试论一种特殊情形的二维多普勒效应的简化处理

何武奎 马增山 何文明

(1何武奎，华北油田第一中学，河北 沧州 062552； 2邯郸市第一中学，河北 邯郸 056002)

1 运动参考系的确定

设在二维平面内波源S和观察者A分别以恒定速度vs、vA运动，两速度方向夹角为任意角θ，我们的任务是要找到一个运动参考系O-xy，使得在这个参考系中波源S和观察者A沿同一直线运动。

将波源S和观察者A的速度平移到同一点O，过O点做两速度末端连线的垂线，规定这是y轴，那么过O点的垂直方向直线即为x轴，这就是我们要找的运动参考系，如图1所示。

图 1

规定这个运动参考系的速度就是vs、vA在y轴上的投影速度vy,

即vy=vscosα=vAcosβ

由vscosα=vAcosβ，α+β=θ

vs和vA在x轴上的投影分别为

由以上讨论可知，在动系O-xy中，波源和观察者分别以v′s、v′A沿x轴匀速运动

2 波速u的变化

再考虑到波源和观察者同时经过轨道交叉点，二者在动系中的速度方向必然相反，也即彼此远离，则本文讨论的特殊情形二维多普勒效应的公式应为

再强调一下，公式中正负号选取规则：在我们所选的动系中，源S和观察者A都背离对方运动，所以分子取负号，分母取正号。

3 对运动参考系的补充说明

图 2

如果动系速度v′指向图2的y轴右侧，可作同样的分析而结论不变。这样看来，本文开始所提出的运动参考系应该是解此类问题的最简单参考系。

4 应用举例

两辆汽车A与B，在t= 0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图3所示。汽车A持续地以固定的频率ν0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率ν′。已知声速为u，且有u>vA、vB。

图3

在动系x轴上A、B两车投影速度由前文公式得

点评：(1)本题是22届全国中学生物理竞赛复赛第六题，我国著名的物理竞赛专家舒幼生教授曾对这道题作了深入的研究，指出若用普适的多普勒公式求解，计算非常烦琐。该题的标准答案计算量相对简洁一些。但是若采用本文所论及的方法会更简单方便。(2)具体解题时，求动系速度vy、S和A在动系x轴上的分速度v′s、v′A，不必(也没必要)套用本文中所给的几个公式，而是记住本文的思路就能方便地解出这几个量。