非线性变形蔡氏混沌电路实验仪

黄丽莲，项建弘，王霖郁，国 强，张伊乔

(哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

在自然界的大多数情况下，非线性现象的作用不可忽视[1-3]. 1963年，空气动力学中的混沌现象首先被美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时发现，且仅能用非线性动力学来解释该现象[4]. 由于非线性系统的本质，混沌通常相应于不规则或非周期性[5-8]. 理解和研究非线性混沌现象本质的途径之一是观察非线性电路的混沌现象[9-12]. 综合大学普通物理实验教学大纲中加入非线性电路实验，该实验在理工科院校开设的基础物理实验中倍受学生欢迎. 本文采用变形蔡氏混沌电路观察混沌现象，学生在理解混沌的演化过程的同时也能够更好地了解混沌的相关特性.

1 基本原理

1.1 变形蔡氏混沌电路

变形蔡氏混沌电路可以用三阶非线性自治方程来描述. 实验电路如图1所示,主要由3部分组成：振荡器、RV1+RV2和C2组成的移相器以及有源非线性负阻元件. 其中R1是三段分段线性元件.

图1 非线性电路原理图

图1所示电路原理的非线性动力学方程为

(1)

(2)

(3)

1.2 实现有源非线性负阻元件

在众多能够实现有源非线性负阻元件的方案中选用较简单的双运放TL082及6个配置电阻. 其电路原理及其伏安特性曲线如图2～3所示.

图2 非线性负阻电路图

图3 伏安特性曲线

LC1振荡器保持不断振荡主要靠实现负阻所输出电流，而使振荡周期出现分岔和混沌等现象的则是非线性负阻元件.

2 实验仪的硬件电路

蔡氏电路的硬件原理图如图4所示.

实验仪面板如图5所示. 首先并联C1与L，其次连接移相器、振荡器、负阻元件等；连接双踪示波器CH2通道(即Y轴输入)与面板的CH2、双踪示波器CH1通道(即X轴输入)与面板的CH1(对X和Y输入进行交换，所示图形将会相差90°)；调节示波器相应旋钮使其工作在Y-X状态，即示波器的水平方向指CH1输入，示波器的垂直方向指CH2输入，同时置X和Y输入为DC. 实验时CH2输入和CH1输入可工作在DC状态或AC状态. 为了使示波器显示大小适度、稳定的图像，实验过程中对示波器和扫描速率及电平、输入增益V/波段开关等进行适当调节. 连接有源非线性负阻与供电单元的±15 V，将电源开关打开同时TL082加电.

图4 非线性混沌电路图

图5 实验仪面板图

3 实验方法

3.1 实验内容

1)选用RLC串联谐振电路，观察并测量通过不同电流时仪器供应的铁氧体介质电感器的电感量，并对电感量产生变化的原因做出解释.

2)选用示波器观测LC振荡器的波形和经过RC移相后的波形.

3)选用双踪示波器观测2)中的波形组成的相图.

4)在RC移相器中，调整可调电阻R的值，同时观测相图周期变化. 观察倍周期分岔、阵发混沌、3P周期、单吸引子(周期混沌)和双吸引子(周期混沌)相图.

5)测量有源非线性负阻元件(包含TL082双运放和6个电阻)的伏安特性，联系非线性电路的动力学方程，解释混沌产生的原因.

3.2 观察混沌现象

1)将细调电位器W2左旋至底. 对粗调电位器W1适当左旋或右旋直至示波器出现如图6所示的略斜向的椭圆.

2)将细调电位器W2右旋少许直至示波器出现如图7所示的2P周期分岔.

3)再将W2右旋少许直至示波器出现如图8所示的3P周期分岔，这就意味着混沌状态.

4)再将W2右旋少许直至示波器出现如图9所示的4P周期分岔.

5)再将W2右旋少许直至示波器出现如图10和11所示的吸引子(混沌)现象.

