，内化认识生长

阅读课本第60页～第61页，并完成下列问题.

判断下列说法是否正确，并说明理由.（允许小组讨论，并举例说明理由）

（1）底数不同的幂的乘法，底数不变，指数相加也行.

（2）同底数幂的乘法，底数不变，系数相加也行.

（3）同底数幂的乘法，底数不变，指数相乘也行.

设计意图 新课标指出，教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流.本节的法则的关键点是理清同底数幂的乘法的结构特征，准确确认正确的同底数幂的运算形式.这就需要教师为学生提供足够的时间和空间经历对于法则的理解和掌握.学生通过阅读，在阅读的基础上结合问题清单的回答，教师可以收获学生的疑点和惑点.给学生一个停顿消化的时间，培养学生自主学习的能力，增强学习深度和广度的内化，增加数学思维“反刍”思维的时间和空间.

3.5 综合应用，丰富经验生成

（2）我国“天河—1A”超级计算机的实测运算速度达到每秒2.566千万亿次，如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次？

（3）游戏：

请同学们以小组为单位，每个人轮流出一个计算式，计算式的内容可以是用同底数幂的运算的题目，或者是关于同底数幂的乘法纠错的题目，然后交给小组长;再以各小组为单位进行交换题目进行限定时间的做题比赛;做好之后以小组为单位交还给原先出题的各小组进行批改，把获得的积分作为小组数学学科的获奖积分，在课下或者是在数学活动课进行颁奖.

设计意图 在阅读教材的基础上适度改编教材的例题，让学生活学活用，可以发挥小组团结协作的学习劲头.由于题目是自己编写的，题目的对错自己本小组事先要做过，既检测了别人，又事先检测了自己，实现知识上的“双赢”.

3.6 问题清单助反思 内化法则促通透

问题清单：

（1）本节课的运算法则的结构特点是什么？你在使用中有何感触？

（2）从运算法则的多样性角度，你认为今天学习的法则的好处有哪些？

（3）从数学思想方法的认识上，你描述一下今天的学习有何收获？

（4）你认为在关于幂的运算上你还有哪些新的发现？（见下面的举例）

设计意图 问题清单改变了以往课堂小结走形式、落俗套的模式.通过运算法则的反思性总结实现知识整体性的认识;通过学生类比同底数幂的运算实现同底数幂的乘法运算的延续和关于幂的运算的拓展，为后续关于幂的乘方和积的乘方的认识和学习做铺垫.

4 基于三个理解的教学反思

4.1 “理解数学”，凸显数学的原味

4.1.1 有效安排教学流程，遵循学生知识生长的逻辑

本节课内容属于整式的乘除的起始课，也是同底数幂作为幂的乘法运算结构的奠基课，内容丰富细腻.教学时首先要理解课题的数学实质，体现数学的内在逻辑关系.建构一个描述数学运算的内在逻辑结构，揭示运算中蕴含的数学思想方法，为学生创造运算法则符合学生数学认知规律的主线.基于此，本节课对于浙教版教材做了适当的调整，首先给出一组关于含有同底数幂的运算式（含有同底数幂的加法、同底数幂的乘法），同时也给出含有同指数幂乘法去比较，让学生在经历具体的比较中澄清同底数幂的乘法的运算到底是怎样的运算结构.并且在学生不知情的情况下，逐渐从众多的容易混淆的运算中认出同底数幂乘法，拨云见日，认清同底数幂的乘法的实质是将先乘方再乘法的特殊形式变成先指数相加再乘方的运算方式，体现运算的多样性和特殊性.学生在自我经历了运算辨析后，如同数学家在苦苦地寻觅中终于释怀，“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”.

4.1.2 深入理解数学结构，明细知识生长的脉络

本节课是整式乘法运算的起始教学，也是关于含有乘方运算的起点.教学时要明确乘方的数学结构，体现对于含有幂的运算结构研究的科学.比如，同底数幂的乘法是学生在七年级上册第四章中学习了整式的含有字母表示数的加、减、乘、除、乘方等运算法则的基础上学习的关于含有字母乘方运算的加减合并同类项到乘法运算的结构，凸显了法则产生的必要性及数学运算价值.运算法则是法则多样性和简洁性的需要而产生.它拉开了关于法则中主要蕴含的一般到特殊的数学思想方法.但是学习法则的困难是如何看出法则结构，以及为什么要学习它，以及学习它与已有的学习法则的衔接关系，这也是教学的核心.学什么？为什么学？怎样学？从数学结构上讲，本节课的学什么就是要阐述同底数幂乘法的运算特征，它是一种模型，也是运算的变式，由先乘方再乘积变为先指数相加，再乘方的运算模式.这种运算为什么学？这种运算从运算维度来讲，把同底数幂相乘的多个乘方和多个乘法的两级运算，转化成指数加法的较低一级运算，运算更简捷.它刻画了数学追求运算简洁美的作用，也开拓了学生的创造性思维和发现性思维意识.

