一块橡皮，让数学实验真发生

王兴伟

《有趣的多面体》这节综合实践活动主要通过实验，让学生探究简单多面体的面、顶点、棱之间的关系，发现凸多面体“面数+顶点数-棱数=2”这一规律，感受数学的奇妙，培养探究意识。

听过好几节这样的数学实验课，通常是让学生观察几个多面体，举几个例子后发现规律，然后再验证一下得出结论。听下来总感觉到学生浮于表面，蜻蜓点水，实验依然是疏离学生主体的一个灌输、僵化、复制的过程，如同在走一种机械的程序，形式化、程序化、碎片化现象普遍，学生的学习依然是外在被实验的痛苦旅程。

实验教学如何让学生真正进入深度学习中，从被动实验走向主动参与，从关注操作活动转向关注数学思维的本质呢？笔者在《有趣的多面体》设计时，巧用一块橡皮，从儿童的需求和认知出发，步步深入，让学生进入一种真学习状态，取得了良好的效果。

一、实验问题真发现

【片段1】

师：这里有两块橡皮，一块是长方体，一块是正方体，观察一下，它们有什么共同的特点？

生：都有6个面，8个顶点，12条棱。

师：看到这些数据，你有问题吗？（学生面面相觑，想了好一会儿也没发现问题）

师：那老师来提一个问题，长方体和正方体都是六面体，是不是所有的六面体都有8个顶点、12条棱呢？（学生有的认为可能是的，也有的认为不一定）

师：是呀，光凭两个六面体不能说明问题，咱们还要找更多的不同形状的六面体来数一数。请大家从材料袋中再找几个六面体橡皮，数一数它们有几个顶点、几条棱，把数据记下来。（学生找出几个六面体橡皮，独立地数，并记录在草稿纸上）

师：谁愿意展示给大家看看？

生1：我数的是黄色橡皮（图1），顶点数是8，棱数是12，和长方体、正方体是一样的。

师：看来六面体都是有8个顶点、12条棱咯。

生2：不是的，我数的是橙色的橡皮（图2），有6个顶点、10条棱，和上面的不一样。

生3：我数的是紫色橡皮（图3），有5个顶点、9条棱，和上面的也不一样。

師：学好数学要善于从不同之中寻找相同之处，在这几组的数据中，能找到相同的关系吗？

生1：顶点数加4等于棱数。

生2：面数+顶点数-棱数=2。

师：面数+顶点数-棱数=2，是这样吗？我们一起来算一算。（学生计算，发现每个多面体的面数+顶点数-2=棱数）

师：你真了不起，一下子就发现了三个数据之间的关系。学到这里，你现在有什么新问题吗？

生：是不是所有的六面体都具有这样的关系呢？

师：这个问题提得很好，有什么方法来验证？

生：我们可以搜集更多的数据来验证。

师：材料袋里有各式各样的六面体橡皮，每组选一个数一数，再算一算，看看是否符合猜想。（学生迫不及待地打开材料袋，独自操作验证，发现3号、5号、7号等多面体都符合猜想）

师：通过大量的举例验证，我们发现在六面体中，面数+顶点数-棱数=2（板书）。

课始，笔者首先让学生观察长方体和正方体两块橡皮，试探性地提问：“看到这一组数据你有没有想到什么问题？”因为仅有一组数据，学生很难想到横向地寻找它们之间的联系，所以显得有些不知所措;接着，教师示范性地提问：“老师先来提一个问题，是不是所有的六面体都是6个面、8个顶点和12条棱呢？”引导学生想到其他不同形状的六面体，打开了思路，明确了方向;然后笔者让学生再找几个六面体橡皮，数一数顶点和棱，有了第一次的经验，学生通过观察，很快发现了六面体的面数、顶点数和棱数之间的关系;最后笔者适时提问：“研究到这里，你们有没有产生什么新的问题呢？”学生很自然地提出了“是不是所有的六面体都具有这样的关系呢？”这样一个极具研究价值的问题，借助橡皮，很快地发现了六面体的规律。这一环节，借助橡皮这一实验工具，学生经历了从不知所措到自主提问，从局限思考到发散性思维的转变，问题意识逐渐形成 [1]。