6)观测示波器的同时适当调节示波器相应的旋钮，观测X轴和Y轴输入在不同状态下的相位、幅度和跳变状态.

7)结束实验，断开电源.

图6 1P周期轨道

图7 2P周期轨道

图8 3P周期轨道

图9 4P周期轨道

图10 单混沌吸引子

图11 双混沌吸引子

3.3 测量有源非线性电阻的伏安特性

如图12所示，用伏安表测量非线性元件R两端的电压，用安培计测量流过非线性元件的电流. 由于使用了有源非线性电阻，因而回路中一直存在电流. G为调节非线性元件输出的电阻箱，可以用来提供非常精确的电阻，特别是电阻值的微调，使得输出电流可以微小改变.

图12 非线性负阻测量原理图

V<0时，观察非线性负阻元件的伏安特性的步骤：

1)连接非线性负阻接地端、电阻箱置0端、数字电压表“-”端.

2)连接非线性负阻另一端、电阻箱最大阻值端、数字电压表“+”端.

3)连接非线性负阻与供电单元的±15 V并开通数字表，这时接通电压表数码管亮.

4)将电阻箱电阻调节至最大99 999.9 Ω，然后从大到小进行调节，观察电阻箱和数字电压表的对应读数并记录(电流等于电压表读数除以电阻箱阻值，因而实验没有使用安培计). 有源非线性电路的非线性负阻特性曲线可以由电压-电流关系得到(V-I关系图). 经理论计算，V>0时非线性负值元件的伏安特性与V<0时的伏安特性曲线关于原点成180°对称.

5)结束实验，断开电源.

根据测得的实验数据，绘制非线性负阻的伏安特性如图13所示. 由图13可以看到，实验测得非线性电阻的伏安特性与理论值一致.

图13 非线性负阻的伏安特性

3.4 测量铁氧体电感器的电感

L由漆包铜线手工缠绕，可在φ11.6 mm工字型铁氧体磁芯上缠绕675圈左右，为了确保两端点导电的良好性能，利用工具刮去引出漆包线端点上的绝缘漆.

利用串联电路的谐振法测量电感器的电感量. 由理论可知，谐振频率

(4)

则

(5)

按图14连接电路，外接信号发生器，当LC电路中串联谐振时，流过电路的电流最大.

图14 铁氧体电感器的电感测量原理图

调节信号发生器的频率，直至示波器显示出最大幅度(达到串联谐振)；调节信号发生器的幅度，直至流经变阻器的电流达到5 mA，此时正弦信号峰值为5 mA×10 Ω=50 mV；反复调整信号发生器的幅度和频率，直至示波器所显示幅度达到最大50 mV，由式(5)代入已测的电容C1和谐振频率f0，即可得出电感量.

调节信号发生器输出的振幅，并改变输出频率，直至电路达到谐振为止，记录示波器显示幅度为最大时的谐振频率，电流振幅与相应的电感量通过示波器所显示的电压峰值计算得到，记录测定的电流和电感值.

铁氧体电感器的电感量随流过电感器的电流而变化的原因是由于制作线圈时使用了磁芯，因而线圈的电感对电流的变化非常明显. 在一定范围内，电感与振荡的频率成正比，与振荡的振幅成正比.

4 结束语

采用变形蔡氏混沌电路，观察混沌现象，掌握非线性混沌现象的本质. 使用有源非线性负阻元件是为了让振动周期能够出现分岔和混沌等现象. 用双踪示波器对蔡氏电路的2个波形组成的相图进行观察，在RC移相器中，通过不断调整可调电阻R的值，可以依次观测到1P周期、2P周期分岔、3P周期分岔(意味着混沌)、4P周期分岔、单吸引子(周期混沌)和双吸引子(周期混沌)的相图. 研究蔡氏电路的理论，可以很容易理解混沌的分岔过程和混沌的基本特性，观察到混沌现象的分岔演化过程.