4.2 “理解学生”，凸显以生为本

4.2.1 通过预习先行了解学情，把握知识的生长点

通过“预习先行组织者”为学生提供充足的时间和空间进行数学思考，为确认课题学习的必要性奠定物质基础.凸显课题知识点的形成过程，加强教学设计的针对性和合理性.在新授课之前，由预习先行结果显示：学生具备的乘方的认识还是不错的，但是对于同底数幂的乘法为什么可以选择指数相加，还存在困惑.它是唯一的吗？别的结构可以吗？它的运算有何好处？它的运算有几种算法？等等.基于预习中学生表现的疑点，从教学设计把同底数幂的乘法放在各种幂的运算的“大熔炉”理，让学生充分辨析和体会本节课学习的必要性.在学生运算活动的反思中去探索和发现课题学习的“妙处”感受学习的真实性.

4.2.2 通过技术整合课堂，关注学生学习成长的动态

“数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，要注重实效，充分考虑信息技术对于数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源”.基于这样的理念，在课堂教学中，教师不断走进学生身边，通过师生手中的电子学习设备，将信息技术与数学课堂活动进行整合，使学生的学习及时在班级反馈，开发学生的创造性.如：学生可以通过手中的电子设备及时提出问题向他人咨询，或者编题考查对方，获取他人的学习经验，便于拓宽黑板上的信息量，使课堂教学呈现方式更加快捷，实现信息的大数据化，再加上电子设备的直观性可以让学生获得更多更真实的信息.

4.3 “理解教学”凸显教学的深度和厚度

4.3.1 设计精准教学切入口，根植法则思维生长点

法则教学需要给出法则形成的来龙去脉，目前法则教学存在剑走偏锋的现象，只要是某一个法则就从头到尾都是这个法则的计算式，弄得学生眼花缭乱，不知所措，缺少法则的“自然生成”过程.从理解教学的角度上看，需要指明法则的完整结构和法则的前因后续.本节课的教学在预设中，先让学生经历法则的形成过程，摈弃了直接给出法则让学生反复操练的训练形式.新课程指出，数学的课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.

4.3.2 设置高效的数学活动过程，激发数学思维的自然生长

新课程标准中指出，数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.数学教学是过程教学，本节课一共设置了四个数学活动过程，引导学生主动参与，在活动中体验数学数学.“活动1”设置尝试—观察—猜想—归纳—概括的过程.让学生在运算中认识本节课的法则是一般到特殊的过程.在“活动1”基础上概括、归纳、形成法则的特征认识.营造法则形成的自然特征;“活动2”基于“同底数幂的乘法是含有幂的乘法运算法则的变式教学，是数学运算追求运算精准性和运算多样性以及运算转化思想的典范”.让学生在探索中发现这种运算结构特征的基础上，去真实体验这种运算的“先进性”与“独特性”，让学生在“做中学”去感受数学法则探索过程的魅力和运算法则的简洁美;“活动3”让学生通过自主阅读和小组合作的数学活动实现法则上的“导富济贫”，让一部分思维先“富起来”，通过在理解法则的困惑上狠下功夫，通过师生和生生之间的答疑、纠错，问题清单的反思等活动，实现难点上的透彻性理解，实现知识上的精准“扶贫”.通过“问题清单”实现法则上的自我反思，知识上的“反刍”，改变课堂活动的单一模式.通过生生纠错，师生讨论，发扬民主，让学生成为数学活动的主体，教师成为学生学习新知识的真正的组织者、引导者与合作者;“活动4”是法则上的反思以及先进的电子设备不断强化学生学习的主动性，学习材料的真实性.为学生搭建真实的问题情境，在问题解决的过程中消化吸收数学知识，达到润物细无声的高效.

这节课基于法则的自然形成，学生法则思维成长的理念框架教学，通过学生对于运算法则多样性的比较，书写特征的概括和梳理，运算法则的反思，唤醒学生对于法则思维成长的意识.通过数学互动搭建知识成长的途径;通过例题教学的改编，内化对于法则生长认识，丰富法则生长经验;通过问题清单反思归纳，巩固提升生长的思维品质，从而获得运算法则的生成主线，获得关于法则运算的解题经验.深入落实对学生、教师、教材的“三位一体”的深入理解，进而获得课堂核心素养的自然生态，学生的核心素养自然形成.

参考文献：

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（收稿日期：2019-04-02）