均值不等式的推广及应用

陈军

【摘 要】均值不等式是中学数学中的一个重要的不等式，是高考的一个必考的知识点，同时也是学生感到比较难的知识点，所以研究均值不等式是很有意义的.近年来，对均值不等式的研究越来越多，涉及的领域也越来越广.本文借鉴前人研究成果，在均值定理的基础上进行探究，把算术平均与几何平均的关系进行了个数、指数、系数及形式的推广，本文还举例说明各个不等式的应用，通过建立图表指出各个不等式之间的关系，从而使读者可以对均值不等式的各个形式及其关系有一个整体、清晰的认识，有利于開拓解题思路、训练数学思维能力、探究问题的实质，并期望能为解决数学不等式问题提供一种参考.

【关键词】均值不等式;推广;应用

解题活动中一种司空见惯的情况是题目解完了，方法的功能也随之而结束，而实际情况却常常是：一个问题的解决导致了更多问题的来临，于是客观情况需要我们去思考;解决前一个问题的方法是否可以用来解决后继问题呢？可能性是存在的，但解决问题的方法不拘一格，有的完全依赖于问题的特殊条件，有的则触及到该问题的实质，因而有的解法很难作推广，充其量只是平凡的推广，只有那些抓住问题实质的方法，才可以提供深刻推广的途径.

例1：已知a、b，求证：   .（1）

证法一：由，开方即得

.

证法二：将（1）变形，两边同乘，得

左边==1（基本不等式反用）.

两种证法都可以进行“个数”的推广，但证法一不便进行“指数”上的推广，更难于进行“系数”上的推广，我们利用证法二进行“个数”、“指数”、“系数”的推广，这对于不等式的性质认识有进一步的提高作用.

一、均值不等式的推广

『推广一』个数推广

若（2）

证明：将（2）变为

.

对照证法二可见，这个推广是十分容易，非常平凡的.

本题也可以用柯西（Cauchy）不等式来证明：若是两组实

数，则有当且仅当时，等号成立.

证明：由柯西不等式得

所以

即 .

例2  设，求max e与min e.

解：由题设有由（2）有

所以 ，故 .

因为分别令与时，有，

所以maxe=，mine=0.

『推广二』  指数推广

对

（3）

证明：将（3）两边同乘化为

参考文献

[1]查鼎盛，余鑫晖，黄培铣.中学数学研究，广西师范大学出版社，1999年7月

[2]乔先峰.关于对算术平均与几何不等式的研究与推广，中等职业教育2005年第4期

[3]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用，云南民族大学学报（自然科学版）2006年1月

[4]陈夏华.均值不等式在微积分中的应用及其他，湖北民族学院学报（自然科学版）1994年第2期