投影寻踪Robust主成分在经济评价中的应用

王玥 孙德山

摘要：选取2017年辽宁省14个城市的相关经济数据，首先对数据进行归一化、标准化处理，然后进行投影寻踪分析、主成分分析和Robust主成分分析，并根据降维后的数据进行聚类分析，观察各个城市的经济发展状况。根据投影方向，对各个影响因素进行分析，为经济发展提供参考。

关键词：投影寻踪;Robust主成分分析;聚类分析;经济评价

改革开放40年，中国逐步走向了富强的道路，社会发展水平和综合实力不断提高，生活水平也不断提高。但是，由于不同地区发展受到自然条件、人口、位置、资源的影响，不同地区出现了发展不平衡的问题。如何正确的、客观的评价地区发展情况，了解各个地区的发展价值成为了人们的研究对象。

投影寻踪（project pursuit）作为70年代中期发展起来的一种用来分析和处理高维观测数据的技术，可以有效的把高维数据投影到低维子空间上。投影寻踪可以排除与数据结构无关的或关系很小的变量的干扰，通过分析低维空间的投影特性来研究高维数据的特征，是一种处理复杂问题的统计方法。文献建立投影寻踪模型，对2004～2014年的全国各省经济转型做出研究。文献通过投影寻踪分类模型对地区节能消耗程度做出了评价。

主成分分析作为重要的降维方法之一，被广泛用于各个领域，它通过一个线性变换，将数据变换到一个新的坐标系统中。主成分分析保持数据方差最大化，并提取相应的贡献特征，这些特征可以尽可能的保留较多的原始数据的信息。

一、投影寻踪模型构建

投影寻踪的基本原理是将高维数据通过一定的线性组合，投影到1～3维子空间上，通过构建指标函数，并寻找指标函数的最大值来计算最佳投影方向。在低维空间进行分析，以达到研究高维数据的目的。具体步骤如下：

1. 为了消除量纲性的影响，对指标进行归一化，对越大越优的指标有

其中，Xmax（j）和Xmin（j）为第j列指标的最大值和最小值，X*（i，j）为指标数值，X′（i，j）为归一化后的序列，将X′（i，j）进行标准化处理，即

其中，Ez为z（i）序列的均值。本文通过投影后的数据，进行主成分分析，Robust主成分分析，并对结果进行分析。

二、Robust主成分分析介绍

Robust是把Robust统计的思想与多变量分析方法相结合，使多变量分析方法出现的统计量具有稳健性。而主成分分析通过分析少数主成分，来掌握和维持数据的结构，将少数主成分代表数据中的所有变量。但是，在实际过程中，数据中往往存在一定的噪声点，因此，Robust主成分分析被广泛使用。

根据投影的低维度和噪音的稀疏性，Robust主成分分析模型可以被定义为以下优化问题：

其中，X=X（i，j），i=1，2，…，n，j=1，2，…，p是数据矩阵，L和E分别是低秩矩阵和噪声矩阵，‖·‖0是指矩阵的零范数，表示矩阵中非零个数，λ为折中因子，可以平衡L和E的比重。

三、实证分析

选取2017年辽宁省14个城市的11个主要经济指标，分别为生产总值（单位：亿元）、年末总人口（单位：万人）、在岗职工平均工资（单位：元）、固定资产投资（单位：亿元）、地方公共财政预算支出（单位：亿元）、城镇常驻居民人均可支配收入（单位：元）、农林牧渔业总产值（单位：亿元）、社会消费品零售总额（单位：亿元）、进出口总额（单位：亿美元）、国内旅游收入（单位：亿元）、金融机构存款余额（单位：亿元）。数据来源于2017年辽宁省统计年鉴，实验使用软件为matlab2018a和r语言。

对数据进行分析，根据上述步骤计算出目标函数最优值为Q（a）=9.3548，投影向量为：

α=（-0.3261，-0.2909，-0.2920，0.3118，

0.3236，0.2386-0.2895，0.3158，0.2923，0.3026，

0.3231）

从投影向量来看，影响经济的主要指标依次为：地方公共财政预算支出（0.3236）、金融机构存款余额（0.3231）、社会消费品零售总额（0.3158）、固定资产投资（0.3118）、国内旅游收入（0.3026）、进出口总额（0.2923）、城镇常驻居民人均可支配收入（0.2386）、农林牧渔业总产值（-0.2895）、年末总人口（-0.2909）、在岗职工平均工资（-0.2920）、生产总值（-0.3261）.

根据投影寻踪结果，提取前3个投影向量，计算各个主成分，并计算各个样本的综合评价得分，将得分进行排名。同时，选用基于Croux &RuizGazen算法的Robust主成分和基于网格搜索的Robust主成分分析进行排名，结果表1所示。

由表1可知，大连和沈阳为辽宁经济最好的2个城市，阜新和铁岭的经济相对比较落后。将经济状况做等级划分，使用聚类分析中的k-均值聚类，将上述主成分分析的结果分别进行聚类，结果如表2。

根据表1和表2可知，第一类地区，沈阳和大连为辽宁省内较为发达的地区，这两个地区资金较其他地区充足，人口较多，GDP较高;第二类地区在三种分类结果中包含鞍山、锦州、营口、盘锦，此类属于发展中地区，经济发展速度一般;第三类地区发展较为落后，主要包含丹东、阜新、铁岭、朝阳，这些地区应该加快发展速度，引进外资，与其他较发达地区增加交流。

四、结论

通过建立投影寻踪模型，对辽宁省2017年数据进行分析，可知辽宁省发展中心在沈阳和大连两个城市，其余城市的发展和这两个城市相比相差较大。沈阳和大连应该着重于周边发展，从而带动整个省的发展。第三类城市的发展相对落后，辽宁省应该着重致力于发展不平衡的问题治理。将辽宁省城市进行主成分排名，可以有效的观察各个城市经济情况，方便进一步了解经济走向。

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