二、实验验证真分享

【片段2】

师：同学们，学到这里，你们又有什么新问题吗？

生1：四面体的面数、顶点数和棱数之间是不是有这样的关系？

生2：五面体呢？七面体呢？……

师：有没有更大胆的猜想呢？

生3：是不是所有的多面体都有这样的关系呢？

师：你们真会思考，提了一个非常有价值的问题。这些猜想我们可以怎么验证？

生：像刚才一样，用橡皮去验证。

师：可是老师只给同学们准备了一块正方体的橡皮，多面体从哪儿来呢？

生：我们可以用小刀切。

师：是啊，大家想一想：将一个正方体橡皮切一刀，可以切出几个多面体？怎么切？分小组讨论一下。（学生讨论，用手比画，然后在脑子中想象切成的多面体的样子）

师：下面两人合作切一块橡皮，尽可能地切出不同面数的多面体。数出多面体的面数、顶点数和棱数，并将数据记录在实验单中。算一算是否符合猜想。（学生两人合作切，然后填写实验单，进行计算，全班交流）

生1：我们沿着对角切，把橡皮切成了两个5面体，它的面数是5，顶点数是6，棱数是9，用5+6-9正好等于2，符合猜想。（见图7）

生2：我和他的切法不同，从橡皮中间切，切成了两个6面体，它的面数是6，顶点数是8，棱数是12，用6+8-12也等于2，也符合猜想。（见图8）

生3：我也沿着角切，不过稍稍把刀弯了一下，只切到中间，这样一个是5面体，一个是6面体，数据和刚才的一样，还是符合猜想。（见图9）

师：能不能得到更多面的物体？

生4：可以，我们只切掉一个角，其余面保留，就得到一个7面体和一个4面体，7面体的面数是7，顶点数是10，棱数是16，用7+10-16=1，等于不符合猜想。

生5：老师，他数错了，棱数多数了一条，只有15条，用7+10-15=2，符合猜想。（那个学生不好意思地嘟囔着说，我数重复了，多了1条）

师：还有不同的切法吗？

生6：有，我们还可以这样切……

生7：我们切出了不同的多面体，虽然它的面数、顶点数和棱数不同，但都有一个相同的地方，那就是面数+顶点数-棱数=2，刚才的猜想是成立的。

在这个环节，笔者让学生先借助橡皮这一工具，用小刀切一刀。由于切的角度、线路不同，所以就有了丰富多彩的答案。对这些切法，笔者重在让学生分享切的方法，分享数数的思考，分享探究的想法，而非展示答案。在这里，笔者充分发挥学生的主动性，放手让学生进行验证，给予了较长教学时间。学生分享的内容，可能是不成熟的，是简单的，甚至还有少许错误，但它是更真实学习的体现。越是基于真实的表达，越是粗糙的 [2]。在这样真实的情境中，学生一边搜集橡皮面顶点和棱的数据，一边观察比较橡皮，带着任务去研究，带着问题去思考，有效地培养了学生严谨科学的实验态度。

总之，数学实验时一定要“让学生体验数学知识形成与发展的过程，重蹈人类思维中发展的关键性步子，学生才会深度学习”。（董林伟语）在这个过程中，教师要根据儿童的学习特点，有效地开发和设计数学实验的材料，让孩子借助实验材料真正完整经历数学探究的过程 [3]。这个过程，我们宁愿磕磕碰碰，拖泥带水，也不要顺畅完美，一气呵成。一个优秀的数学实验必须基于学生学习现实的教学，必须真正把课堂还给学生，让实验从封闭走向开放，从预设走向生成，我们要从关注实验程序的落实走向关注学生思维的提升，从关注问题的答案走向关注学生的学习需要，唯如此，学生的数学实验才会真正发生。

参考文献：

[1]  夏永立. 重视数学实验 促进学生发展——小学数学实验教学初探[J]. 辽宁教育，2014（19）.

[2]  莫高芹. 在数学实验教学中要充分发挥学具的功能[J]. 数学教学通讯，2019（1）.

[3]  张斌. 数学实验的教学审视、机制探寻及深耕策略[J]. 数学教学通讯，2019（1）.